DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu



ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 3     <-- 3 -->        PDF

............


.... 54. .... 1930.


Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ, Zagreb:


ZAKON O PRENOŠENJU POGREŠAKA U
NOVOM SVJETLU


(LA LOI DE TRANSMISSION DES ERREURS DANS UNE
LUMIERE NOUVELLE)


Zakon o prenošenju pogrešaka stupa, kako je poznato, u akciju, kad
se kakova veličina izračunava iz iznosa bilo jednog, bilo više ili pače svih
njenih izmjerenih dijelova (elemenata). Tražena veličina X shvaća se pri
tom uvijek kao funkcij a njenih izmjerenih dijelova (R, S, T,...). Nijedan
od tih dijelova ne može se izmjeriti sasvim bez pogreške, pa ni uz
upotrebu najpreciznijih instrumenata. Stoga naravski mora da ispadne
pogrešno i cijela tražena veličina, jer se neizbježive (»slučajne«) pogreške
u mjerenju dijelova prenose na cjelinu.


Osim u obliku zbroja izračunava se tražena veličina i u obliku diferencije.
U tom se slučaju pogreške u izmjeri minuenda i suptrahenda
prenose na diferenciju. Kako je diferencija također zapravo zbroj — i to
zbroj nekih pozitivnih i nekih negativnih sumanda, to se ona kao funkcija
potpuno podudara sa pravim zbrojem kao funkcijom, pa stoga — kako
ćemo još vidjeti — zakon o prenošenju pogrešaka ima kod nje sasvim isti
oblik kao i kod zbroja u pravom smislu riječi. Tipične funkcije, koje u po


gledu spomenutog zakona dolaze u obzir, idu u redfunkcija, pa imaju jedan od ova tri oblika:
t. zv. linearni h
X = aB (I)
X=B ± S ± T ± (II)
X = arB ± asS ± atT ± (III)


U njima izrazi a, ar, as, a, naznačuju već unaprijed poznate i
bespogrešne koeficijente. Kod svake od ovih triju funkcija zakon o prenošenju
pogrešaka ima drugačiji oblik. Veličina X može naravski da sa
izmjerenim svojim elementima stoji i u odnošaju, koji ide u red t. zv.
nelinearni h funkcija. Kod ovakovih funkcija ima spomenuti zakon


— uz neke poznate modifikacije u pogledu koeficijenata — oblik analogan
onome, koji vrijedi za slučaj funkcije (III). Stoga je dovoljno, ako
je taj zakon potpuno poznat za slučaj navedenih triju funkcija. Za slučaj
funkcije (I) on je uistinu potpuno poznat, ali još nije ni izdaleka potpuno
poznat za slučajeve funkcija (II) i (III). Cilj je ovom razmatranju, da se
on potpuno predoči i razjasni također za ova dva slučaja. Prema tome
* Vidi Godišnjak Kr. Sveučilišta u Zagrebu 1929, str. 753—772.
265




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 4     <-- 4 -->        PDF

cilju moram radi jasnoće da pođem od poznatih stipulacija toga zakona,
pak ću početi sa funkcijom (1), na kojo.i se u vezi sa funkcijom (II) osniva
funkcija (111).


U cijelom toku ovog razmatranja suponujem stalno, da su sva pojedinačna
mjerenja bilo koje od osnovnih veličina (R, S, T ...) izvedena
jednakom pomnjom, istim instrumentima i pod istim okolnostima, ukratko


— Jednakim stupnjem točnosti.
I.
Mjesto pravo g iznosa veličine R, koji se uopće ne da utvrditi,
može da se u jednadžbu (I) uvrsti samo kakav mjerenjem te veličine dobiveni,
dakle pogrešni iznos — recimo »´,. Ponovi li se ovo mjerenje, dobit
će se iznos % koji može, ali nikako ne mora da se poklapa s iznosom /,.
Rezultati ostalih ponovnih mjerenja veličine R bit će iznosi rv >\, rn.
Postepenim uvršćivanjem ovih iznosa u jednadžbu (1) dobiva se za veličinu
X u pravilu svaki puta drugi iznos, t. .i.


