DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 18     <-- 18 -->        PDF

a rot g \J M z´2 -\- Nz d z -\~


(2 + V2 +1)


+ 2(V2 — 0 l´s-arctg \/3f23 +... -dz-\+
(\ \f U2 arctgy 1/,.2 4" ..2 đz — V v Mz* -\- Nz d z îoo : (18)
Ističem ovdje, da je izraz u uglatoj zagradi ove fermule jednak:


F. d*
*


(19)
Trebat će nam to niže na više mjesta.


Kada bi znali vrijednosti integrala u uglatoj zagradi jednadžbe (18),
mogli bi izračunati sam procenat otpatka. Mi nećemo računati te integrale
ekzaktno , već približno i to toliko približno, da to bude dostatno po našu
svrhu. Razdijelit ćemo definiciono područje <0 , 1 > podintegralnih funkcija
u 10 jednako dugačkih podintervala. Računat ćemo vrijednost podintegralnih
funkcija uvijek na granicama tih podintervala. Dapače, mi nećemo računati
podintegralne funkcije na taj način samo unutar intervala , već i
preko gornje granice toga intervala. Dakle računat ćemo vrijednosti podintegralnih
funkcija za z = 0 0, 0´1, 0´2 . . . 1´0, l´l, 1´2 . . . . Svrha, u koju
proširujemo podintegralne funkcije i preko konkretnog, nama momentano
potrebnog, područja <0 , 1>, razjasnit će se docnije. Dakle računat ćemo
konkretne vrijednosti podintegralnih funkcija za z = 00, O´l, 0´2 .... Kada
imademo te vrijednosti izračunane, možemo upotrijebiti za približno računanje
naših integrala ili trapez no ili opet Simpson ovo ili pako koje drugo
pravilo (Vidi Fricke „Integralrechnung" III. izdanje str. 66—74).


Nazovimo našu jednu podintegralnu funkciju, na pr. funkciju pod
našim prvim integralom u uglatoj zagradi jednadžbe (18) sa f(z), dakle
arctg >JMz* + Nz = f(z).


i i


Onda bi se \ arctg \j M z- -\- N z -dz = \f(z)-dz dobio približno n.pr.
o o
po trapeznom pravilu, ako definicioni interval razdijelimo u 10
jednako dugačkih podintervala:


,/´(0)+/(0-l) /(0-1) +/(0-2)


J(z)dz o-i o-i


382




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 19     <-- 19 -->        PDF

/(0-2)+/(0-3) /(0-9) +/(1-0) o-i,


o-i


1


f/(s) dz = o-i ..2./._ +/(0-1) + /(0-2) -/(0-9)


Općenito pretpostavlja trapezno pravilo, da je funkcija f (z) zapravo
između pojedinih poznatih tačaka (/(0),/(0-l) ) linearna, t. j . daje
pravac.


Bolja je pretpostavka, da je ta funkcija između pojedinih poznatih
tačaka parabola višeg stepena. Na toj je pretpostavci izgrađeno t. zv. Simpsonovo
pravilo. Po njemu bi naš integral bio približno:


Jl/(*)đ* = y-0-1 /(0) +/(1-0) + 4 {/((H) +/(0-3) + -/(0-9) J +
+ 21/(0-2) + /(0-4) H /(0-8) (20)


Na taj način izračunajmo sve integrale unutar uglate zagrade jednadžbe


(17) odnosno (18), zapravo:
i


jarctg \JMz* -\-Nz d z ,
o
zatim :


i


.. arctg ^´Mz2 -4-Nz -dz,
o


i


..2 arctg \.... -ÇWz d z


o
i konaca


i


^{Mz^fWz-dz,


o


Tabela III. prikazuje sav taj račun. Kako sam već spomenuo, računao
sam s izvjesnih razloga, koji će se kasnije rastumačiti, vrijednosti podintegralnih
funkcija i preko gornje granice intervala <0 , 1"0>-


Na temelju tabele III. izračunate vrijednosti integrala:


i i


jarctg {Wz2 -Ar Nz -dz, jz arctg s/Hz* -4-Nz -dz,


j.2 arctg\j Mzl -f-Nz di te \\[Mzi-\-Nz -dz, u o


valja uvrstiti u jednadžbu (18), da se dobije naš konkretan procenat otpatka (p).


383




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 20     <-- 20 -->        PDF

384




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 21     <-- 21 -->        PDF

Izvršimo li to uvrštenje, dobivamo
12


0-551341 + 2 (V 2 — l) 0-327726 +


p = «(2 + y 2 + 1)


+ (v´Y— l)2 -0-231228 — 0-640862 100.
Odnosno:
P
12
13-867651
0-551341 +0-828428-0-327726 +


+ 0-171573-0-231228 — 0.640862 100
= 0-865326 [0-551341 + 0-271497 + 0´039673 — 0-640862J 100


= 0-865326 [.-862510 — 0-640862 100


== 0-865326-0-221648-100.
Odnosno :


p= 19-178% (21)


Moguće će se ´tko pitati: zar se nisu mogli volumeni okrajaka računati
po formuli punog cunja t. j . tako, da se poprečna ploha okrajka na njegovom
debljem kraju pomnoži sa trećinom dužine (visine) okrajka? Ako volumen
okrajaka izračunamo na taj način i stavimo ga u odnos naprama volumenu
punog trupca, dobivamo kao % otpatka iznos cea 16%- Razlika je dakle
puna 3%- Zato sam se i odlučio za gornji način računanja % otpatka. Mogli
bi si nakon izvjesnog razmatranja stvoriti i sliku s kolikom je pogreškom,
vjerojatno, skopčana naša brojka 19´178%- Međutim to bi nas razmatranje
odviše daleko odvelo. Gotovo da je ono i za nas posve izlišno. Već eo ipso
time, što smo interval <0 , 1 > podintegralnih funkcija kod naših računa
razdijelili u 10 dijelova, pa smo sve račune provodili na 6 decinala, možemo
biti unaprijed posvema sigurni, da smo daleko premašili točnost, koja bi za
našu svrhu bila uopće potrebna.


Iz čitavog se dosadanjeg razmatranja vidi kako i ovdje kod ovog (zapravo


općenito pod B) opisanog načina obrađivanja malođrvne oblovine ovis i
°/„ otpatka općenito o koeîicientu pada samog trupca, t. j .
trupac stalnog koeficienta pada imade i stalan °/0 otpatka.


Kod koef. pada smo dakle \] 2 — 1 = 0´4142 izračunali
P = 19%.


Kako je kod drugih koeficienata pada, a kod istog načina isijecanja
greda s temeljnim kvadratnim profilom? Kada je koeficienat pada veći od
0´4142 i kada je on manji od 04142?


385




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 22     <-- 22 -->        PDF

b) Koeficienat pada samog trupca veći od \j 2 1.


Kada je koeficienat pada (uzmimo K) veći od h=\j2 — 1 = 0´4142 ,
to kod takovog trupca mora, do izvjesne njegove daljine računajući od tanjeg
kraja, koeficienat pada biti baš = 0´4142. Nazovimo tu daljinu sa L. Promjer
trupca u toj udaljenosti f od tanjeg kraja neka bude A. Vidi sliku 15, koja
prikazuje uzdužni presjek jednog takovog trupca, kome je K^> 04142. Iz
te slike vidimo, da postoji odnos:


A —d


1 A --d d 0.4142


(22)
l D--d" D— d K ´


d
gdje l označuje potpunu duljinu našeg trupca, d promjer na tanjem, a Dn a
debljem k g ju.


81. 15.
Nadalje vidimo iz slike 15- da je:


d + (D — d) -2-(23)


Koeficienat pada deblje pole — dijela trupca — koja bi preostala, kada bi
se s tanjeg kraja odrezao komad sa koeficientom pada &=0´4142, jeste
~~—. Taj je koef. pada dalje jednak:


D D^đ — (D — d)±


a _j_ (x> _ d) 4


Uvrstimo li ovamo izraz za -j - iz (22), i podijelimo li brojnik i nazivnik
sa d, dobivamo:


D d D — d Je
D d

d K
1 4I)
— d
dk
.


386




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 32     <-- 32 -->        PDF

Prema tome možemo (44) i ovako pisati :


L


jarctg \j Mz* -|-Nz -dz-\


...\»


..


+ 2 (y 2 — l) ..-arctg {Wz* -j-Nz dz -j+
(V´2 — 1)2].2 arctg \jMzi + Nz dz — \\jMz* -\- Nz -dz 100. (45)
/


Veličine k i veličine -=- moramo u tu formulu uvrstiti iz tabelica IV. i V.


