DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 3 <-- 3 --> PDF |
Br. 1. u ZAGREBU, 1. sieenja 1895. God. XIX. IJvrstbina oglasa: za 1 stranicu 8 for.; za ´/a stranice 4 for.; za Va stranice 2 for. 70 novč.; za ´A stranice 2 for. — Za višekratno uvrštenje primjerena popustbina. Primjetbe k članku: „Praktična uporaba trigonometrije." Piše Mirko Puk, kotar, šumar u Osieku. U predzadnjem broju ovoga časopisa objelodanio je pisac g. D. K. razpravicom „Praktična uporaba trigonometrije kod riešavanja praktičnih mjerstvenih zadaća" njeke skrižaljke, sadržavajuće u skoku od 10 do 10´ vriednosti goniometričkih funkcija svih kuteva počam od 0´ do 45". Pošto sara odlučio na ovu razpravicu nadovezati njeke refleksije, pa i o shodnosti, te točnosti gornjih skrižaljka u kratko progovoriti, neka mi bude dozvoljeno glavne točke gornje razprave u izvadku reprodukovati. U gorskih predjelih, veli se, gdje je direktno mjerenje preko gudura, uvala, hridina i t. d. nemoguće, izpostavlja se često potreba pojedine dužine indirektnim putem bud mjerenjem sa tahimetrom, bud uporabom zasada o sličnosti trokuta, bud grafičkim putem, ili napokon trigonometričkim računanjem pronaći. Trigonometričkim putem mogli bi se svi ti zadatci bez ikakovih poteškoća riešiti, ali pošto trigonometričko riešenje takovih zadataka uvjetuje razno logaritmičko računanje, koje se u praksi po njekih šumarih stranom iz udobnosti, stranom pako zaoto, što jim se logarit. računanje nesvidja, iziskujuć uvjek više pomnje i vještine, izbjegava, to je ta okolnost uz obzire točnosti, kano što i daljnji razlog, da se šumarom kod riešavanja trigometr. zadataka pruži polakšica, potakla g. pisca na sastavak i izdavanje prije navedenih tablica. Podavajući nam obširan naputak o uporabi tih skrižaljka i navadjajući oko 20 različitih primjera, kako da se imadu vriednosti goniometr. funkcija za pojedine kuteve, koji se u skrižaljkah bud podpuno, bud pako nepodpuno nalaze, ili obratno iz zadanih vriednosti goniometričkih funkcija odgovarajući kutevi iznaći, prelazi na izvadjanje ne samo glavnih, nego i svih nuzgrednih trigonometričkih obličaka tako, da se usljed tih potankosti pamtenje glavnih formula veoma otegoćuje, a matematičkim znanjem manje oboružani šumar u jezeru samih matematičnih formula izgubi. Kod samoga pravokutnoga trokuta navadja 12 raznih formula, od kojih su strogo uzev samo prva 2 oblička neob |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 4 <-- 4 --> PDF |
— 2 — hođno potrebita, pošto svi ostali obličci slieđe iz ovih dvajuh stranom neposrednim njihovim razriešenjera, stranom palio medjusobnom diobom i konačno iz pojma glavnih goniometrićkih funkcija. Iza toga sliede za razriežavanje pravokutnih trokuta 7, a za ono kosokutnih 3 praktična primjera uz izvadjanje obličaka kano i potanko razlaganje svih nuzgrednih okolnosti prigodom obavljanja specijalnih računa. Neslažuć se pogledom na točnost i uporabivost tablica sa nazori gosp. pisca i držeći s jedne strane (kano što sam to već iztaknuo), da su njekoja razlaganja previše obširna, a s druge strane opet videći, da su upravo temeljni obličci, na temelju kojih su skrižaljke konstruirane, iz razprave posve izpušteni, dakle skrižaljke bez znanstvene podloge predložene, slobodan sam ovdje nadovezati njekoliko primjetaba. Istina je, u tom se sa g. piscem podpuno slažem, da su nam prigodom indirektnoga mjerenja ili prigodom trigonometr. proračunavanja nepoznatih distancija često potrebiti logaritmi, skrižaljke ili ina pomagala, pa da je stoga od prieke nužde o tom nastojati, da se pronadju čim jednostavnija sredstva, kojimi bi se prigodom takovih računa poslužiti mogli; nu evidentno je takodjer i to, da ćemo se takovimi novimi skrižaljkami ih novimi pomagali samo tada poslužiti, ako istimi laglje, brže, te sigurnije ili barem istom lahkoćom, brzinom i točnošću do cilja doći možemo, kano sa starimi već priznatimi pomagah. Svaka skrižaljka dakle mora, ako hoće da se njena shodnost prizna, ter u praksu uvede, imati (kano što to i sam pisac donjekle iztiče) sliedeća svojstva: 1. čim veću ili barem onu točnost, koju već priznata stara pomagala madu ; 2. čim veću jednostavnost i iz iste proizlazeću polakšicu i prištednju vremena. Da li je pako koji način računanja komu po ćudi ili ne; da li on stanoviti način računanja izbjegava: to se u službi i valjanoj praksi u obzir uzeti nasmije. Komoditet iraade u službi tek onda odlučivati, ako se ponajprvo temeljnim zahtjevom točnosti i prištednje vremena udovoljuje. Ja medjutim ni najmanje nedvojim, dapače osvjedočen sam, — a to se razabire takodjer iz piščeve razprave, — da je on prigodom sastavka svojih tablica prije navedene obzire točnosti i prištednje vremena pred očima imao, a udobnost pojedinih praktičara tek u zadnjoj liniji uvažavao; nu da li se ovim glavnim zahtjevom skrižaljkami gospodina pisca udovoljuje, to je drugo pitanje, 0 čem ćemo u sliedećem razpravljati. 