., = ar.\ xa = ara ; . = a r (I a)


1 . 1 ´ 2 2 ´ n n v J
Kao najvjerojatniji iznos veličine X smatra se punim pravom a r i tmetička
sredina svih pojedinačnih iznosa pod (la), t. j.


ri + x2 H H <*„ »! + *,+ + r„


(lb)


ili po Gaussovoj simbolici:
M = a -M. (Ic)


ti n


O toj aritmetičkoj sredini znamo, da bi se mogla sa pravim iznosom
pod (1) sasvim sigurno i potpuno podudarati samo onda, kad bismo veličinu
R mjerili beskonačno mnogo puta. Inače se ona od pravog iznosa
mora da razlikuje, pa ću je stoga za razliku od izraza pod (I) kratko
označiti sa j »..;, . , *


. = ar (I. (1)


Kako se dakle funkcija (1) radi različitih neotklonjivih okolnosti,
koje nepovoljno utječu na bilo kakovo mjerenje, nigda ne može strogo
ostvariti, zadovoljavamo se silom prilika analognom funkcijom (I d), koja
je radi nemogućnosti beskonačnog ponavljanja u mjerenju veličine R
uvijek više ili manje pogrešna. S obzirom na to nastojimo naravski, da što
sigurnije odredimo s t e p e n pogrešnost i posljednje funkcije, kako
bismo bili na čistu o tome, do kojih se granica možemo osloniti na njezin
iznos. Stoga se prema principima »nauke o izjednačivanju po metodi najmanjih
kvadrata«, kojoj je pravi osnivač poznati astronom G a u s s1,
izračunava:


1. srednja pogreška (/´), koja tereti iznos svakog pojedinog
mjerenja veličine R dotič. izračunavanja veličine X;
2. srednja pogreška (m), koja tereti aritmetičku sredinu
svih iznosa dobivenih za veličinu R dot. njezinu funkciju (X).
1 Vidi o toj nauci na pr. djela navedena u pregledu literature pod br. 1—12.


266




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 5     <-- 5 -->        PDF

Za izračunavanje srednje pogreške /<>-, t. j . srednje pogreške2, koja
tereti s v a k i ,p o je dini iznos mjerenja (rv .., ; -rn), poznate
su dvije formule. Jedna od njih vrijedi za slučaj, da su nam poznate
prav e pogreške (çv çt, $„.) pojedinih ovih iznosa. Ona glasi:


^=±.. . a)


»Prave pogreške pojedinih mjerenjem dobivenih iznosa nisu nam
međutim zapravo nigda poznate. Poznate mogu da nam budu uvijek samo


t. zv. prividne pogreške (»„»„ -vn), koje izlaze kao diferencije
između aritmetičke sredine i svakog pojedinog iznosa mjerenja. Stoga
formula (1) ima samo teoretičku vrijednost. Za praksu pak, koja može da
računa samo sa prividnim pogreškama mjerenja, može da kao formula za
.. dođe u obzir samo formula
./´


\; I« v


/´..


Za srednju pogrešku mr> koja tereti aritmetičku sredinu
svih iznosa r, vrijedi — bez obzira na to, da li je srednja pogreška /«´
bila računana pomoću pravih ili pak prividnih pogrešaka mjerenja —
formula


.,


m — ± -~- (3)


v »


Ove tri formule sasvim su osnovne naravi, jer se odnose samo na


pogrešni argumenat (r). One stoga vrijede za sva tri navedena slučaja
funkcionalnosti. Općenito vrijede one uvijek, kadgod se radi o direktnoj
ponavljano] izmjeri pojedinačne veličine. Isključivo za slučaj funkcije (I)
vrijede formule


.. — ± a /ir (4)
m, = + a m (5)


koje pokazuju, kako sredn.ia pogreška .. dotično mx približne funkcije
(I d) zavisi o srednjoj pogreški .. dotično mr argumenta r. Prema tim


2 Pojam »srednja pogreška« poznat je dobro i u varijacionoj statistici (biometriei).
Ondje se pod ovdješnjoin oznakom »srednja pogreška pojedinog; mjerenja« razumijeva
»srednja pogreška (srednja, standardna devijacija) pojedine varijante« naprama
»srednjoj vrijednosti« (aritmetičkoj sredini svih varijanata). Jer ista ona svojstva,
koja se po t. zv. Oaussovom zakonu s pravom pripisuju rezultatima pojedinih mjerenja
(opažanja, opservacija) neke veličine i njihovim neizbježivim pogreškama, imajupojedine varijante mnogih kolektivnih predmeta (populacija), a jednako i njihove diferencije
(otkloni, devijacije) naprama reprezentantima tih kolektiva (aritmetičkim sredinama).
Naziv »srednja pogreška aritmetičke sredine« upotrebljava se u varijacijonoj
statistici u jednakom smislu kao i ovdje (i uopće u nauci o izjednačivanju po metodi
najmanjih kvadrata). Vidi na pr. .1 o h a n n s e u o v o djelo (broj 13. literat.), str. 97—
104, zatim Y u 1 e-ovo djelo (br. 14.), str. 266. 267, 344—346.


Pa i zakon o prenošenju pogrešaka primjenjuje se mnogo ne samo u teoriji i
praksi izjednačivanja po metodi najmanjih kvadrata, dakle na području nauka, kao što
su na pr. astronomija, fizika, geodezija i dendrometrija, već i u varijacionoj statistici.
Naročito se u ovoj posljednjoj primjenjuju one stipulacije spomenutog zakona, koje
vrijede za slučaj navedene funkcije (II). Stoga su rezultati ovog razmatranja od jednake
vrijednosti i za varijacionu statistiku.