Li


Evo na pr. hoćemo da izračunamo °/o otpatka, što otpada na jedan od
šiljastih okrajaka, kod izrade grede, kojoj je (i = 0"8, a isijeca se iz trupca,
kojemu je koeficienat pada k = 0´28062 (glasom tablice IV.). Isijeca se na
način, kako je općenito pod B opisan. Za % otpatka (pî), što otpada na
takav okrajak, kod takove grede i takovog trupca dobivamo preko (45) i ako


za -=- uvrstimo iznos iz tablice V. :


Li


Pl . 0-67750 (0.280622 -f-3 0´28062 +
\arctg
3)
\ Mz2 -\- Nz dz -j -
0-67750
+ 0 8284 . arctg \jMz* -f-Nz -dz 0
0-67750 0-67750
+ 0-1716 ..8 -arctg \]..* -f-Nz dz— §\JMz* + Nz -dz . (46)


Budući da su podintegralne funkcije identične sa onima u tabeli III.,
možemo naše integrale i izračunati na temelju tabele, III. Na interval integracije
od upotrijebimo Simpsonov o pravilo, a na interval
trapezn o pravilo. Analogno kako smo gore radili kod
kvadratne grede, a koeficienata pada manjih od \J2 — 1 . Naravno, da pri
tome moramo izračunati i vrijednosti podintegralnih funkcija za z = 0´67750


Vrijednosti podintegralnih funkcija za z = 0´67750 iznose:


{Wz*--\-Nz = 0-8,


1


arctg V Mz? + Nz = arctg 0´8 = are (38° 39´ 30") = 0´674715, !


(47)
z arctg si M z*-\-Nz =0-67750-0-674715 = 0-389648,
z*-axetg\jMz*-\-Nz = 0459001 -0"674715 = 0´309695 . I


396




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 33     <-- 33 -->        PDF

Radi lakšeg računanja pripominjem, daje općenito iaraz \j Mz% -\-Nz,
ako za promjenjivicu z uvrstimo iznos — očitan iz tabelice V, odnosno formule


Ju


(43), a M i N uvrstimo iz (13), jednak upravo:
sjMz*-\-Nz=p.


— , «
V 2 — 1


Evo zašto! Kod formule (13) bio ie M = -—= , a.N= —=-.
V´2 + I V´2 + I
Kod formule (43) bio je 4" = -^-Ž=^ J
i V2 —1
Uvrstimo li umjesto 0 u izraz \JMzt-{-Nz tu vrijednost -=-i a umjesto
M i N također pripadne vrijednosti, dobivamo :


^ » V2+1 (V2 -l) 2 y´2+1 V2 -1


1+^—2 y´ 1J-^2 + 1_+ 2 y 1 + M2 — 2
(v/y+i)(V2 -1)


yzTT^´ (48)


Izračunamo li na temelju tabele III. i na temelju navedenog pod (47)
naše integrale u (46) pomoću Simpsonovog i trapeznog pravila, dobivamo :


067750


\ arctg {Mz* + Nz -dz = 0´314920
o


0´f7750


j s arctg v;if22 + Nz dz = 0-124894


0
00
1775


007750
00


\ 22 arctgv´Alz2 -f Nz -dz = 0´061354


0


0 G77ÔO


sjMz* -\-Nz -dz = 0-349935 .


Uvrstimo li te vrijednosti u jednadžbu (46), dobivamo:


(°´8) °´8284


* = » 0-677503. 3-9.08-^314920 + ´ ^ 89 4
597




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 34     <-- 34 -->        PDF

+ 0-1716 0-06135 — 0-349935
Pj = 0-02839- 100 = 2-84%. (49)


To je dakle procenat, što otpada na jedan od šiljasti h okrajaka,
ako je (i = 0´8, a k = O28062 . Na posve isti način možemo izračunati i
procente šiljastih okrajaka kod greda sa drugim profilnim koeficientima, koje
bi se grede isijecale iz trupaca sa koeficientima pada prema tablici IV.


Tako dobivamo za ., = 0-6 i za k = 0-16619 kao procenat jednog
šiljastog okrajka:
Pz (0-6) = 1-44% (50)


Na taj je način izračunata tabelica VI., kao tabelica procenata šiljastih
okrajaka.


Tablica VI.


ft = 10 ,« = 09 ft = 0´8 ft = 0-7 ,« = 0-6 ^ = 05
k = 0-4142 k = 0-3454 k = 0-2806 k = 0.2206 k = 0-1662 k = 0-1180


Pj = 4-8 % Pj = 3 6 % J>j=2-8% Pj = 2-1 % Pj = 1-4 % ^ = 1-0%


Pređimo na tupe , postran e okrajke. Prikažimo u si. 19. jedan takav
okrajak. Da li ćemo i kod računanja njegovog procenta, t. j . njegovog udjela
na masi čitavog trupca, moći sve svesti na integrale pod (16), (17), (18)?


´ .redit ce trap
C

SI. 19.


Ordinata hiperbole na početku našeg okrajka u si. 19. jeste r\j 1 — fi-,
ako sa r označimo opet polumjer na tanjem kraju našeg konkretnog trupca
(a sa R na debljem kraju). Do toga lako dolazimo, uočivši čitav poprečni
profil grede na tanjem kraju (Vidi si. 19.). Ordinata hiperbole na protivnom


398




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 35     <-- 35 -->        PDF

(debljem) kraju grede upravo je =r . Ne smijemo naime zaboraviti, da
promatramo slučajeve gdje grede na debljem kraju trupca postizavaju upravo
formu oštrougaonog pravokutnika!


Jednadžba naše hiperbole, obzirom na koordinatni pravokutni sustav,
kako je postavljen u si. 19., glasi:


.. = — V (. + c)2 — . (51)


Da odredimo nepoznate konstante, postavimo slijedeće relacije (vidi i
si. 19.):


a) r \j 1 — u2 = — v/c2 — a2


a


ß) r = — \/ (c -j-l)2 — a2 (52)


a
B r


.)


c -\~ l c >


Odavde, iz tih relacija, možemo izračunati konstante a, b i c za jednadžbu
(51). Međutim, kako ćemo kasnije vidjeti, za nas su od interesa samo konstante
a i c. Iz relacije y u (52) dobivamo:


l.
R — r


Jer je — = —- , gdje k označava koef. pada, to je one


l


(53)
Uvrstimo li taj izraz u prvu i drugu jednadžbu [a) i ß)] kod (52), dobivamo
:


a) r V 1 — /.* --= —.


».´-TY(4 + ´)´-«´


Podijelimo prvu od tih jednadžbi s drugom. Dobivamo:


l*


— a<
\/ 1 — M2 =


-j-Ij — a2


Odavle opet izlazi, da je:


...




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 36     <-- 36 -->        PDF

1 — fl*


(. + ´)*-«´


odnosno:


+ l) (
1~*´)(. + 1)´ -«(!-#.)+* ifc2 ´
a22/2


" = f -(1-",)(.+


1 -. (. + 0


Odnosno:


(54)
a = /´ V ." 1-H(i+1


Sada znamo veličine c i a. Nadopuna je naše, hiperbole s do njenog
sjecišta sa osi x t. j . do njenog tjemena (vidi si. 19.):


s = c — a. (55)


Zamislimo si naš trupac, čiji je okrajak prikazan u si. 19., produžen
na lijevu stranu do tjemena naše hiperbole. Koliki bi bio polumjer trupca
na tome mjestu? Upravo kod tjemena naše hiperbole! Nazovimo taj polumjer sa Q.


Mi taj ç možemo izračunati iz relacije:


R


r — ç


Odavde je naime:


R— r


r — ç


odnosno:


R — r


(56)
Q = r .—...


Zamislimo si ishodište koordinatnog sustava premješteno u tjeme naše
(nadopunjene) hiperbole. Apscise onda neka budu L = X -j- s.
Gdje, u kojoj daljini od tog novog ishodišta, imade hiperbola ordinatu


.. = g , odnosno, gdje naš trupac imade polumjer = ç \ 2 ? Kada bi znali tu
daljinu, mogli bi svesti i ovaj naš slučaj na slučaj, gdje je koeficienat pada
bio upravo = sj 2 — 1 , a okrajak šiljast.
Nazovimo traženu daljinu sa L. Vidi si. 19


400




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 30     <-- 30 -->        PDF

Kolik je dakle Vi? Narišimo takav šiljati okrajak ponovno u slici (18).
Zamislimo si taj isti okrajak produžen i preko dužine trupca tako, da
postignemo isti slučaj okrajka, kakav je bio gore u slikama 10., 13. i 14-,
t, j. kod fi = 1"0 i k= \j 2 — 1 . To produženje urisano je u sliku 18.
crtkano.