1. Što se tiče točnosti, primjećujem, da tvrdnja gospodina pisca: „Nu na točnosti ne samo ništa ne dobijemo, već upravo gubimo (naime ako rabimo logaritme mjesto piščevih tabela), pošto su logaritmi sa posebnimi brojevi predstavljeni, odnosno označeni i racionalni eksponenti, koji nam pokazuju, na koju potenciju imademo podignuti koji broj, da se dobije tražena nepoznanica, a po tome je tada i tražena nepoznanica takodjer iracijonalna" - iz koje se, mimogred budi rečeno, daje i mora logično deducirati: |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 5 <-- 5 --> PDF |
— 3 — 1. da su po piscu izračunane i u tablicah navedene vriednosti gdnicmetričkih funkcija raciojonalne; 2. da su logaritraovanjem pronadjene vriednosti goniometričkih funkcija upravo zato netočne, što su iracijonalne. Nu da u takove tvrdnje nitko, koji podlogu (bazu) pišćevili skrižaljka i narav iracijonalnih brojeva poznaje, dapače niti sam g. pisac, ma da je to impliciti uztvrdio, ne vjeruje, o tom sam osvjedočen, a rado će mi to i sam g. pisac priznati, pa s [toga scienim, da je svako daljnje razjašnjenje posve suvišno — ni najmanje nestoji; sravnitbom bo vriednosti pojedinih goniometričkih funkcija izračunanih pomoćju Vegioih logaritama i vriednosti istih funkcija iz skrižaljka g. pisca pronadjenih sa vriednostima, koje sam na temelju eksaktnih i točnih formula: , . o, ´t/ 1—cosa ,, « ´tAl4-cosa 1. sin 2= V —^— ^cos^= V -^--´ te obzirom na rezultat posve s ovimi suglasnih formula: 1. Sin x= x 1-72737"^ 1:2:3:4:5:" 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. "^ " " ´ ustanovio, proizlazi, da se na temelju Veginih logaritama pronadjene vriednosti goniometričkih funkcija na 7 do 8 desetinaka posve slažu sa onimi iz gor. eksatnih formula dobivenimi, dočim se vriednosti islih funkcija navedene u tablicah g. pisca već u 5. desetinki razlikuju. Da se 0 istinitosti te moje tvrdnje osvjedočimo, evo praktičnoga primjera. Recimo, da imademo pronaći sin. i cos. od 15", onda imademo polag gornjih eksaktnih obličaka: 1, za sin 150 = ^L=^|i^ = V.´\^2 -r ^ ili sin 150=(luk 30") - (^^+ ^-y^ -,—i;-f ;^, - +... ^ ´´ 1.2.3^1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 ili sin 150 = 0-2617993878 -I^fl^V i:^^«.^^ . . . 1. 2. 3 1.2. 3. 4. 5 iz česa proizlazi sin 15" = 0-25881904, 2. a za cos 15" = ^ 1+-^^-^= ^V^ + 1^^ "´ ^^ ^os 15« = 0-2617993878^ , 0-2617993878* 0-2617993878" 1 ^--^-_ + _^-^_^--_„ _ ^-^^-^^^___ + . . . opet cos 10" = 0-9659258265 . . . ., dočim nam Vegini logaritmi daju za gornje funkcije vriednosti i to za sin 15" = 025881904, a za cosinus 15" = 0-96592577, ili ako zadnju brojku izpustimo 0´9659358, dakle vriednosti, koje se sa eksaktnim i vriednosti na 7 desetinaka podpunoma slažu. |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 6 <-- 6 --> PDF |
_ 4 — Po pišćevih skrižaljkah imade pako sin. od 15" = 0´25882, a cos 15» = 0-96593 tako, da se ove dvie vriednosti sravnjene sa odnosnim! vriednosti istih funkcija iz eksaktnih obličaka dobivenimi već u 5. desetinki razilaze. Očevidno je dakle, da ne stoji tvrdnja g. izdavatelja tablica, da su mu vriednosti funkcija izračunane u njegovih skrižaljkah točnije od onih, koje se pomoćju Veginih logaritama izračunavaju. Usljed toga ne mogu dakle obzirom na točnost, koju nam pođavaju tablice g. D. K., iste tabhce Veginim logaritmom predpostaviti, već ih moram istima absolutno zapostaviti. Daljnji postulat valjanih tablica, na koji ću se tekom svoje kritike osvrtati, jest jednostavnost i iz iste proizlazeća polakšica i prištednja vremena kod uporabe jednoga i drugoga načina računanja. Što se tiče jednostavnosti i polakšice, koju bi nam upitne skrižaljke pri uporabi pružale, to im ne mogu ništa više u prilog uavesti, nego i Veginim logaritmom, jer se vriednosti svih goniometričkih funkcija navedenih u skrižaljkah gosp pisca po istih