267




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 6     <-- 6 -->        PDF

su formulama srednje pogreške .. i mx sasvim jednake funkcije srednjih
pogrešaka .,. i mr, kao što je to tražena veličina X (dotično .)
naprama svome argumentu R (dot. r).


II.
Za slučaj funkcije (11) zakon o prenošenju pogrešaka djelomice
je poznat, ali samo — i to opet tek djelomice — u pogledu srednje po


greške .. kao funkcije srednjih pogrešaka .. f pa t ., i t. d. U pogledu
srednje pogreške mx kao funkcije srednjih pogrešaka mr, m,, mt i t. d.
on je ioš sasvim nepoznat. Moram odmah reći, da su ga mnogi autori
formulisali i u pogledu srednje pogreške mXi ali je — kako ćemo vidjeti


— ta formulacija sasvim pogrešna. Očito je sve njih prigodom ove formulacije
zavela potpuna analogija funkcije (5) sa funkcijom (4), pa su s
obzirom na tu analogiju bez ikakova ispitivanja već unaprijed bili uvjereni,
da formula za srednju pogrešku m-x mora imati isti oblik kao formula
za srednju pogrešku ... Da uvidimo, kako je ovo nemoguće, izvest ću
najprije poznati izraz za najvjerojatniju vrijednost funkcije (II) kao i
poznatu formulu za srednju pogrešku .. . U tu svrhu ograničit ću se radi
jednostavnosti na prva dva desna člana funkcije (II).
1. Rezultati mjerenja obiju veličina R i S mogu da budu poznati
bilo u jednakom ili pak u nejednakom broju. Uzmimo ovaj drugi slučaj,
koji je općenitiji i može bolje da posluži jasnoći cijelog ovog zakona.
Recimo dakle, da je veličina R ponovno mjerena .. puta, a veličina S
svega n2 puta, pa da je ., > »,. Od tih dviju veličina imamo dakle ove
podatke mjerenja:
Kad su svi ti podaci već tu, onda bi bilo sasvim nerazumno, ako
bismo možda višak podataka za S (donji od navedena dva slijeda) naprama
broju podataka za R (gornji slijed) htjeli kod računanja aritmetičke
sredine za X jednostavno zanemariti. Jer to bi bilo samo na uštrb
točnosti u pogledu najvjerojatnijeg iznosa za X, a osim toga ne bismo
nikako mogli stvoriti objektivan sud o tome, koje podatke donjega slijeda
da zanemarimo. Treba dakle da u smislu izraza pod (II), ograničenog na
prva dva desna člana, potpuno iskoristimo sve ove pojedinačne rezultate
mjerenja. Onda naravski moramo u smislu toga izraza svaki član prvoga
slijeda postepeno vezati sa svakim pojedinim članom drugoga slijeda.
Tako ćemo dobiti svega., w2 pojedinačna zbroja dotično diferencije, dakle:


x == ri si >X = V h», )


u i T2l = »-, ± », ; 1 JI, —


vt i


"ta = ri ± h ; .22 -+ 8i ;


r2(7)


., = r, 4- s : ., = r, + s ; . = r -\


268




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 7     <-- 7 -->        PDF

Odavde slijedi kao najvjerojatnija vrijednost funkcije X (aritmetička
sredina svih pojedinačnih zbrojeva dot. diferencija) izraz:


M n2 [r] ± % [s] _ _ [r] [s]


(8)
«9


nxn2


Na jednak se način dobiva za aritmetičku sredinu tročlane funkcije
(II), ako je veličina T mjerena svega m puta, izraz:


. + . + Ji (9)


Kako je rečeno, iznos aritmetičke sredine (.) svakako je pogrešan,
a put k formulisanju izraza za ovu pogrešnost (mx ) vodi preko izraza
za srednju pogrešku .,. Da dođemo do ovoga izraza, moramo također
iz svih pogrešaka , koje terete pojedine podatke mjerenja pod (6),
kombinovati na isti način kao pod (7) svega ny n2 zbroja dot. diferencije.
Recimo, da su nam poznate prav e pogreške (QV ç2- çni i as, <.2,


terete


**-<.)> ^... Pojedine podatke mjerenja pod (.). Onda ćemo
imati ova m n> zbroja (diferencije) tih pogrešaka:


(± en) = (± .) ± (± ot); (± ..) = (± Q2) ± (± aj ;


(±U«(±ij ± (±

:± u - (± QU ± (±

i (10)


(±«-.i)-(±0±(±«v)


; (±il2)=(±s«j±(±^)