Si. 18.


Volumen tog nadopunjenog okrajka nazovimo sa V, a potpunu dužinu
nadopunjenog okrajka sa L. Dužinu konkretnog okrajka (zapravo dužinu
trupca) nazovimo sa l. Kada bi htjeli izračunati volumen V, mogli bismo
upotrijebiti formulu (16), dakle:


i


\7 = L-j>2 đz,


0


samo što nam sada L označava ono, što je u (16) označavao l.
Mi, međutim, trebamo volumen konkretnog okrajka, odnosno, volumen
nadopunjenog okrajka do dužine l. Vidi si. 18.
Taj je volumen:


Vz= §Fxdx.


Označimo opet sa . izraz -=-, da naime uzmognemo upotrijebiti iste


Li


integrale, koje smo gore upotrijebili kod kvadratne grede. Onda je:


Vj = L§Fzdz. (41)


Procenat otpatka (pi), koji nastaje samo uslijed jednog okrajka, iznosio bi:


pi = ~ 100,


gdje Vt označava volumen konkretnog trupca. Dakle bi bio:


394




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 29     <-- 29 -->        PDF

upravo = 0. [0 značenju faktora y i zašto je y na tanjem kraju grede
2


upravo uzet y = — arcsin ., vidi također pod I. kod formule (7) a)].


81. 17.
Koliki mora da je koef. pada ovakovog trupca, u koji upisujemo baš
ovakovu gredu, ako je . prof, koeficienat te grede?


Iz slike 17. vidimo, da taj koef. pada (k) mora biti:


B \j r2 -j-.2 [l* r V 1 + .*


i
v i H- #** — i (40)


Uvrstimo li fi = l´O, dobivamo, posve naravno, onaj koeî. pada, koji
smo izračunali gore na temelju slike 10-, t. j . \J 2 — 1 . Ono je dakle u slici


10.
bio zapravo samo jedan specijalan slučaj od ovog, ovdje razmatranog.
Izračunamo li k za razne fi iz formule (40), dobivamo tabelicu IV.
Ta b1 i c a IV.


.. 10 09 0-8 07 0-6 0-5


k 0-4142 0-34536 0-28062 0-22065 0-16619 0-11803


Zadatak bi sad bio u tome, da se izračunaju procenti otpatka za te
razne . i k.


Ponajprije se radi o tome; da se dobiju volumeni okrajak a.
Gornji i donji okrajak trupca u slici 17. jesu jednaki. Isto i lijevi i desni,
odnosno prednji i stražnji.


Kolik je volumen gornje g (odnosno donjeg), dakle na jednom kraju
šiljatog okrajka? (Postrani su okrajci s oba kraja tupi!)
Nazovimo taj volumen sa Vj, dok ćemo volumen jednog od postranih
okrajaka kasnije nazivati sa Vn.


393




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 28     <-- 28 -->        PDF

koef. pada o-i 0-2 .-. 0-4 0-5 0-6 0-7 08 09 1-0


0
0 otpatkB = 4 7 12 19 25 29 34 39 43 46


Nehotice se sada namiče pitanje : kolike su razlike između ovih procenata
i pripadnih procenata tablice 2. g. prof. Dr. Levakovića ? Drugim
riječima: kolike su razlike u količini otpadaka, obrađuje li se oblovina
posvema oštrobridno i obrađuje li se merkantilno po tipu B i to
in konkret o u grede, kojima je temeljna poprečna forma kvadrat? U sliku


16. urisana je i krivulja količine otpadaka za slučaj ne merkantilnog,
već posvema oštro g obrađivanja oblovine u kvadratne grede (prema g. prof.
Dr. Le v ako vicu). To je gornja, slabije izvučena krivulja u toj slici.
Razlika između ordinata gornje i donje krivulje slike 16. pokazuje,
koliko uštedimo na drvnoj masi trupca, ako ga ne obradimo
u posvema oštru gredu, već u merkantilnu gredu sa . = 1 ´0, a po tipu B.


Naravno, tu uštedu bi trebalo razmotriti u vezi s time, koliko se je
podigla (odnosno eventualno umanjila) uporabivost grede time, što ona nije
obrađena oštro , već merkantilno. Ta si razmatranja, međutim, ostavljam za
drugu zgodu. Za sada mi je važno samo konstatovati kolike su razlike u
drvnom materijalu, odnosno u procentima otpadaka. Iz slike 16. vidimo, da
te razlike normalno iznose kod ., — .0 i preko 25 % 0(^ sveukupne mase
trupca!


Naravno, praksa ne prelazi preko tih 25%! Praksa stoga i većinom
obrađuje oblovinu merkantilno , a ne oštro. Ona to čini posvema instinktivno,
ne poznavajući gotovo ni približnih brojaka.


2. Temeljna poprečna forma istesavane grede nije kvadrat.
Kolik je procenat otpatka, kada kod greda nije temeljna poprečna
forma kvadrat, kad im se u poprečnom presjeku ne odnosi širina naprama
visini kao 1:1, i kada taj odnos, koji nazivamo sa fi (prof. koeficienat) nije
više .= l´O, već .

a) Koeficienat -pada samoga trupca k = \j 1 -j-.2 — 1 .


Prikažimo u sliki 17. jednu gredu, kojoj je fi iz trupca po tipu B. Trupcu je koeficienat pada upravo tolik, da greda
postigne na debljem njegovom kraju formu oštrouglog pravokutnika, kojem
je visina (h) = debljini trupca na tanjem kraju (đ), a širina = {ih = .- d.
Dakle, greda je u čitavoj svojoj dužini jednako visoka (h = d) i jednako
široka (b = fid). Ona je longitudinalno punodrvna. Transverzalno je na tanjem


2 .
kraju toliko malodrvna, da je y = — arcsin .. Na debljem kraju y postaje
592




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 40     <-- 40 -->        PDF

.


L


R N´2-1
(i y k* ... + i R~r


s T


17 V 2 — 1


r --(R — r) T


R — r
a pošto je = k , jeste dalje:


s T kT


(67)
(1 — AT) -0-4142 ´


f~T)[^2Tablica
VIII. daje nam veličine -=- za naše razne k, odnosno razne ..


Li


Tablica VIII.
fl= 10 0-9 0-8 0-7 0-6 05
k = 0-4142 0-34536 028062 0;22065 016619 0-11803
s 0000 0-268254 0-603573 1034696 1-609528 2414292


s + l


Posvema analogno može se izvesti ovisnost veličine t. j . gornje
granice našeg integrala, o faktoru k, odnosno ..


s -f l s . I
L "L+T


Preko jednadžbe (58) odnosno (64) dobivamo:


s -\-l _ s . I


[,_„_„ .].^


+ 1 _ s
L ~ L


T [1-^] 0-4142


s -f l k


(68)
L ´ (1 ~kT) 0-4142 *
404




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 27     <-- 27 -->        PDF

To je onda °/o otpatka za koeficienat pada 0´207.


Na isti način mogu se izračunati procenti otpadaka i za druge koeficiente
pada, koji su manji od k = \2 — 1 = 04142. Nama međutim to daljnje
računanje nije potrebno, jer možemo iz sviju dosada izračunatih vrijednosti
lako, grafičkom interpolacijom, dobiti procente za sve koeficiente pada koji nas
interesuju.


Obradili smo dosada: a) slučaj, da je koeficijenat pada K bio upravo
= 0´4142. Izračunali smo pod (21) za taj slučaj kao °/o otpatka iznos
p = 19´2 % . Pod b) smo prikazali, kako se računaju procenti otpadaka za
slučajeve, kad je koeficienat pada K > 04142. Tako smo izračunali pod


Pocl


(29) za K = 0´6 kao °´0 otpatka iznos p = 29´2 % i (30) za K = 0-8
iznos
p = 39-3°/0, te pod (31) za K= V0 iznos p = 4.´3 %
Konačno pod c) izračunali smo i % otpatka za slučaj, kad je K

t.j. kad je n. pr. = 0-207. Dobili smo za taj slučaj p = 7´6 % [Vidi (39)].
Svi ti podaci daju nam već posvema jasnu sliku o količinama otpadaka
kod pod B. opisanog načina obrađivanja oblovine, kada je profilni koeficienat
isijecane grede ., = .0 .