načelih i istih pravilih potražuju kano i njihovi logaritmi u logaritmovniku, pošto su obzirom na poredak funkcija, kuteva i t. d. poput logaritraovnika sastavljene. Što se pako brzine radnje, odnosno prištednje vremena tiče, koju bi uporabom tablica prigodom preračunavanja trigonometričkih zadataka naspram logarit. računanju polučili, to mi je iztaknuti, da tu 0 kakovoj prištednji vremena ne može biti ni govora, nego jedino samo o gubitku i to 0 takovu gubitku, koji čini cielu uporabu tablica posve iluzornom. Za dokaz toga evo praktičnoga primjera. Recimo, da su u kojem trokutu ABC poznati svi kutevi a, p, -f i jedna stranica c, neka se izračuna 1. uporabom tablica i 2. uporabom Veginih logaritama nepoznate stranice a ili 6. Ako je kut « 35" 4´ 20" ::^ li = 82»60´20" ^ Y = 62« 5´20" stranica c = 787-89 m., onda imademo za izraćunanje stranica a i b sliedeće dvie jednačbe i to: c. sina 787-89 X sin 35« 4´ 20" I. « = sin Y sin 62« 5´ 20´ II J == ^-^^^´^— ´^^´´^^ ´^ ^´° ^^´* ^^´ ^^" siny sin62»5´20" 1. Uporabom tablica stoji račun ovako: sin 35" = 0-57368 (tabl. VIII.) 0-57596 sin 4´ 20" = sin433´ = 0-00103 0-57358 sin 10= 8in35«4´20"=0´57461 ´ 0 00228 sin 1´ = 0000238 X 4-33 952 714 714 sin 4-33´ = 0-00103054 |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 7 <-- 7 --> PDF |
— 5 — sia62« = 0´8S295 0-88431 sin 5´ 20" = sin 5-33´ = 0 00072 0-88295 SiU 62" 5´20" = 0-88367 sin 10´ = 0-00136 sin 1´ = 0-000136 X 5-33 680 408 408 0-00072488 , . 787-89 X sin 35´´4´20" 787-89X0-57461 ^^^"^^ ^ = sin 520 5. ,0 " = 088367 = 5l2´328 m. 787-89 X 0-57461 393945 651523 315156 472734 78789 452-7294729:0-88367 452-7294728 :88367 = 512-328 108944 205777 290482 253319 765850 Još i stranicu b. na taj nafiin izračunati posve je suvišno, pošto se neshodnost uporabe upitnih skrižaljka napram logaritmičnom računu, koji niže sliedi, i iz ovoga jednoga primjera jasno vidi. Uporabom logaritama stoji bo gornji račun ovako: 787-89 X sin 35" 4´20" sm 62«5´ 20" 0 4/ log a = log 787 89 + log sin 35 20" — log sin 62´´5 ´ 20" log 787-89 = 2 8964656 log sin 350 4´ 20": = 9-7593721 — 10 12-6558377 — 10 log sin 62" 5´20" == 9-9462925 — 10 log a == 2-7095452 a = 512-3245 met. Iz gornjih računa vidi se sliedeće: Pošto se zadati kutevi riedko kad nalaze podpuno u tablicah gosp. p isca jer su u istinu samo kutevi cielih stupnjeva i minuta u skoku od 10´ do 10 ´ navedeni, stoga je uviek od potrebe u svrhu, da se k zadatomu kutu odgovarajuća funkcijonalna vrieduost pronaći uzmogne, ponajprvo potražiti omjerne |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 8 <-- 8 --> PDF |
brojeve goniometričkih funkcija onih dvajuh kuteva, izmedju kojih se zadati kut nalazi, a zatim iz tih vriednosti izračunati njihovu razliku predstavljajuću goniometr. funkciju od 10 minuta, te napokon desetinu te razlike pomnožiti sa onim brojem minuta i sekunda (izraženih u desetinkah minuta) zađatoga kuta, koji se u skrišaljkah nenalazi, ali zadatomu kutu još manjka. Dok se dakle u jednaćbi I. uporabom tablica samo i jedna od funkcija sina, ter sinY (koje su samo obzirom na kuteve a i y poznate) iznadje, (ali usljed česa su samo pripravne radnje za riešenje jednaćbe I. dovršene), valja već obaviti tri, a za ustanovljenje obijuh nepoznatih funkcija 6 računa, naime: 2 ođbidbe, 2 množidbe i 2 sbrojidbe ; dočim se kod logarit. načina računanja cieli posao do podpunoga riešenja jednačbe I. sastoji samo u potraživanju logaritma trijuh poznatih olina (broja c i funkcija sina i sinY), jednoj sbrojitbi (logaritama od c ter sina) i jednoj odbidbi (razlika izmedju gornjega zbroja i logarit od sinY), te napokon u potraženju broja a iz poznatoga logaritma, dakle u poslu, koj će se za pol vremena obaviti, za koje se omjerni brojevi funkcija sina i siny po tablicah potražuju. Nu negledeći na to, da već i potraživanje omjernih brojeva od funkcija sina i siny iz tablica dvostruko toliko vremena iziskuje, kano cielo izračunanje nepoznanice a po logaritmovniku, nastaje tek onda, kada su omjerni brojevi već pronadjeni, glavni posao, sastojeći se u množitbi dvajuh mnogoznamenkastih desetičnih brojeva i diobi njihova umnožka sa trećim mnogoznamenkastim desetičnim brojem, dakle u računanju, koje će opet najmanje toliko vremena iziskivati, kano i ustanovljenje omjernih brojeva od funkcija sina i sin[3 iz tablica, ili opetovano dvaputa toliko posla zadati, koliko izračunanje