(±cj=(±^)±(±^) j


Ako se ti zbrojevi dot. diferencije:i dignu na kvadrate, pa svi ti kvadrati
zbroje i njihov zbroj stegne, dobiva se kao konačnP izraz zbroja ovo:


[i i] = »2 [Q Q] + »! [ ff] ± 2 fe] M (H)
Zadnji, dvoznačni član na desnoj strani ove jednadžbe ispada iz
računa, Jer on u smislu üaussove teorije kod velikog broja ponovnih mjerenja,
kakav se ovdje i traži, zapravo iščezava — i to već prema svakom
od prvih dvaju članova zasebice, a pogotovo onda prema njihovu zbroju.
Ako se dakle ostatak zbroja pod (11) razdijeli na cjelokupan broj u njemu


3 Kraćenjem dobivaju oni, naravski, oblike:


± in = ± ?i ± °\


đ
± Su = ± h ± at \ ´


269




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 8     <-- 8 -->        PDF

zastupanih kombinacija (m m), izlazi kao srednji od svih ovih ri\ n- kvadrata
izraz:


[ii\ _ »2fgg]4-»i|gg| _ legi i [ggT fl2,


S obzirom na formulu (1) poprima ova jednadžba oblik


K — L +^! v13)


dotično


. = ± \v"T+7f ^14)


To je t. zv. Pilagorin poučak računa izjednačivanja. kojemu .1 o ida
n pripisuje svojstvo najvažnijeg poučka u cijelom računu izjednačivanja
(br. 3. lit., str. 91.). Na jednak se način za slučaj triju ili više članova
u funkciji (11) dobiva:


. = ±.^ + ^+^-.- (]5)


Uzme li se, da pod korijenom u formuli (15) ima općenito v članova
i da su svi oni jednaki (.. = .. = .,_ =;= pf, što u zbilji
može i da bude, onda ta formula prelazi u poznatu formulu:


lia—(l^V (16)


Ona pokazuje, da srednja pogreška (.. ), koja tereti pojedino mjerenje
funkcije , raste ne samo sa srednjom pogreškom ,", koja tereti
pojedino mjerenje svakog element a te funkcije, već i sa množinom


(v) tih elemenata. Srednje pogreške pojedinih elemenata nagomila v
a j u s e dakle u srednju pogrešku funkcije i to je nagomilavanje to veće,
što Je veći broj elemenata u funkciji.
Na osnovi ispravne formule (14) svi autori, koji u svojim djelima ili
u publikacijama svojih naučnih radova navode formulu za srednju pogrešku
mx , koja tereti zbroj ili diferenciju a r i t in etičkih
sredin a pod (8) dotično (9), daju toj formuli sasvim isti oblik, kao što
ga ima formula (14) dotično (15), t. j . oblik4


m = 4-\.. 4-m (14 a)


m ± Vml+m! +m) + ´ (15 a)


4 Vidi na pr. djela dotično radove pod brojevima 13—27 i 31 pregleda literature —
i to: broj 13, strana 104; broj 14, str. 346; broj 15, str. 311; broj 16, str. 149 i 150; broj 17,
str. 53; broj 18, str. 249, 250; broj 19, str. 6: broj 20, str. 23, 26, 30; broj 21, str. 105,
106; broj 22, str. 95; broj 23, str. 67, 70; broj 24, str. 16, 17, 24—26 i dalje; br. 25.
str. 28; broj 26, str. 53, 54; broj 27, str. 1; broj 31, str. 21, 22.


270




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 9     <-- 9 -->        PDF

Svi istraživači, ko.ii se u svojim naučnim radovima služe formulom
za mx, a njih je velika množina, upotrebljavaju je po tom receptu. Prof.
Czube r dolazi u jednoj svojoj publikaciji´ do formule (14a) dapače
izvodom. Ali je taj izvod, kako ćemo vidjeti, sasvim neispravan. Neispravan
je već zato, što Czube r izvodi tu formulu — naravski uz neke
(u ostalom također sasvim neispravne) modifikacije — analogno postupku,
po kojem se izvodi formulât 14). No izvod prave formule za mx ima da
se tek nastav i na formulu (14) dotično (15), a ne da se njome već završi.
Donosim odmah taj, u ostalom sasvim jednostavni i kratki nastavak.