Nanesimo izračunane procente kao ordinate pripađnim koeficientima
pada kao apscisama. Dobivamo sliku 16-u kojoj su vršci tako nanesenih
ordinata označeni križićima. Spojimo sve te križiće i izvucimo krivulju. Šta
nam prikazuje ta krivulja? Pokazuje nam ovisnost količine otpatka o koeficientu
pada i to za grede, kojima je ., = .0 i, naravno, za način obrade
tipa B.


%


n


60


m


Oc


50


m


SL.
-~o>


40
ni
S


>J io


O


i«:


20


10


I ^. | |l | |l 1 I f 1 1 1 r— I
Ht VL "3 . ** ° * °» "8 03 -l´o X<>*t p-aad
SI. 16


Iz krivulje u si. 16. možemo lako očitati procente otpadaka za povoljne
koeficiente pada. Tako očitavamo, da je za:


391




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 26     <-- 26 -->        PDF

Trebali bi sada opet računati integrale u uglatoj zagradi formule (35).
U tu nam svrhu može poslužiti tabela III., jer su podintegralne funkcije
posvema identične sa onima, koje su računane u tabeli III. Za približno
računanje tih integrala, samo sada unutar granica <0 , 0"5>, upotrebiti ćemo
opet Simpsonov o pravilo. Ali samo na interval , dok ćemo
za interval <0´4, 0´5> upotrijebiti trapezno pravilo. Poznato je naime, da
se Simpsonov o pravilo može lako upotrijebiti samo za slučaj, kad je
definicioni interval podijeljen na paran broj podintervala.


Prema tome, označimo li jednu podintegralnu iunkciju isto kao i pred
formulom (20), sa, f(z), dobivamo približno za naš slučaj:


U´J


J
J
(*)<** =-i.0-1 /(0) + /(0-4) + 4./(0-1) 4-/(0-3)1 + 2/(0-2) +


! /(0-4)+/(0-5)


0,1(37)


Na taj način možemo pomoću tabele III. izračunati približno sve integrale
u uglatoj zagradi jednadžbe (35).
Provedemo li taj račun, dobivamo približno :


0-5


JarctgV-Mz* + Nz -dz = 0-2019565 ,


o
oo


0´5


06


.. arctg VMz2 -f-Nz -dz — 0´060859 ,
o


o


0-
0-0-5
55 (38)


j".. arctg )]Mz* -f-Nz -dz = 00217488
o


0
0-5


j" sjMz*-\-Nz~-dz = 0-218691 .


Uvrstimo li vrijednosti iz (36) i (38) u jednadžbu (35), dobivamo :


4-2


P 0-201956 + 08284 0060859 -f


3-14159


(l-2072+ 1-207 + 1)


0-17156-0-0217488 — 0-218691 100


4-2


0-037411 100
3-836747


p = 7-60 % (39)


390




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 25     <-- 25 -->        PDF

Pri tome je podintegralna funkcija potpun o identična onoj iz (15).-
Izmijenila se je samo gornja granica integracije.
Procenat otpatka kod trupca sa koef. pada 0´207 nadao bi se sa :


4 V 4 2 X | Fz d z
100 = 100, (33)


2 ni


B2


-\-Br-\-rR--\-Br-\-r*


gdje sada B i r označavaju polumjere na početku, odnosno na kraju trupca,
kojemu je K = 0´207.
Razdijelimo li brojnik i nazivnik sa r2, dobivamo:


4-2-100 l°f* .


-^7.^-.-;~ ^\F° dz M


y^ + -+i


Izraz je — \ Fz dz posvema analogan (ne samo to, već osim gornje


granice integracije i posvem a identičan ) sa izrazom u formuli (19), odnosno
formulama (17) i (18). Samo se je izmijenila gornja granica integracije. Prema
tome možemo naš p pisati i ovako :


4-2


arctg \l Mz* -f- Nz -dz -43
\ rt ~ r ~


4-2 I V2 — 11 \ z arctgv´Mz* -f- Nz -dz -f-


J


.-5 0-5


(v2-l)y arctg y 3/.2 -4- iVs d 0 VMz* + .7. 100 . (35)


Ponovno ističem, da se je u uglatoj zagradi formule (35) izmijenila
samo gornja granica integracije, inače je sve ostalo sasvim isto kao unutar
uglate zagrade formule (18).


. r


Budući da je kod našeg trupca = 0´207 , to je izraz pred


uglatom zagradom na desnoj strani formule (35) jednak:


4-2 4-2 (36)
ff1´2072


(.. + T+I ) +1-207+1)
389




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 24     <-- 24 -->        PDF

Pt -gr (*i + .^+.)+.2
..
k (-..* + 3..:+3 + 4.. + 3 4 + 4^


(2


Ä^2 + 3/1 + 3
U našem je slučaju & = 0´4142. Dakle je:


1-82836 . / 0-4142


JK? + 3-4142 .ST+44141 .]


Pl Jj? h ft ^ 1 jL—


L = — (28)


K* + 3K+3


Kako rekoh pt = 19%, a p2 — procenat izvađen za koeficienat pada
K—k X" — 0-4142 . . . , _ f n . i
4+ 1 .4142 iz tabele 2. g. prot. l)r. Lerakovica.


Iz formule se (28) dakle može izračunati % otpatka za slučaj, kad je
koef. pada samog trupca veći od 0´4142. Evo na pr. za .ST— 0´6 dobivamo
na taj način kao procenat otpatka : p = 29´2% (29)
Za K= 0-8 dobivamo: ^ = 39´3% (30)
Za K — 14) dobivamo: p = 46-3% (31)


c) Koef. pada samog trupca manji od \j 2 — 1 = 0´4l42 .


Svratimo se na čas ponovno trupcu u slici 10. i slici 13. Takav trupac
imade koeficienat pada upravo = 0´4142. Razdijelimo taj trupac u sredini
dužine jednim poprekim prerezom na dvije jednako dugačke (ali ne i jednako
debele) pole, dva jednako dugačka trupca. Koliki bi bio koef. pada prvog,
lijevog trupca, koji bi tako nastao? Lako se možemo uvjeriti, da bi on bio


0´4142


upravo jednak .


Koliki bi bio % otpatka kod trupca, koji bi imao na pr. koeL pada


K = ^-= 0.207?


Slika 14. nam prikazuje jedan okrajak iz slike 10. i to od 0 do dužine l.


Zamislimo si taj okrajak samo od 0 pa do — , to onda imamo odmah
okrajak jednog trupca sa K = 0´207 .


Veličina je — = A = dužina našeg novog trupca. Iz slike 14 onda vidimo,


da je volumen jednog okrajka od takovog trupca:


.


V= §Fxđx,
o


a ako uvrstimo istu novu neovisnu promjenjivicu 2 = — , dobivamo:


0.5 0-5
V= l j Fz dz — 2Z§Fl dz. (32)


388




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 16     <-- 16 -->        PDF

SI. 14.


(14)
Kako smo općenito pretpostavili linearan pad polumjera s debljeg na
tanji kraj trupca, to je :
, R — r
/
Iz slike 14. vidimo, da je


a .


tg— == —


6 2 r


odnosno u vezi sa jednadžbom (13):


— = arctg V M s2 -\- Nz .
A/


CL


Uvrstimo li te vrijednosti za çx i —- u jednadžbu (14), dobivamo:
Fx = Fz = r2 arctg VMz* -\- Nz -\-2r(B — r)z arctg V..* -f Nz -\4-(
. — r)2 s2 arctg }JMz*-{-Nz — r2 V Afš» + Nz . (15)
Volumen (V) samog okrajka nadao bi se iz:


. i


F= \F.d.= l\F,d.. (16)
o o


350




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 15     <-- 15 -->        PDF

odnosno :


. V 2 — 1
Odavde izlazi :


. = — ´ ´ . (12)


c^-i)y.+7=±T


Uvrstimo sada vrednost za a iz (11) . za . iz (12) u općenitu jednadžbu
naše hiperbole, t. j . u jednadžbu (9).
Dobivamo :


´ \/ r* J_ ´
.>


V2 -1


» V´2 — 1


/ |


"(´+ -)


\ v 2 — 1 /
l/*1 W"2"— 0 + 2*4
´ /2 (V 2" —1+2)


r l/.2 (v´´2~— l)+2ii
´ P(\/2~+0


vT-i


; Vr^ ! -. l ]


"´-. .. i V2´-lJ V2 +1 "


Uvrstimo li novu neovisnu promjenjivicu — = z, dobivamo dalje:


tf> = ry]Mz*-\-Nz , (13)


gdje su M i N konstante, i to M = -— = 0-171573, a N = -^==
\/2+l V´2+l
= ..828426.