nepoznanice a pomoću logaritama. Za riešavanje gornje jednačbe I. trebati ćemo dakle, ako obavimo taj posao pomoću skrižaljka g. pisca, barem 4 puta (a to je minimum) toliko vremena, kano da ga obavimo uporabom logaritmovnika. I faktum je, da sam ja, rabeć skrižaljke g. pisca za izračunanje omjernih brojeva od funkcija sina i siny trebao 7, a za izračunanje ciele nepoznanice a 16 minuta, dočim sam isti račun pomoću Veginih logaritama za 4-5 minuta do čista dovršio. Da je dakle ova, kano i ona prije izrečena moja tvrdnja o gubitku vremena posve temeljita, vidi se iz prijašnjega računa posve jasno; nu komu se nevjeruje ili o njezinoj istinitosti i samo najmanju sumnju goji, neka se izvoli primiti posla, neka pokuša sam gornji račun na oba navedena načina obaviti, pa će mu svake sumnje nestati. Tablicam g. pisca ne samo dakle da nemogu niti obzirom na prištednju vremena pred logaritmičkim razriešavanjem trigonometr. zadataka prednost dati, već ih moram upravo radi silnoga gubitka vremena, koji se njihovom uporabom kod rieševanja takovih zadataka prouzrokuje, neshodnimi, da što više u čestoj praksi neuporabivimi označiti, te im porabu samo na pojedine, riedke i iznimne slučajeve ograničiti u slučaju, gdje se logaritmovnika ili baš neima pri ruci, ili se ga radi njegove voluminoznosti nemože na vajnsku službu po |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 9 <-- 9 --> PDF |
nieti. Još je jedan i to važan razlog, zašto p´.š´evih tablica pri riešavanju trigonometr. zadataka pred logaritmičkira načinom izračunavanja uebi preporučio, sve da i istu točnost i istu prištednju vremena izkazuju kano i logaritmi, a to je taj, što se porabom tablica imade uvjek obaviti po više množidaba, dioba zbrojidaba i t. d., u koje se vrlo lahko može budi množidbena, budi diobna ili zbrojidbena pogreška podkrasti, koja kod uporabe logaritama doduše takodjer nije izključena, ali je ipak vrlo riedka obzirom na okolnost, da tu dioba i mnodaba neima. Resumirajuć sve, izreći mi je dakle svoj sud glede uporabivosti tablica g. pisca kod razriešavanja trigonometričkih zadataka u kratko ovako: Uvažujući dokazanu činjenicu, da nam tablice nepružaju one točnosti, koju nam podavaju Vegini logaritmi; uvažujući daljnju okolnost, da one i gledom na prištednju vremena uapram logaritmom ne samo nepružaju nikakovih probitaka, već ja njihova uporaba usuprot tomu sa znatnim gubitkom vremena skopčano; u posmatranju okolnosti napokon, da se rabljenjem tablica u resultat lako računarska pogreška uvući može: valjati će tablice samo u pomanjkanju logaritmovnika upotriebiti. Pošto sam ovako u kratkih crtah označio stanovište, koje napram skrižaljkam zauzimljem i svoj sud glede njihove praktične uporabivosti izrekao, osvrnuti ću se jošte u kratko i na ostale moje prigovore. Prvi moj prigovor sastojao se je u tom, što sam g. piscu kod tumačenja načina uporabe njegovih tablica obširnost predbacio. Da je ovaj moj prigovor posve osnovan, sliedi iz okolnosti, što će se svatko, tko je iole u traženjn logaritama verziran, bez ikakova tumačenja na prvi mah u tabllcah orientirati a manje vješti se i sa 3 do 4 primjera bez poteškoća uputiti. Za prvoga bilo je dakle svako tumačenje suvišno, a za potonjega dostatno i posve jasno, da mu je za slučaj, gdje se zadani kut ili zadata goniometrička funkcija u svojoj cjelosti nalazi u skrižaljkah, potraživanje zadanomu kutu odgovarajućega omjernoga broja pokazano samo na 2, a u slučaju, gdje se zadani kut ili zadani omjerni broj samo djelomice nalazi u skrižaljki, raztumačeno na 1 ili najviše 3, ukupno dakle na 4 do 5 primjera, jer postupak pri potraživanju nepoznanica iz piščevih tabela je za sve goniometričke funkcije i u svih slučajevih posve sličan i analogan, pa će se stoga svatko, tko te znade iznaći u jednom slučaju, posve dobro moći orientirati i u svih ostalih, Preobširno razlaganje od kojekakvih 20—25 primjera na strani 411 —414 ne samo da je po onoj latinskoj: ,Omne nimium nocet" posve suvišno, nego baš štetno, pošto se čitatelju od tumačenja neda ni toliko vremena, da i on sam štogod misli. Drugi moj prigovor, koji sam proti njekim točkam piščeve razprave podigao, sastoji se u tvrdnji, da je on u svojoj razpravi s jedne strane puno suvišnih formula naveo, a s druge strane njeke vrlo važne i to takove iz svoje razprave izpustio, na kojima se upravo ciela konstrukcija njegovih tablica osniva. |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 10 <-- 10 --> PDF |