Analogno kao pod (,3) imamo u slučaju dvočlane funkcije (11) izraze


u .
.. = ±-.=; m=±-ß= (17)


V a.,


Kao što na iznos srednje pogreške .. i mr (dotično /is i ms )
utJeče svega ny (dotično .2) pojedinačnih pogrešaka, isto tako prema
jednadžbi (12) -- na iznos srednje pogreške .. t pa prema tome
i na iznos srednje pogreške .., utječu zbrojevi dot. diferencije
tih pogrešaka, kojih je cjelokupan broj IU ih. A ti zbrojevi (dot. diferencije)
imaJu po teoriji izjednačivanja sasvim ista svojstva kao i same pojedinačne
pogreške. Stoga analogno formulama pod (17) formula za mx
ima da glasi:


m„ = ± -..= (18)


Obrnuto izlazi iz (17) i (18):


.. = ± mr V^7 ! !\ = ± », fii~; j


(19)
fix — ± .. y .. ^ I


Ako se ove tri vrijednosti uvrste u jednadžbu (14), pa ako se zatim
obje strane te jednadžbe razdijele sa ]j .. .2 . a to je i potrebno u smislu
formula (3), (17) i naročito (18), dobiva se:


"l / n. m -4-n„ mi


»K = ± \/ 7 ´ = + \/ — (20)


Ova ispravna formula za srednju pogrešku .. kao funkciju srednjih
pogrešaka mr i ms ima dakle sasvim drugačiji oblik od općenito
upotrebljavane formule (14a). Ona se ističe jednom naročitom karakteristikom.
Veličina R mjerena je prema supoziciji svega ., puta, a veličina
S svega n-i puta. Osim toga je uzeto, da je .2 > .,. To bi u smislu Qaussove
teorije najmanjih kvadrata značilo, da aritmetička sredina svih s


6 Broj 28 pregl. liter., str. 335, 336.


271




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 10     <-- 10 -->        PDF

pod (8) točnije predstavlja veličinu S, nego aritmetička sredina svih r
veličinu R. Drugim riječima to znači, da je srednja pogreška ms manja
od srednje pogreške mr . Osim toga je po Oaussovoj teoriji radi odnošaja
»s > ., i sam iznos srednje pogreške ms određen točnije (pouzdanije)
od iznosa srednje pogreške mr. Stoga prema teoriji, ko.ia vrijedi za slučaj
nejednako točnih mjerenja, treba da srednjoj pogreški ms pripadne već i
utjecaj na srednju pogrešku mx, t. j . veći »uteg« (pondus, Gewicht), nego
srednjoj pogreški mr . A to i jest, jer odnošaj .2 > ., izazivlje protivni


11
odnošaj — < — i jer ova dva razlomka nisu ništa drugo, već utezi u
formuli (20).


Formula (14a), što ju je za srednju pogrešku mx izveo prof. C z u-
b e r, ne odgovara ovom zahtjevu teorije. C z u b e r" u svom izvodu formule
(14a) daje srednjim pogreškama m, i ms onu ulogu, koja kod izvađanja
formule za srcdn.iu pogrešku funkcije (II) može prema teoriji da
pripada samo neposredni m pogreškama, t. j . onima pod (10). Osim
toga on od jedinih dviju pogrešaka, s kojima ondje uopće računa, t. j1. od


+ mr i + mSl pravi — mijenjajući predznake — četiri zbrojevne
kombinacije, dok je tu, kako to pokazuju grupacije pod (7) i (10), moguća
i stvarno ´ dopuštena samo jedna jedina kombinacija ( -j-mr + ms ) .
Četiri kombinacije bile bi moguće samo onda, kad bismo za svaku od
veličina R i S imali po d v i j e i k tome stvarno, a ne jedino po predznacima
različite srednje pogreške (recimo: 4-m´ i 4-m zatim
_1_ y _-L_ r I


± m i + m"). A toga kod Czubera nema, kao što to po samoj
naravi stvari ne može ovdje uopće ni da bude. Osim toga smiju da se
prema Gaussovoj teoriji u slučaju funkcije (II) međusobno već u prvoj
potenciji zbrajaju dot. odbijaju samo neposredn e pogreške mjerenja,
a nipošto srednj e pogreške.
Uopće C zub er identifikuje ovdje srednje pogreške m,. i ms
sa niihovim uzrocima, a to je logički neodrživo, jer nijedna posljedica
(ovdje srednja pogreška) ne može da bude svojim vlastitim uzrokom. Ovaj
Czubero v izvod ne bi iz navedenih razloga nikako mogao da zadovolji
ni onda, kad bi njegova formula (14a) imala da vrijedi samo za srednju
pogrešku pojedinog mjerenja funkcije (II). Pogotovo onda
ne može on da dovede do ispravnog izraza za srednju pogrešku aritme tički
srednje funkcije (II).
Primijeni1 li se načelo, na kojem je izvedena formula (20), na t r i
člana funkcije (II), dobiva se analogno:


= +
.´ == + V i*´ + "» + ^i


V .1 .2 ..