Pitat će se tkogod : pa čemu smo izračunavali tu hiperbolu? Vidjet će
se to odmah. Nama naime nije stalo do hiperbolo već do volumena okrajaka
u slici 10- Kada ćemo znati volumene okrajaka, moći ćemo lako izračunati i
procenat, što ga oni čine od sveukupne mase trupca.


Poprečni presjek jednog okrajka u udaljenosti . od ishodišta, kako ga
prikazuje si. 14., nadao bi se:


379




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 14     <-- 14 -->        PDF

trupac, a krivulja EFG (odnosno F´F´G´) naša promatrana hiperbola. Vidimo
odmah iz slike 13. šta nam znači konstanta a. Možemo je izračunati u našem
konkretnom slučaju iz odnosa :


__B_


T+ a


gdje je B = polumjer debljeg, r = polumjer tanjeg kraja, a l = dužina
konkretnog trupca.


Taj odnos mora da opstoji, jer smo pretpostavili da trupac imađe formu
kusatog cunja, da mu dakle promjer, odnosno polumjer, pada linearno s debljeg
na tanji kraj.


Iz toga odnosa dobivamo dalje:


Ba = rl-\-ra1


(B — r) a = rl ,


odnosno :


rl l_


(10)
. — h ´


d


Veličina ie -=. = , ako sa D označimo promjer debljeg, a


B D — d


sa d promjer tanjeg kraja. Pošto je izraz — = h zapravo = koeficienat


(J/


a samog trupca (u našem slučaju k=\2 — 1), to je prema tome:


l l
a (.)


V2 — 1


^.


SI. 13.


Tako smo dakle odredili konstantu a naše hiperbole. Da odredimo
konstantu b, uvrstit ćemo u jednadžbu (9) veličinu a iz (11) . za .. ćemo
uvrstiti konkretnu vrijednost ordinate na kraju naše hiperbole, odnosno na
kraju našeg trupca, t. j . iznos r (vidi si. 10. i 12.), dok ćemo kao pripadni .


uvrstiti naravno dužinu trupca, t. j . 1.


Dakle :


HV 2 - l) V1


2 P


-
-
V^


378




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 13     <-- 13 -->        PDF

Ako li je r = polumjer tanjeg, B debljeg kraja, onda je koef. pada


i/ ** 2 —i— **2 ,y


D—d B VT


takovog trupca


d r r r


= .~2~ — i — 04142 (Vidi sliku 10.).
Promotrimo jedan od tih okrajaka, što nastaju isijecanjem ovakove
grede iz takovog trupca.


Budući da je siječen prikraćeni čunj ravninom, koja je paralelna sa
njegovom glavnom osi, to je sjecišna krivulja hiperbola. Jednadžba hiperbole
glasi općenito (ako je os ., odnosno L, postavljena kao u si. 11.):


.. V (8)


81. 11.
Postavimo os ordinata u tjeme desne polovine hiperbole [u slici 11., i
promotrimo samo tu desnu polovinu, jer zapravo je za nas samo ona od
interesa. Onda nam jednadžba hiperbole općenito glasi:


.) = — V .2 -|-(9)


. a


81. 12.
Da uzmognemo odrediti konstante a i b, razmotrimo jednu sjecišnu
hiperbolu iz si. 10. Neka ju prikazuje si. 12. Konstanta a nije ništa drugo
već udaljenost tanjeg kraja trupčevog, dakle tanjeg kraja kusatog cunja, od
vrha zamišljenog potpuno g cunja. Zamislimo si kusati čunj nadopunjen na
puni čunj i ne samo to, već i produžen matematski dalje, kako to prikazuje
si. 13. Dio ABC´D ili ako hoćemo A´B´C´D´ neka bude, uzmimo, naš konkretan


377




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 12     <-- 12 -->        PDF

U slučaju su pod A. ravnine tesanja paralelne izvodnici
kusatog cunja. U slučaju pod B. i C. ravnine su obrađivanja paraleln
e uzdužno j osi trupca, odnosno prikraćenog cunja.


A. Ravnine tesanja paralelne izvodnici cunja.
Pošto kod ovog tipa obradbe ostaju faktori y i . u svim poprečnim
profilima grede konstantni, bit će, posvema naravno, procenti otpadaka jednaki
onima, koji su za dotične . i y iskazani u tabeli I., jer u svakom poprečnom
presjeku trupca odlazi u otpadak isti (jednaki) procentualni dio plohe. Za taj
slučaj, dakle, nije potrebno izraditi posebnu tabelu, jer potpuno vrijedi tabela
I., odnosno tabela II. (potonja, ako se trupac obrađuje samo s dve strane).


B. Ravnine tesanja paralelne uzdužnoj osi trupca. Obradba počinje
s tanjeg kraja, pa je prema debljem kraju trupca sve intenzivnija.
1. Temeljna je poprečna forma istesavane grede kvadrat.
Jednostavnosti radi promatramo najprije slučajeve, kad istesavane grede
madu profilni koeficienat /. = .., t. j . kad je temeljna poprečna forma
kvadrat.


Trupac se obrađuje tako, da na tanjem kraju ostaje posvem a
okrugao , dok se u svim ostalim popr. profilima obrađuje tako, da, što se
popr. profil istesavane grede više udaljuje od tanjeg kraja, to se
više približuje oštrobridnom kvadratu. Ako li je koeficienat
pada samog trupca dovoljno velik, postaje poprečni profil grede u izvjesnoj
dužini (od tanjeg kraja) k va dr at i ostaje takovim sve do drugog (debljeg)
kraja. Vidi si. 6.


a) Koeficienat pada samog trupca upravo = y 2 — 1 .


Najprije ćemo izračunati, kolik je otpadak kod trupca, čiji je koeficienat
pada upravo tolik, da kod takovog istesavanja daje baš
gredu, koja postigne upravo na debljem kraju trupca formu
oštrobridnog kvadrata. Vidi si. 10.


SI. 10.


376




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 11     <-- 11 -->        PDF

SI. 7.


koeficienat pada samog trupca dovoljno velik, postaje popr. presjek istesavane
(isijecane) grede u izvjesnoj daljini od deblje g kraja posvema okrugao
(. = l´O) i ostaje takvim sve do tanjeg kraja trupca. Longitudinalno je isijecana
greda do izvjesne daljine od debljeg kraja (ako li je koef. pada samog
trupca malen, onda eventualno i duž čitave dužine) posvema punodrvna. Ako
li je koef. pada samog trupca dovoljno velik, postaje greda, od izvjesne
daljine od debljeg kraja longitudinalno malodrvna u istom stepenu
kao i sam trupac od te daljine. Vidi si. 8 za . == .. i si. 9. za fi < 10.


SI. 9.


375




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 10     <-- 10 -->        PDF

A. Istesavana je greda longitudinalno malodrvna u istom
stepenu kao i sam trupac, a transverzalno u svim svojim poprečnim presjecima
jednako, konstantno malodrvna. Vidi si. 5- Dakle označuju li 0, odnosno
c, zaobljene dijelove poprečnog profila na kraju, odnosno početku grede, . gdje
4 (7 4 . 4 o


==-j—


god duž same grede, a D, d i A pripadne promjere, to je ——= ,— =


= y = konstantno duž čitave duljine grede. Tsto je tako odnošaj . duž čitave
dužine, u svim poprečnim presjecima grede jednak.


SI. 5.


B. Istesavana je greda longitudinalno punodrvna, ali transverzalno
joj se malodrvnost mijenja tako, da greda ostaje na tanjem kraju trupca
što više poprečno malodrvna, što više okrugla (. što veći), dok je prema
debljem kraju transverzalno sve punodrvnija (faktor y sve bliži nuli). Ako li
je koefieienat pada samog trupca dovoljno velik, postaje popr. presjek grede
u izvjesnoj daljini od tanje g kraja oštrougli pravokutnik (. upravo = 0) i
ostaje takovim sve do debljeg kraja trupca. Vidi si. 6 za fi = .0 i si. 7. za
/*$*


SI. 6.