Ovdje označiti mi je, koje su te suvišne formule i zašto. Posve suvišne su formule od 6—12, jer te sliede iz 1—6 jednostavnim razriešenjem odnosnih jednačba ; one pako od 3 — 6, ako i nesliede prostim razriešenjem 1. i 2. jednačbe, nijesu ipak od potrebe, jer se one iz prve i druge formule bez ikakovih poteškoća ili jednostavnom diobom prve kroz drugu i obratno druge kroz prvu ili pako iz pojma 0 goniometrićkih funkcija tim laglje dadu izvesti, što je g. pisac kod čitatelja poznavanje goniometrićkih funkcija predpostavio. Po tom dakle pisac za razriešenje pravo i kosokutnih trokuta nije trebao nikakovih drugih obličaka navesti, nego samo prvi i drugi obličak. Oblićci sinusove, tangentine i Carnotove zasade pako, koji su kod razriešavanja kosokutnih trokuta potrebiti, akoprem se dadu takodjer iz 1. i 2. formule izvesti, mogli su se u kratko samo navesti, jer im izvadjanje iziskuje poduljih matemat. operacija. Pošto sam ovako u kratko dokazao suvišnost njekih u razpravi navedenih formula, preostaje mi jošte navesti i dokazati one formule, koje su za izračunavanje vriednosti goniometrićkih funkcija sadržanih u tablicah g. pisca neobhodno potrebite bile, dakle formule, na temelju kojih su tablice izgradjene i koje po tom pisac pod nikojim uvjetom nije smio iz svoje rasprave izostaviti. Ove formule jesu: I. sin (a H- p) = sin a cos^ -f cosoc sinji. II. cos (a + P) = cos a cos P + sin a sin ^. sin 2 « = 2 sin a cos a cos 2 a = 1 — 2 sia^ a 1 + cos a sin a. 1 + cos a kos 2 sm X _ X — j-g-^ + j 2. 3.4. 5 ~~ 1. 2. 3. 4. 5, 677 ´^ ´ ´ cos X — 1 — j-g- + -^ 2. 3. 4~ Lirs. 4. 5. 6 + " ´ ´ Pošto su ti obličci često potrebiti, a njihovo izvadjanje vrlo interesantno, slobodim se iste ne kano dokazane predpostaviti, već ih na temelju elementarne matematike dokazati. Da pako stvar ipak preko mjere neotegnem, smatrati ću izpravnost prvih dvijuh formula (I. i II.), od kojih bi izvadjanje naročito puno vremena iziskivalo, dokazanom, pa ću onda na temelju tih dvijuh formula valjanost ostalih dokazati. Ako stavimo u jednačbah (I. i II.) x = [3, onda dobijemo: 1. sin (a + K) = sin 2 oc = sin a cos«-)-cos a sina = 2 sin« cos« 2. cos (oi -{-a.) = cos 2 a = cos^ V. — sin^« 3. cos (« — «) = cos 0° = cos*« + sin*« = 1; a iz ovih opet sliedi sukcesivnom medjusobnom množidbom dvoćlanika (cos a -[i sin a), (gdje je i = y^^^)] da je |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 11 <-- 11 --> PDF |
9 4. (coS(x + i sina)"* ^^coswa + i s\nmx, koja se potonja Moivreovom binomijalaom formulom zove. Sbrojenjem 2. i 3, odnosno odbitbom 2. od 3. jednačbe sliedi nadalje: 5. 1 + cos 2 a = 2 cos^ a ili =r1 + cos 2 a 6. cos a 2 7. 1 — cos 2 a = sin^ X ili 8. sinaiz: y 1 cos 2 a 2 Ako stavimo u jednačbah 6 i 8 2 a = a, odnosno a = - onda (´.emo dobiti; -r-+ cos a ^ 9, cos-= Y|^2(l + cosa) Yi cos a = 10. sin 2^1^ 2(1 +COSa) kano temeljne obličke, iz kojih se sinusi i cosiausi svih kuteva iznašajućih po_ ovicu scupnjeva zadatih kuteva proračunavaju. Sada bi mi jošte preostalo razjasniti postupak i pokazati, kako bi se uz uporabu prije navedenih formula 9 i 10 postupalo, kad bi se htjele sastaviti piščeve skrižaljke, odnosno kako je možda i sam postupao, kad ih sastavljao. Ako se upitne skrižaljke na temelju formula 9 i 10 žele konstruirati, onda je, ako se izračunavanjem funkcija od stupnjeva ima započeti, najglavnijom zadaćom prije svega iznaći kut, kojega su funcije po mogućnosti poznate i čira jednostavnije. Ovakav kut jest kut od 60". SI. 1. Ako opišemo u sliki 1. sa polumjerom C A = 1 krug i ako narišemo središtni kut sa 60", te onda točke A i B, u kojima kraci toga kuta prosjecaju obodnicu, spojimo tetivom A B, onda će se konstruirati istostraničan trokut C A B. Zašto? To sliedi iz dosadanjih premisa. Ako spustimo sada sa točke B okomicu B D na C A, onda je C D = cos 60« = -^ = ´/a; a sin 60" = B D = |^BC^^"Č^* = V´^ ~ (-)´=´V^l = ^ I^Š; dakle: cos 60"= VJ, a sin 60" = -^l´^3. Uporabom formula 9 i 10 sliede iz ovih dvijuh jednačba sliedeće vriednosti: \ sin m´ -YIEE^ _ V S _ Yi = V. |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 12 <-- 12 --> PDF |