V »1 .2 W8


G On doduše na dotičnom mjestu (jednako kao i svi ostali autori) za navedene
srednje pogreške upotrebljava druge oznake, ali se ipak i kod njega kao i kod svih
ostalih autora na citiranim mjestima sasvim jasno vidi iz cijelog sadržaja, da je svuda
pod formulom za srednju pogrešku zbroja ili diferencije (točnije: za srednju pogrešku
aritmetičke sredine svih zbrojeva dot. diferencija) mišljena ovdješnja formula (14a).


272




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 11     <-- 11 -->        PDF

Vidimo, da se ta formula još jače razlikuje od formule (15a), nego
formula (20) od formule (14a). Već iz samog oblika formula (20) i (21)
može se sa sigurnošću zaključiti, da proširenje formule (21) na četiri člana
pod korijenom mora da dade ovu formulu:


V/
V/
m m m, m


´-1 i 1 ´-1 S— (22)


m =


n2 n3 ni nt n3 ni »j n2 .4 nl .. .3


Općenito, kod v članova u funkciji (II), poprima formula za m%
oblik:


V n.1 m 4-n0 m 4- ». m, 4- 4-.„ m


´ ´—î—s——s—*— —-—- (23)
.3 n


.1 .2 ´ ´ ´ ´v


Iz ovih dosad nepoznatih formula, (20) do (23), dadu se izvesti neki
važni zaključci. Stavi li se naime nl = n2 = .. = = nv = »,
prelaze formule (20) do (23) u formule


s 1 2


=.± m. -\-m (24


n


i


1 mr4-m m,
2


\ r´ s +


*. = ± V ´M
2


. (2.)


-V
3 1 2


/ m m 4-+ ml


2 + * > (26)


r l


i ..


2 1 2


m +;+ 4-m


1 J(!


-±\ (27)


r


Uzme li se u zadnjoj formuli, da je .>. = ms = .


mm = m,


a to u zbilji može lako i da bude, onda ona poprima oblik


. = -\- m \ (28)


Prema ovoj formuli srednja pogreška mx ne može nikada da bude
veća od srednje pogreške m, osim u slučaju, da je n — 1. No taj ie slučaj
kod izjednačivani a po metodi najmanjih kvadrata nemoguć, jer on isključuje
uopće svaki pojam srednje pogreške. Uzme li se n = 2, v = 2,
onda iz zadnje formule izlazi, da je mx = m. Kod n — 2, *- > 2 izlazi,
da je mx<^m. 1 ova je nejednakost to veća, što je veći broj elemenata
(»0 u funkciji (II). Uzme li se pak n = 3, onda će i kod v — 2 izići, da je


m.x < m . Ova nejednakost bit će opet to veća, što je veći broj v. Dakle
opet: što je veći broj elemenata u funkciji (II), to je srednja pogreška
cijele funkcije sve manja od srednje pogreške pojedinih elemenata.
27S




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 12     <-- 12 -->        PDF

Ovaj je poiav sasvim obrnut od pojava skopčanog sa formulom (16)
i njezinim osnovnim formulama (14), (15), (14a), (15a). Ondje smo vidjeli,
da se srednje pogreške pojedinih elemenata n a g o . i 1 a v a j u u
srednju pogrešku funkcije, a ovdje vidimo dosad nepoznati pojav, da se
one »o d g o m i 1 a v a .i u« u srednju pogrešku funkcije. I kao što je ondje
nagomilavanje sve to jače, što je veći broj elemenata u funkciji, tako se
ovdje sa povećavanjem broja elemenata pojačava odgomilavanje. Ovaj
nam fakat eklatantno predočuje korist aritmetičke sredine u vezi sa dijeljenjem
veličine A" u što više elemenata, jer onda - kod ništa većeg broja
mjerenja (n) -- srednja pogreška mx sve to jače pada.


Uzme li se prema formuli (3) u obzir, da je m = -.=, pak uvrsti li


V n


se ovo u formulu (28), poprima ona oblik


i n


2. Sve formule počevši od (14) ovamo osnivaju se na supoziciji p r a-
vi h pogrešaka mjerenja, navedenih pod (10). Dosad u literaturi poznate
stipulacije zak. o prenošenju pogrešaka, koliko se one odnose na slučajeve
funkcija (II) i (111), osnivaju se uopće samo na toj supoziciji. No rekao sam
pod toč. I., da su nam te pogreške zapravo uvijek nepoznate, pak da smo
stoga uvijek prisiljeni računati sa t. zv. prividni m pogreškama. Stavimo
li dakle pod (10) na mjesto pravih pogrešaka i njihovih zbrojeva
(diferencija) prividne pogreške — u istom cjelokupnom broju naravski,
onda zbroj kvadrata pod (11) poprima točn o oblik, koji ostaje nakon
križanja zadnjeg (dvoznačnog) člana na desnoj strani jednadžbe (11). Jer
u smislu Oaussove teorije taj je zadnji član u ovom slučaju, sve i kod
malog broJa mjerenja, točno jednak nuli. Samo se u ovom slučaju taj
zbroj svih ih ih kvadrata pogrešaka ne smije više dijeliti - kao što je
to učinjeno pod (12) — sa ih m. već u smislu formule (2) samo sa
(ihn-— 1). Jer ovdje izrazu u pod (2) odgovara strogo izraz n%m. Ovdje
dakle mjesto jednadžbe (12) ima pravog smisla samo jednadžba
! v v 1 „ na \v V I 4- n, \v !>1


-;/ — » l ´ *1 H*l * ´J (30)
1 "--....-


Iz formula za srednje pogreške .. i ^Si koie u ovom slučaju,
analogno formuli (2), glase:


v v [«.«.]