C. Trupac se obrađuje u gredu tako, daše u profil deblje g njegovog
kraja upiše oštrougli pravokutnik. Odavle prema tanjem kraju trupca postaje
izrađivana greda transverzalno sve više malodrvna (. sve veći). Ako li je
374




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 9     <-- 9 -->        PDF

os, okomito na obrađene ravnine grede. Prema tome su poprečni profili, prikazani
u slikama 1. i 2., profili transverzalno malodrvnih greda, a na pr. uzdužni
profil, prikazan u si. 3., profil longitudinalno malodrvne, a u si. 4. longitudinalno
posvema punodrvne grede.


SI. 3.


SI. 4.


Pod I. je obrađeno pitanje količine otpatka kod izrađivanja transverzalno
konstantno — duž čitave duljine jednako — malodrvnih (duž čitave dužine uze.
.4c


odnošaj -j— = y konstantnim; vidi si. 1.), ali longitudinalno punodrvnih greda,


iz trupaca, koji su punodrvni (u običnom, općenitom smislu punodrvnosti.. Po
gornjim pojmovima — longitudinalno punodrvni). Izgleda, da je iz ovakovih
longitudinalno punodrvnih trupaca najpovoljnije, najekonomičnije (ako se uopće
ti trupci imadu da obrade u grede) isijecati grede, koje su također longitudinalno
punodrvne. Zbog toga se kod ovakovih trupaca niti nismo pozabavili
isijecanjem longitudinalno malodrvnih greda.


Pređimo na malodrvne trupce.
Pretpostavit ćemo linearan pad promjera s debljeg na tanji kraj trupca
(Glede opravdanosti te pretpostavke kao i o značenju izraza: koeficiena t
pada , koji će se niže češće ponavljati, vidi uvodno spomenutu radnju g. prof.
Dr. Levakovića.)
Kod malodrvnih je trupaca moguće najrazličitije merkantilno obrađivanje
u grede. Jednostavnosti radi razmotrit ćemo 3 tipa tesanja linearno malodrvne
oblovine. Pri tome će nam faktor . označivati odnošaj širine naprama visini
u poprečnom profilu grede, — dakle zapravo pro fi Ini koeficienat
grede —, a faktor y odnošaj zaobljenih dijelova u poprečnom presjeku
naprama punom opsegu kruga — dakle zapravo koeficienat zaobljenosti
poprečnog profila grede. — Oba ta faktora prikazivati će
dakle posvema isto, što su prikazivala pod I. Sami tipovi tesanja, koje ćemo
razmatrati jesu :


373




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 8     <-- 8 -->        PDF

Tabela I.


Za naćin obrađivanja kao u si. 1. i za slijedeće
b 4 c zaobljeni ćoškovi
dn opseg punog kruga
širina 3
visina 6 "
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0-6 0 7 0-8 1-0
j» = 7o


10 36 27 19 13 8 5 3 1 1


09 37 28 20 14 10 6 4 4


0-8 38 29 22 17 14 11


0-7 40 32 26 22 20 18


06 44 37 32 29 28


0-5 49 44 41 39


Tabela II.


b


05 0-6 0-7 0-8 09 l´O


Za način obrade kao u


39 28 18 10 3 0


si. 2., p = °/„


Time bi za valjkaste trupce bio dan odgovor na uvodno postavljeno
pitanje.


II. Obdjelavana oblovina neka bude čunjasta.
Razlikovat ćemo dva pojma. Pojam transverzalne i pojam longitudinalne
punođrvnosti, respektive malodrvuosti, greda. Transverzalna punodrvnost, odnosno
malođrvnost, neka bude približavanje, odnosno udaljivanje, poprečno g profil
a grede od profila oštrougaonog pravokutnika; a longitudinalna punodrvnost,
odnosno malođrvnost, približavanje, odnosno udaljivanje, glavni h uzdužni h
profil a gred e od pravokutnika iste dužine, kao što je imade sama greda.
Pod glavnim uzdužnim profilima grede razumijevam ovdje one dvije plohe,
koje nastaju sijekom grede po dužini s ravninama, prolazećim kroz uzdužnu


372




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 7     <-- 7 -->        PDF

granica y = 00 i y = — arcsin .. Kad je naime y = 0 , istesavana je greda


? . .´..´´ 2
oštrobridna, a kad za izvjestan ,tt faktor y postigne vrijednost —arcsin^,
onda a, postaje = 0. Uvrsti li se naime u formulu (6) za veličinu al izraz


y 71
..


sin
/*


0, dobiva se: 0 = 2 aretg
odnosno : = 0, ili:


171
..


cos
cos


..
m


fi 0 ; odnosno: sin /i, t. j.: y = — arcsin ^ . (7a)
2 "´ ´ " ~"~ 2


ma tome bio bi interval <; /t = 0´5, ^ = .0 ; y = O´O,


arcsin fi >> defiuicioni interval gornje funkcije (7). Naravno
uz


.
uvrštenje pripadnih vrijednosti za al i aL iz formula (5) i (6) u formulu (7).


Na temelju formule (7) [a uz pomoć formula (5) i (6)] izracunana je
tabela I. Ona nadaje procente otpadaka na temelju dvaju ulaza . i ..


Kako je rečeno, promjenjivica se y morala već po samoj slici definirati
2


unutar intervala <0, — arcsin /C>. Kada je y = 0, isijecana je greda


2 .
oštrobridna, a kada je y = — arcsin ., onda je ^ = 0, t. j. trupac je
samo
s dvije strane paralelno okrajčen. Kako sam prije, no što sam pristupio
2


izračunavanju tabele I. iz formule (7), morao izračunati vrijednosti
— arcsin (i


za . = 0´5, 0´6, 0´7, 0´8 i 0´9, to mi te vrijednosti za ., uvrštene u formulu
(5), odnosno (7) («! je pri tome = 0), daju vrijednosti procenata otpadaka
za samo s dvije strane okrajčane trupce. (Vidi si. 2.) Rezultat
je toga računa tabela II. U njoj opet fi označava odnošaj širine ovako
okrajčanog trupca naprama njegovoj visini, zapravo njegovom promjeru.


81. 2.
371




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 6     <-- 6 -->        PDF

Uvrstimo li taj izraz za a2 u jednadžbu (4), dobivamo:


. . . n I \ . a.


..-...


— + sm~\\ —.. -smy (4a)


cos


.


Jer je prema (5):


ni \ a,


cos cos 90° (1— y)


cos — | 1 —«/cos —- -4


. . n I \ . a.


ce


Dalje dobivamo, podijelivši obje strane jednadžbe (4a) sa cos —- :


ni \ , . n I \ U-,
cos— 1— y U-sin— 1— y -tg^


odnosno:


..


u — sin ——
.«. 2
tg —-=


./..
° 2 cos


Dakle:


..


. — sin
cc1 = 2 aretg (6)


cos


Preko formule (2) i (3) dobiva se :


na, na.


-j- sin a, -j- sin a.2


- 180 !80
P 100
n


-a2 sin csj -)- sin a2
[l-l+A -f100.


180 n


Kako je iz (5) aL ~\- a2 = 180 (1 — #), to je dalje


sin csj -|- sin a.
1-2/ 100 (7)


_p


n


U ovu formulu (7) valja a, i a2 uvrstiti iz jednadžbe (5) i (6).
Tako bi onda bio prikazan p kao funkcija dviju promjenjivica fi i ..


Odredimo još i đefiniciono područje te funkcije, t. j . granice, unutar
kojih se ., i y mogu đa giblju. Praktički može se uzeti, da se . giblje unutar
granica 10 i 0´5- Varijabila y ima smisla već i po samoj slici 1. unutar


370




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 5     <-- 5 -->        PDF

Veličine al i a2, koje bi došle u tu formulu, kada bi se u nju uvrstio
Fv iz (2), ne možemo direktno mjeriti.


Nazovimo profilni koeficienat istesavane grede sa .. Veličina je . dakle


odnošaj -y-, odnošaj između širine i visine grede, pa imala ona i zaobljene


ćoškove. Taj je odnošaj dalje (vidi si. 1):


d a,


—- cos —


2 2


^ = 17


h d a,


—- cos —


2 2
Odavle slijedi, da je


cos —


al 2


..\


cos —-= . (4)


2 ´/* ´


Da dobijemo još jednu formulu za izračunavanje nepoznatih .. i a2,
mogli bismo uzeti u račun odnos ravnih strana na poprečnom presjeku
merkantilne grede naprama diametru trupca. (Dakle zapravo veličine
koje prikazuju te odnose). Ali možemo uzeti u račun i opseg zaobljenih dijelova
na poprečnom prerezu razdijeljen sa punim opsegom kruga (trupca). Može se
uzeti jedno ili drugo. Drugo je možda praktički manje zgodno. Budući da se
kod klasifikacije merkantilno obrađenog drveta govori obično o tome, kolik
dio opsega zapremaju zaobljeni dijelovi, odlučiti ćemo se ipak, za sada bez
kritike, za ovu drugu mogućnost.