— 10 Min 5« = 7,r2^yT cos 15" jsin70 30´ = -| j/ 2_r2T]rF ´cos 7" 30 -ff^ 2 + I 2 + Y d (sin 30 45´ = 73 Y^^^f2TT^ff |cos 3« 45´ = /, ^ 2 + jA + \^2^yff i t. d. Kako se dakle iz predidućega izvadjanja vidi, dadu se po formulah sin j = y l^Jl^-, ter cos j = y jL±ii ^ lahko izračunati vriednosti svih sinusa i cosinusa svakoga kuta imajućega polovicu stupnjeva zadatoga kuta, dakle iz sinusa i cosinusa od 60" sinusi i cosinusi od 30°; odavde sinusi i cosinusi od 15°; odavde takovi od 7° 30´ i t. d dok se ne dodje do sinusa i cosinnsa od 1 minute. Daljnje proračunavanje sinusa i cosinusa uporabom gornjih formula bio bi posve nepraktičan posao, pošto su sinusi svih kuteva manjih od 1´ na 10 do 11 desetinaka posve jednaki lukovom odnosnih kuteva, pa se stoga izračunavaju TT a" kano i odnosni lukovi iz oblička 1 = TOA^^T^^^TTT^ I a odgovarajući im cosi nusi iz poznate formule cos a = | 1 — sin^a.Nu ako se neimadu izračunati pojedini sinusi, nego sinusi od cieloga niza kuteva nalazećih se izmedju kuta od 1 sekunde do 1 minute, onda se najjednostavnije i najpraktičnije to obavlja sukcesivnim zbrajanjem vriednosti sinusa od 1 sekunde do 1´ (minute) ; stoga se imadu upitni sinusi sačinjavajući niz sinusa od kuteva 1" do 1´ (minute) iznaći sukcesivnim sbrajanjem vriednosti sinusa od 1" do 1´, a odnosni cosinusi formulom : cos oc =- ] 1 — sin´^a tako, da će biti: 1. sin 1" = 0000004848 2. sin 2" = 0-000009696 3. sin 3" = 0-000014544 i t. d. do sin od 1´. Ovo jednostavno proračunavanje sinusa sbrajanjem moglo bi se od 1 minute i dalje nastaviti sve do 1", nu u tom slučaju bili bi sinusi samo na 5 desetinaka posve točni, dočim bi se već u 6. desetinki izmedju sinusa i odnosnoga luka pokazala razlika od ´/^ milijuntine. Ako se dakle neiziskuje veća točnost, nego što ju g. pisac u svojih tablicah navadja, onda se i sinusi od 1´, pa sve do 1° dadu gore spomenutim jednostavnim načinom ustanoviti; no ako se traži veća točnost, onda se mora koja od formula sin 2 a = 2 sin a cos z, ili pako sin (a + p) = sin a cos |i -[- cos a. sin [i upotriebiti. Recimo, da se mi bud s kojega god razloga nemožemo zadovoljiti sa u tablicah navedenom točnosti, onda ćemo morati proračunavanje sinusa od 1 minute pa do 1" nastaviti na temelju gore citiranih formula. |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 13 <-- 13 --> PDF |
— 11 — Po tom biti će dakle, pošto je sinus od 1´ = 0´00029088 . . . sin 2´= 2 sin l´cos 1´= 2 sin l´J 1 Igin 4´= 2 sin 2´cos 2´= 2 sin 2´|/ 1 — sin´-2´ I sin 8´= 2 sin 4´cos 4´= 2 sin 4´]/"l — sin^ 4´ jsin 16´ = 2sin 8´cos 8´= 2 sin 8´)ri — sin´´ 8´ ´sin 32´ = 2 sin 16´ cos 16´ =- 2 sin 16´j/^l -sinM6´ sin 64´ = sin 1" 4´ = 2 sin 32´ cos 32´ = sin 32´ j 1 — sin^ 32´ i t. d. Iz ovih se formula podjedno vidi, da se s njima izračunavaju ne samo sinusi, nego i cosinusi, jer svaka od jedaačba)/^! — sin^ a´predstavlja nam vriednost cosinusa. Zgodnim spajanjem netom citiranih jednačba dadu se na temelju oblička sin (a + p) = sina cos[3-)-cosa sin,3 svi sinusi još izmedju 1´, ter 1" manjkajućih kuteva lahkoćom proračunati. Tako imademo: i i sin 3´ = sin 1´ cos 2´ -f- cos 1´ sin 2´ sin 5´= sin 1´ cos 3´+cos 1´ sin 3´ sin 6´ = sin 4´ cos 2´ -j- cos 4´ sin 2´ sin 7´= sin 3´ cos 4´ -f-cos 3´ sin 4´ i t. d., dok se nedodje do sinusa od 1°, a ako se žele sinusi i svih ostalih kuteva od 1° do 45" u skoku od minute do minute izračunati, onda se taj u I. i II. nizu jednačba započeti račun u neprekidnosti nastavlja (istim načinom kano i za minute) sve do 45°, dočim se za ustanovljenje sinusa od kuteva većih, nego li 45° neće trebati nikakovih pro - računavanja, pošto su sinusi od (90 — x) = cos oc; a cos (90 — a.) = sin a tako, da će se uvjek moći mjesto funkcije kuta većega od 45° staviti kofunkcija kuta, manjega od 45° i dopunjujućega onaj prvi na 90°. Ako se izračunaju iz sinusa odgovarajuće goniometričke funkcije i sastave u jednu cjelinu, onda su skrižaljke gotove, a podjedno predočen postupak njihove konstrukcije na temelju formula I. 1, 6, 8, 9. i 10. Sličnim putem mogao je udariti i g. pisac sastavljajuć svoje tablice. Nii pripomenuti ću, da su za sastavak prije navedenih tablica na opisani način samo formule sin (a + [^) ^ sin a cos^ + cosa sin^, ter sin 2 7. = 2 sina -1/ ´^ ´t/^ 1 cos a ]/ 1—sin^a absolutno potrebite, dočim su formule sin~2 ~y — 2 0^ ^^ 1 -f cos a i cos 2= y """p""^" samo onda nuždne, kad se zahtjeva, da se kod konstruk cije skrižaljke započme proračunavanjem funkcija od stupnjeva. Svakako mogu . p ^ ^ \i 1 — cos a ^ i/^ 1 + cos a . , . j IZ formula sm 2 = y -^ ter cos a = V ~ izracunane vried nosti goniometričkih funkcija kano kontrola služiti. Drugi način konstrukcije piščevih ili ovim sličnih skrižaljka jest onaj iz formula: |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 14 <-- 14 --> PDF |