. — ——. ; iK — ——. i a)


n. — 1 .. — ´izlazi,
da je [v,. Vr } — (n, — 1) [i*: isto tako da je [», v, ] = (.8 — 1) .\ .
Uvrste li se ove vrijednosti u jednadžbu (30), dobit će se:


~ y nt n2 — 1


274




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 13     <-- 13 -->        PDF

Ova formula, koja važi za srednju pogrešku pojedinog mjerenj
a funkcije (11), glasi dakle sasvim drugačije od formule (14). U
praksi izjednačivani a opravdana je faktično samo njezina upotreba, jer
su nam, kako rekoh, u zbilji pristupačne uvijek samo prividne pogreške
mjerenja, a ne prave pogreške, na kojima se osniva formula (14). Pa i
srednje pogreške .. i .. obaju elemenata rečene funkcije računaju se
u praksi izjednačivanja i mogu faktično da se računaju - - samo po
formulama (2a) dotično (2), a ne po formuli (1). Stoga se očito griješi
protiv logičnosti, ako. se srednje pogreške elemenat a funkcije računaju
po formuli, koja se osniva na priv i d n i m pogreškama mjerenja,
a srednja pogreška same funkcij e po formuli, koja se osniva na p r a-
v i m pogreškama mjerenja.


Postavio sam supoziciju »2 > n1. Stoga je i izraz (n.2 — \)nl =
= m .. — ih veći od izraza (»i 1) .. == tli .. - rii. A ovi izrazi
nisu ništa drugo, već »utezi« u formuli (31), koji dakle i to sasvim
opravdano - dolaze već u formuli za srednju pogrešku pojedino g
m j e r e u j a veličine X. Jer iznos srednje pogreške p,s , osnovane na
većem broju pojedinačnih pogrešaka (mjerenja), određen je točnije (pouzdanije)
od iznosa srednje pogreške .. . Stoga mu pripada i veći utjecaj
na srednju pogrešku ... Ovo je također uzrok, da formula (31) bolje
odgovara potrebama zbilje nego formula (14).


Upotreba formule (14) ima opravdanja samo za slučaj, da su brojevi
mjerenja (., i ..) vanredno veliki. Kad bi oba ta broja bila neizmjerno
velika, onda bi obje aritmetičke sredine pod (8) točn o predstavljale
1) r a v e vrijednosti za R i S, prividne pogreške mjerenja točno bi se
podudarale sa pravim pogreškama i utjecaj razlike (.2 — ih) na točnost
iznosa određenih za srednje pogreške .. i .8 potpuno bi iščezavao.
U tom slučaju ne bi utezi u formuli za px bili naravski ni od kakove potrebe.´
No čim brojevi m i .. nisu neizmjerno ili barem vanredno veliki,
odmah se aritmetičke sredine ne podudaraju sa pravim vrijednostima, prividne
pogreške .mjerenja razlikuju se od pravih pogrešaka i formule (2a)
pouzdanije su od analognih formula osnovanih na formuli (1). Pa i diferencija
{m -iu) utječe onda odmah na pouzdanost iznosa za srednje
pogreške .,. i ., . Dakle mjesto formule (14) ima onda da stupi u
akciju formula (31).


Za slučaj triju i četiriju članova u funkciji (II) izlaze na sasvim analogan
način za srednju pogrešku u formule


J)Wl


(. — ]) », », t\ + (»2 — V) .. »8 !´s + («, — .2 P,


(32)
.1 ni 1


\ .. —


= + ./ K -X)n2 »a »«/´?+ + (»4 -1)»i n2 % /´» m)
f´x V .. .. .. .. — 1 ~ ´ ´ ´


. i. L 6 4


Općenito, kod v članova u funkciji (II), proširuje se potonja formula
u formulu


j = + ./(wi—l)nt**i- "´ t´l - r (n„ - 1) »t % . . nv _ j L
* («1.2.3 "^-T1
.




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 14     <-- 14 -->        PDF

Stavi li se u zadnie četiri formule « = n. = . =».= »
dobit će se za njih redom:


(3.)