Nazovemo li odnos zbroja lukova zaobljenih ćoškova naprama opsegu
4 c


trupca sa ., onda je prema slici 1. : y = -j—.


Iz iste slike vidimo, da je


c = TI-d


360


Potonju jednadžbu možemo i ovako pisati:


4 c 180 — (a, + a
nd 180


4 c


Uz uvrštenje za —— =y, dobivamo:


TC OJ


180-2/= 180— («! +«,),
a odavle:
a a = 180(1 —i) — ax. (5)


369




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 4     <-- 4 -->        PDF

. .+«,) + 2 (^ i —*; + *,. i- «;)


180


Fw = rf m ( 1 )


2(..~^ +..-«5


Iz slike 1. se vidi, što prikazuju u toj formuli veličine alt a%; xt, ...
i d. Veličina m prikazuje izraz m= —-~—.


CL CC


Uvrstimo li u formulu (1) za xx izraz sin—!-, a za .. izraz sin—-i dakle
Vi-^ = cos — ! V %% = cos-^-; nadalje uvrstimo li umjesto
b-\-k


vrijednost — (cos — + cos -~-j — vidi sliku 1. dobivamo:


m


.


«i + «2 ) + 2 sin ~ cos 4~- + 2 si sin— cos


180


Fw


:(eos-y+cos


-y


T(cos— + COS a,
~2


Odnosno :
.. — a1 -\-a2 I -|- sin at -J- sin a2


180


JPpi — d\ (2)


Postotak otpatka (p) iznosio bi kod valjkastih trupaca, iz kojih bi se
istesavale (isijecale) grede ovakovih profila:


d* n


~FW


Fw


P = 100 = 1 — 100 (3)


368




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 3     <-- 3 -->        PDF

............


.... 53. .........—....... 1929.


Dr. N. NEIDHARDT, ZAGREB:


KOLIČINA OTPATKA PRI OBDJELAVANJU
OBLOVINE U „MERKANTILNE" GREDE


(SUR LA QUANTITÉ DU DÉCHET LORS DU DÉBIT DE BOIS
ROND EN POUTRES FLACHEUSES)


PRILOG „TEORIJI DRVENIH GREDA"


Uvod.


G
G
prof. Dr. Levakovi ć u svojoj radnji „0 količini otpatka
pri obdjelavanju oblovine u oštrobridne grede", u broju 4. i 5.
« Šum. Lista od 1925-, obradio je pitanje, kolik je otpadak, isijeeaju
li se iz trupaca oštrobridn e grede raznih profila. Uvezi s tom
radnjom izrazio je g. prof. Dr. Ugrenovi ć mišljenje, da ne bi bilo zgorega
odgovoriti i na pitanje, koliko iznosi otpadak, isijeeaju li se iz trupaca
merkantiln o obrađene grede, dakle grede sa više manje zaobljenim
ćoškovima. Pokušat ću dakle, da u ovom razmatranju odgovorim na to pitanje.
Pretpostavit ću pri tome u saglasnosti sa spomenutom radnjom g. prof.
Dr. Levakovića : I. trupce apsolutno punodrvne t. j . valjkaste i II. trupce
linearno malodrvne t. j . čunjaste. Neću razmatrati slučaj zakrivljenih trupaca,
jer kod njih odviše utiče sama zakrivljenost na količinu otpatka. Kad se
naime isijeeaju iz zakrivljenih trupaca longitudinalno pravne grede, ali sa
transverzalno više manje zaobljenim profilima, to se procenti otpadaka gotovo
i ne mijenjaju prema onima, koji su za oštrobridne grede iskazani u tabelama
g. prof. Dr. Levakovića.


I. Obdjelavana oblovina neka bude valjkasta.
Dr. Hausk a je izveo u svojoj radnji „Kubierung handelsmässig
bearbeiteter Hölzer" (Forstwissenschaftliches Zentralblatt 1916) za površinu
u si. 1. prikazane plohe (Vidi Dr. Levakovi ć „Dendrometrija" str. 316)
formulu :


367




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 31     <-- 31 -->        PDF

L[F; dz )F, d;


o


Pi 100=-100. (42)


ni i i-(* + *, + ,..


Sta je zapravo izraz y-?


Iz slike 18- vidimo, da postoji odnos:


r y 2 — r J2


L l ´


odnosno:


r (v´T — 1 ) r (\/ 1 + {** — 1 )


L l


Dakle:


(43)
Ti odnosi -_- izračunani su za razne (i u tabelici V.


Tablica V.


ff 1-0 0-9 0-8 0-7 06 0-5


l


1-0000 0-8338 0-67750 05327 0-4012 0-2845


L


i


Sve zapravo nastojim svesti na integrale pod (16), odnosno integrale pod
(18). Kod izradbe tabele III. je razloženo, kako su približno računani oni
integrali pomoću Simpsonovo g pravila. Da izbjegnem novo postavljanje
funkcija i, naravno, računanje novih integrala, nastojim svesti sve na integrale,
koji se mogu izračunati na bazi tabele III.


Podijelimo u formuli (42) brojnik i nazivnik sa r2. Dobivamo:


~\Fzdi


(44)
Pi n l /.» R


+ 1
T L vT2"


Promotrimo li brojnik toga izraza vidimo, da je on analogan izrazu jod
(19), odnosno izrazima u uglatim zagradama formula (17) i (18). Samo se je


izmijenila granica integracije. Funkcija F, ostala je ista. Isti je ostao i
polumjer r.
395




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 17     <-- 17 -->        PDF

Procentualni udio (p) sviju 4 okrajaka na volumenu samog trupca,
odnosno zapravo sam procenat otpatka, nadao bi se :


4 V


P=*— 100,


gdje Vt označava volumen potpunog, čitavog trupca. Dakle:


4F


P 100


ni


(ß2 + Är + r2)


Uvrstimo u ovu jednadžbu za V izraz iz (16).
Dobivamo :


i


4 ZJ>, d.


P 100.


~-(B* -f Br + r2


Podijelimo li brojnik i nazivnik sa r2, dobivamo :


I2"i^.4


P


Uvrstimo li ovamo ... iz jednadžbe (15), dobivamo:


P « « J_fo


12 V arctg Ytf .. -j -... -dz +


-B2 . .. . ,


´.^ + ^1


i


-f 2 (— — l) [z arctg yifi» + JVa -rf* +
o


i i


+ ( l) U2 arctg {M~S^Ç~N7 d z — ( N/ITi2 + ...~ d, 100. (17)
73


Budući da je u našem slučaju — = y2 , dobivamo dalje:


35/




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 37     <-- 37 -->        PDF

Postoji relacija:


V 2 — Q = R — r (57)


Dakle :


L=it — r
Volumen (Vu) našeg konkretno g (tupog, postranog) okrajka iznosio bi:


l + S 1+ i s


Fn=)FrdS=.j^´dS-«iS. (59)


s 0 0


Uvedimo novu variabilu -Ç-se« , koja nam je onda posve identična sa


naprijed, već u više mahova upotrebljavanom variablom z.
Jednadžba (59) dobiva onda formu:


L i


F„ = L Č.F, dz =L-.\ -dz — L- .\ di


Procenat otpatka uslijed ovakovog tupog (postranog) okrajka
nadao bi se :


l + s


L


L .\ d


Pu — .Vu
= —7
L--. (60)
Vt ni [& + R r + rA


3


Uvrstimo za L izraz iz (5 8) :




K —r .
p 1 . (61)


Hoćemo li sve svesti na integrale pod (18), odnosno (19), moramo nastojati


da dobijemo izraz — \F, dz, jer što je pod (19) bio r to je sada Q.