12 — sinx_x-12.3"^!.2.3.4.5´ 1.2.3.4.5.6.7 ^ "" X^ X* x^ cosx = 1 --- + 1^ 3 4 - 1.2.3.4.5.^ + "" ´ Kako se na temelju ovih dvajuh obličaka pojedine goniometričke funkcije izračunavaju i skrižaljke sastavljaju, već je samo po sebi jasno; pripomenuti mi je samo to, da nam na desnoj strani u gornjih jednačbah x predstavlja luk odgovarajući dotičnomu kutu x na lievoj strani jednačbe. Preostaje mi jošte dokazati izpravnost gornjih dvijuh jednačba. To se može najlaglje na temelju više matematike i to pemoćju Maclaurinove zasade f (x) = f (0) Hh X f (o) + ^f" (0) + .. + , gdje nam f (o), f" (o), f" (o) i t. d predstavljaju differeneijoaalne kvocijente 1., 2., 3. reda... od f(x); nu dade se to dokazati i elementarnom matematikom i to na sljedeći način: Po Moivreovoj binomijalnoj zasadi imađemo: (cos %-\-i sin a) m = cos m a + i sin mx = cos x i sin x, pa stoga je i obratno: ]. 2. 3. 4. I ´tin cosxH-isinx = cosmoc + isinma: = (cosa + isina.) ™ =c<)33c´" {l-f-i \ [ cos aj 5. 6. = C0Sa"´ I 1+tnga i™ =cosa´^ | 1+mitnga + " ^"^ — (itnga)´^ + 7. m(m —l)(m —2) ,., ,, , \ ""´I, , .x ,m(m-l)/. xy —^ ;-~"7^ ^(itnga)´ + > = cosa { 1 + mi—+ \ „—^1 i —I + 1.2.3 V. 6 / I j [ ´ m 1.2 \ m/ m(m —l)(m-2) ( ^V , m(m- l)(m —2)(m - 3)/. x V 1 1.2.3 V m / "^ 1.2.3.4 \^ m / ^" J x´"j, , .X , m(m-l) (ix)^ , m(m-l)(m —2) (i x)´ = cos— < 1 + mi "^—r~ ićr H ^ ;^i T^o"^ + ml m m´^ 1.2 m´ 1.2,. 6 9. m(m —l)(m-2)(m-3) (ix)* , I F^L , . , /, 1\ 1.2 +V^ m) 1.2.3 + V m/V m) \ m/ 1.2.3.4^--1 10. (ix)% (ix)´ , (ix)* , (ix/-, (ix)´´ , 1 = cos 0" I l + ix + 1.2^1.2.3 ´ 1.2.3.4 ´ 1.2.3.4.5´ 1.2.3.4.5.6 |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 15 <-- 15 --> PDF |
— 13 U. x^ = il+i x + (i)« ^ + (i)^^2-3 + (ir.^;^;3;^+(i)-^-^^;^;^;^ + (i)«. 12. hl 1.2.3.4.5.G ´ ") I 1.5i 1.2.3´ 1.2.3.4´ 1.2.3.4.5 13. T2JW-^ 1.2.3.15.6.7" + ----}´^"´^´^"´^^´^´°^ = ´ ^-´1:^3+ ´ U. +. ... ilisinx=x — 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 ´´ 1.2.3 ´ 1.2.3.4.5 15. x^ x^ I . _ 1 _ x° , 1.2.3.4.5.6.7´*´ 1.2.3.4.5.6.7.8.9 +´ ^e cos x — i " ^ ^ + 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 1.2.3.4.5.6.7. Tumačenje gornjega izvadjanja: Jeđnačbe 1—3 sliede iz Moioreove zasade, a jednačba 4 sliedi iz 3 razsin y tvorbom u 2 činbenika; jednačba pako 5 iz 4. tim, što je ^—-´ = tng x; 6 iz cos ^ 5 jednostavnim umnažanjem dvočlanika (1 + i tng y.) na mtuuzmnog; 7 iz 6 ,—^ X zamjenom tng a sa lukom istoga kuta, naime sa a ili , što je dozvoljeno, jer se kut a može po volji malenim poprimiti, a luk od neizmjerno malenoga kuta jednak je tangenti istoga kuta. Da se kut a može po volji malenim uzeti, sliedi iz jeđnačbe x = m a, u kojoj faktori m i x neitnadu nikakvomu drugomu uvjetu udovoljiti, nego jedino tomu, da im umnožak bude jednak x; a tomu se uvjetu može vazda udovoljiti, kojegod vriednosti faktoru a podavali. Ako uzmemo n. pr., da je a = oo, onda je faktor m neizmjerno malen, ali ipak u tom razmjeru prema x, da im umnožak bude jednak konačnomu broju x; a ako uzmemo, da je a neizmjerno maleno, onda je m neizmjerno veliko, ali opet samo tako, da im umnožak dade konačni broj x. Ovaj potonji slučaj poprimljen je u našem gornjem zadatku. Jednačba 7 transfoi mirana je u jednačbu 8 uklonjenjem faktora m^, m^, m*. . . . iz uzmnoga /i x\^ /ix\´´/ix\«i I — I I — I I — I .... i premještenjem pod izraze m (m — 1); m(m — 1) (m — 2); m (m — 1^ (m —2) (m — 3) i t. d. i napokon premještenjem faktora 1.2; 1.2.3; 1.2.3.4 i t. d. pod odnosne uzmnoge od (i x)^ (i x)^ i t. d. |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 16 <-- 16 --> PDF |
_ 14 — Jednačba 9. postala je iz 8. ovršenjem diobe u izrazih -; ^´^—^ m m´^ m(m —1) (m—2) ,A n .- ^. ..123 —^^ h, 1 t, d.; a 10. IZ 9. tim, sto su izrazi .... kano m´ ´ m, m, m neizmjerno maleni brojevi izćezli, odnosno izpušteni; 11. iz 10. tim, što je imaginarna ili pomišljena jedinica i = ^ i— i razstavljena od faktora svojega x; 12, iz 11. tim, što ju uzmnažanje imaginarne jedinice (i) doista izvršeno, pa tim (i)´^ postalo — 1, (i)3 = —i, (i)* = + l, (i)5 = + i, (i)« =^^ _ 1, (i)´ = _ i (i)®=H-1 i t. d. postalo. Ako se uvaži sada, da je jednačba 1. jednaka jednačbi 12, da su nadalje obje te jednačbe okupni brojevi (complexe Zahlen), Jpa da one samo onda postojati mogu, ako se (pomišljeni) imaginarni odnosno (stvarni) realni dio jedne postavi jednakim imaginarnomu odnosno realnomu dielu druge jednačbe (što u ostalom iz naravi same stvari slieđi, jer imaginarni ili pomišljeni broj nemože biti = realnomu), onda iz jednačbe 1 i 12 proizlaze one pod 13 i 15, dočim jednačba 14 sliedi iz 13, razdieliv potonju sa imaginarnom jedinicom iv^T T Još je jedan način kako je mogao g. pisac, pa i svatko drugi njegove skrižaljke sastaviti. Taj način, koji je ujedno i najednostavniji, sastoji se u tom, da se iz Veginoga ili sličnoga mu logaritmovnika povade logaritmi goniometričkih funkcija za sve tražene kuteve, ovim logaritmom potraže odgovarajući brojevi, koji nam onda predstavljaju vriednosti dotičnih goniometričkih funkcija, te da se onda slože u pregledne tablice. Kako je pri sastavku svojih tabela g. D. K. postupao, koju li od gornjih metoda upotriebio, nije mi poznato, a niti se to razabire iz njegove razprave, nu da je jedan od gore opisanih načina u svrhu sastavka svojih skrižaljka upotrebiti morao, ili svoje brojke iz kojih drugih shčnih tablica povadio, to stoji, a 0 tom nemože biti dvojbe, jer „tertium non datur". Stoga scijenim, da neće biti zgorega, ako gospodin pisac već obzirom na to, da se i drugi od gospode čitatelja sa metodom njegovim nepoznati uzmognu i svaka neosnovana sumnja razprši, u jednom od sliedećih brojeva „Šumarskoga lista" obrazloži i protumači način konstrukcije svojih tabela. Na rastanku još jednu. Pošto su se u matematičnom dielu razprave g. pisca podkrale njeke krupne pogrieške, kojih sve dosada izpravio nije, smatram si za dužnost te pogrieške u sliedećem navesti i rektificirati. Na strani 423. u posliednjem redu mjesto a + b: a — b piši (a + b): (a —b); na strani 424. u 5, redu odozdol mjesto a + b : a — b piši opet (a + b): (a — b); a na strani 426. treći redak odozdol mjesto A D + BD: A D — BD), piši (A D + B D: A D — B D), a tng u istom redu briši i piši nuz u 4. redu; nadalje briši u istom redu kod tng znak jednakosti, jer tng |
| ŠUMARSKI LIST 1/1895 str. 17 <-- 17 --> PDF |
— 15 — : tang nije , jednako kutu od (m + n + k + S); ko 2 ^ 2 načno u 10 redku odozgor mjesto AD + BDiAD — BD piši (A D 4-B D): (A D — B D), jer je velika razlika izmedju prvoga i drugoga izraza. Dočim naime prvi izraz AD 4-BD:AD — BD znači, da se broju A D ima pribrojiti kolićnik B D : A D, a od toga sbroja odbiti B D, to znači izraz (A D + B D) i (A D — B D), da gB imade k broju A D pribrojiti B D, te ovaj sbroj sa njihovom razlikom podieliti. Na koncu primjećujem, da se je i u formulu bivšega g. urednika ovog cienjenog lista, koju je on za razjašnjenje njekih okolnosti samo apendikularno c. sin D dodao, uvuklo više krupnih pogriešaka. Absolutno bo nestoji, da je b = A— ^ , , log c. log sin D , , , T^ 1 A t u- f = log b = —2- ;— = log c + log sm D — log sm A, jer ta bi for- log sm A mula značila, da je: 1. svaki broj jednak svojemu logaritmu; 2. logaritam umnožka (M N) jednak umnožku iz logaritama istih brojeva; 3. umnožak iz logaritama kojih brojeva jednak sbroju njihovih logaritama ; 4. logaritam količnika jednak količniku logaritama, a ovaj jednak razlici logaritama, što svakako nestoji, te vodi do gornjih veoma čudnovatih zaključaka. Predpostavljajuć, da je stavak jednačbe b == —-.—r— dobar, što se absolutno prosuditi nemože, jer nije formulirana zadaća, imalo bi daljnje riešenje gornje jednačbe glasiti: log b = log c -}- log sin D — log sin A, a nipošto onako, kako je ona gore razvijena. Pošto sam ovako u glavnih crtah ocrtao pravu vriednost piščevih tablica, ter označio put, kojim je valjalo i valja udariti, da se iste sastave, a konačno izpravio i njeke bitne matematične pogrieške, koje su u njekih trigonometričkih zdatcih nastale, zaključujem svoju razpravu moleći, da mi vriedni čitatelji oproste, ako sam jim strpljivost zlorabio. Razvoj šumarstva u Bosni i Hercdgovini pičam od austrougarskog zauzeća do god. 1893. Razpravlja šum. savjetnik Dragutin Hofmail u Sarajevu. (Svršetak), Po ustanovah ministarske naredbe, kojom je provedena razdioba šumskoga odsjeka, spada u djelokrug A) Šumsko-upravnog odjela: Izradba, odnosno izpitanje svih predmeta, tičućih se: 1. razpoložbe sa erarskimi sumarni i pašnjaci, zajedno sa pripadci usljcd darovanja, zamjene, prodaje, krčenja itd. ; |