Podijelimo u (61) brojoik i nazivnik sa ç>s. Dobivamo:


L+I


L


3-(V2 -!)i´^-^


~~ R
RR — _ rr .?.-7?2 4-Erpr i r2 (62)


P u -\-r*


n


401




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 38     <-- 38 -->        PDF

. r


Znamo iz jednadžbe (56), da je ç t= r -s, odnosno uz uvrštenje
za s= c —a preko jednadžaba (53) i (54):
R — r


--^-(´-"´Hi-´


= r — \R — r (63)


k2


´


k (iH-V-»{T+


T
Nazovimo izraz u uglatoj zagradi sa T. Onda je :
Q = r — (E — r)T. (64)
Za razne . i k, koji za nas dolaze u obzir, izračunane su veličine T u
tablici VII.
Tablica VII.


ft = l´O 09 0-8 0-7 0-6 0-5


fc = 0-4142 0-34636 0 28062 022065 016619 0-11803


. = o-ooooo 0-28953 0-71268 1-35958 2-40638 4-04878


Nazovimo sa P izraz, s kojim treba gore u jednadžbi (62) pomnožiti
1 L


— \F.-dz. T. i.:
izraz


L


3-0-4142


P-


R — r i22 + Pr-f r2 "


.


Uvrstimo ovamo Q iz (64). Onda je:


3-0-4142


1 .2 -f ..-fr 2 ´


[r-(R-r)lf


R


R — r
Transformirajmo podesno taj izraz i uvrstimo = k.
Dobivamo :


3-0-4142
k . -f-.. + 3
n


1 — kT (1 —kTf


402




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 39     <-- 39 -->        PDF

1-2426(1 — kT)3


p — (65)


nk-.* -f 3k + 3) ´
U tablici Vila. izračunane su veličine P za razne naše k.


Tablica Vila.


l" = 10 0-9 08 0-7 06 0-5


& = 0-4142 0-34536 0-28062 022065 0-16619 011803


p = 0-216333 0-200923 0-184068 0-165700 0-145788 0124372


Naš konkretan percentualni udio [..) jednog od postranih okrajaka
na masi čitavog trupca, jest glasom formule (62) i onoga, što je niže te
formule rečeno o veličini P :


L


...= P [F.-dz. (66)
11 Q2 i ´


Vidjeli smo malo prije, da P posvema ovisi o veličinama ., i k. Izraz
—-\Fzdz nije ništa drugo no naš integral pod (19), odnosno integrali pod
(18), samo što su se izmijenile granice integracije. Ako te nove granice ovise


također o faktorima . i k, možemo integral (66) lako približno izračunati
pomoću tabele III.
´ s . s4-n y


Čemu su dakle jednake te granice i —


z.— I našeg novog integra


cionog intervala ?
Prema jednadžbama (55), (54), (53) jeste:


/,-2 -(.-*)(!+


s


Uvrstimo li za L izraz iz (58) preko (56), dobivamo:


LT+1´2


s . V k*
. B L2 —1 l


l E — r


Ako li uzmemo u obzir onaj izraz, koji smo pod (63) i (64) nazvali
sa T, pa ako uvrstimo u nazivnik za s izraz iz (55) preko (54) i (53),
dobivamo :


405




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 41     <-- 41 -->        PDF

s


Naravno, da u ovu jednadžbu valja uvrstiti za -.- pripadnu vrijednost
iz tablice VIII.


. s + Z


Tablica nam IX. nadaje vrijednosti —´— za naše razne k, odnosno fi.


Li


Tablica IX.


l " = 1-0 0-9 0-8 0-7 0-6 0-5
k = 0 4142 0 34536 0 28062 0-22065 016619 0-11803
s + l 1-0000 1-194698 1-450446 1-795715 2278246 2-984209


Pređimo ponovno na izraz pod (66). Veličine P imademo izračunane u
tablici VII a. U tablicama VIII. i IX. imademo izračunane gornje i donje
1 p


granice integrala. Rekli srno, da je u (66) izraz ™ \FZ dz posve identičan,


Ç
osim integracionih granica, izrazu pod (19), odnosno izrazu u uglatoj zagradi
pod (18). Ne stoji nam dakle više ništa na putu, da i izračunamo naš
procenat p pod (66).


Uzmimo za primjer, da imamo izračunati procentualni udio [pn (0´8)]
jednog od postranih (tupih) okrajaka u slici 17., ako je profilni koeficienat
istesavane grede . = 0´8 .


Prema formuli (66) jest:


Uvrstimo ovamo za P0-s iznos iz tablice VII a., a za izraz \F. dz


uvrstimo izraz iz uglate zagrade formule (18), samo sada sa izmijenjenim


8 . S 4-l
granicama integracije i sa uvrštenjem za -.-i —=— iz tablica VIII. i IX.


Li LI


Dobivamo:


145045


t
t
Jarctg \j M 22 + N z dz +


0-60357


.45.45


+ 0´828428 . arctg \j Mz% + Nz dz +


0-Ö0357


1-45045 1-450«


+ 0-171573 ..2 arctg \]Mz* -j-Nz -dz—^Mz2 -+-Nz -dz\ 100. (69)
0-60357 0-60357 J


405




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 42     <-- 42 -->        PDF

Integrale u uglatoj zagradi možemo lako približno izračunati pomoću
tabele III. Opet putem Simpsonovog pravila, odnosno rubove našeg intervala
<0´60357, 1´45045> pomoću trapeznog pravila. U konkretnom, našem slučaju,
na podinterval «3,8 .4> upotrijebili bi Simpsonov o pravilo, a na
podinterval <0´60357, 0´8> te podinterval <1´4, .45045> trapezno pravilo.


Ovdje nam odmah postaje jasno, zašto smo u tabeli III. računali
podintegralne funkcije na gore i preko granice ... Uvidom u tabelu IX.
vidimo zašto smo računali tabelu III. i do vrijednosti z = 3´0.


Izračunamo li (69) dobivamo .. (0´8) = 9-594 %


Držim, da je dovoljno razloženo, kako sam ispunio slijedeću tablicu X"


Tablica "X.


t* = 10 0-9 0-8 0-7 06 0.5


1


k = 0-4142 0-34536 0-28062 0-22065 016619 011803


4-8 65 9-6 13-0 17-5 23-2


m = 7o


U tablici X. su pu procenti postranih okrajaka.


Vratimo se na čas na sliku 17. Koliki je tamo sveukupni otpadak?
Naravno: 2 (Fx -f-Fjr ) , odnosno procentnalnop =2 (pI-\-pn)


Tablica XI. daje nam iznose p = 2 (pI ~\-..) Drugim riječima: duple
zbrojeve pripadnih procenata iz tablice VI. i tablice X.


Tablica XI.


fl = 10 0-9 0-8 0.7 0-6 0-5


k = 04142 0-34536 0-28062 0-22065 0-16619 0-11803


P =


19-2 % 20´2 % 24-8 7o 30-2 % 37´8 % 48-4 %


2 Oi + .. )


(Svršit će se = A suivre.)


406




ŠUMARSKI LIST 9-10/1929 str. 23     <-- 23 -->        PDF

J) d
Znamo, da je -=— zapravo koeficienat pada punog trupca, dakle


a


Prema tome jeste:


D — A K—k


(24)
Procenat otpatka za čitav trupac s koeficientom K, iz kojega se isijeca
kvadratna greda na gore (pod B) opisani način, dobio bi se:


_ Vx .. + .. V, (25)
P-Vi + y% , W


gdje je Pi = 19%, V1 = volumen tanjeg dijela trupca, t. j . onog, koji imade
koef. pada upravo = k = . 2 — 1 ; p 2 = procenat otpatka debljeg trupčevog


jL jc


dijela, kojem je koef. pada = ——, F2 = volumen toga dijela. Vrijednost


/c —f— 1


moze


se ^2 ^a^° izvaditi iz tabele 2- spomenute radnje g. proî. Dr.
Levakovića.
Uvrstimo li u (25) za F, i F2 vrijednosti vulumena kusatih čunjeva,
izražene sa d, D i A, dobivamo :


., + v%


Xl


= 12 . (26)
^-(D* + Z)d + đ*)


Uvrstimo % = — l iz (22) i podijelimo brojnik i nazivnik sa d2. Dobivamo:


k i(A* _j_ 4 _LIV_L 7/1 k^fD* D A A*\


. —


- + -+ 1


d* ^ d ~


Uvrstimo li dalje — = k -j -1 , do čega dolazimo preko formula (22) i


(23), dobivamo :


*(it + 2*+H-*+l+l)+A (^*)[j? + 2^4-I+(Ä-+0(*+l)+*»+2*+l]
(ZÄ + 2JT+ 1H-ÄT+ 1+1)


1 .^


J57