*
** = ±. ^
.± (36)


--V ,2+«+i~


u = + \ — VT. ´ . (37)


. -f-. -f~ » -|" 1


(38)
-V »»-»4-»*-»-] f-»"-i*--»)-}.


Stavi li se ^r = ^ = pt = . . . . ==/!„ = ^, onda iz zadnje formule
izlazi:


Srednje pogreške pojedinih elemenata nagomilavaju se dakle i ovdje
u srednju pogrešku funkcije, pa također sve to jače, što je veći broj elemenata
u funkciji (II) ; no to Je nagomilavanje slabij e nego po formuli
(16), jer je koeficijenat


v1


n~


(39 a)


(-»+V-»4 -|-»»-(*-»> 4.»»-*


očevidno uvijek manji od 1. Vidjeli smo, na koji način iz formula (14) i


(15) nastaju formule (20) do (23). Iz formule (31) izlazi na isti način za
srednju pogrešku mx formula
V
V
(n. — 1) m 4-(n0 — l)m2


; r K


1-i —-´ J—L. (40)


ntn2 — l


I iz ove formule vidimo, da srednja pogreška ms , jednako kao i u
formuli (20), ima sasvim opravdano veći uteg od sredn.ie pogreške mr,
jer je prema supoziciji «2 > .. . Za slučaj triju članova na desnoj strani
funkcije (II) ima formula za srednju pogrešku mx ovaj oblik:


V
V
(n, — 1) m -J-(.. — 1) m 4-in, — 1)>*»i.


_Li 1 ´-LA * > tZ-Li C—L. (41


.2..


.1 *


276




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 15     <-- 15 -->        PDF

Öva formula izlazi iz formule (32) na isti način kao formula (40)
iz formule (31). Općenito, kod v. članova u funkciji (II), proširuje se potonja
formula u formulu


(»! — 1) mr + (.2 — *) ». + + (»v — 1) m


x ( wi .. w3 n


~ \ ´ ´ ´ ´v ) — 1


Stavi li se ., = ., =.«, = = »,-=», prelaze formule (40) do


(42) u formule
w» -+-m


-irr- (4.)


V
V
N* 4-m -4- m,


V
V
/ 2 i 2 i i 2


´ M + m -4- .... -4-m
´ f— , " : (45)


Za slučaj odnosa mr = *», = =^mw = m prelazi zadnja formula
u formulu


m — -{- m \ -, ; (46)


» -. »" -»-j-»"-»4^. J-»"-("-0-j-»«-r


koja predočuje, da je ovdje »odgomilavanje« pogrešaka još znatno jače,
nego po formuli (28).
Formule (39) i (46) poprimaju za slučaj, da je v = 1, oblike:


J». = M (47)


m, — m (48)


Srednja pogreška, koja tereti iznose elemenat a veličine X, bila
bi dakle u slučaju * = 1 identična sa srednjom pogreškom, koja tereti
iznos cijele te veličine.


Uvrsti li se i u formulu (46), jednako kao u (28), za m izraz -?= ;
prelazi ta formula u formulu « n


.. == ± ft y ——————j -^^_____)^^_(j(_i-


Ona kod * = 1 prelazi u formulu:


». = ± -L-= ± W (5°)


y . y w


L77




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 16     <-- 16 -->        PDF

Iz formule (49) vidimo, da kod konstantne srednje pogreške /< srednja
pogreška mx zavisi samo o brojevima v \ n. Kakove je naravi ta zavisnost?
Da to odredim, uzeo sam najprije v kao konstantno(== 2), a //
kao varijabilno (— 2, 4, 6, 8, 10). Rezultati računanja po formuli (49)
svrstani su u trećem stupcu priložene tablice. Nakon toga uzeo sam n
kao konstantno ( = 2), a v kao varijabilno (— 2,4, 6, 8, 10). Tako izračunane
nove vrijednosti za » , svrstane su u sedmom stupcu.


I. mx = F{n) H. mx = Fiv)
V
2
n
2
4-m
— X
0 5774 a
+ m
— XfJ
0-8973 fi
.
2
´ v
2
± mt
0-5774 ft
+ m
— xg
0-8973 fi
2
2
2
2
4
6
8
10
0-3162 /i
0-2182 u
0-1667 u
0-1348,«
0-4262,"
0-2789 /i
0-2065 /i
0-1635 ft

2 2
2 .
2
4 .
6
8
10
03651,«
0-2182/.
0-1252 /i
0-0699 fi
0.5674,«
03391 (tt
0-1946,»
0-1086,"


Promatrajući iz ta dva stupca pojedine koeficijente (zamišljene kao
ordinate) vidimo, da su oni pri apscisama 2 i 6 (navedenim u 2. i 6. stupcu)
međusobno jednaki. Između ove dvije apscise srednja je pogreška mx
iz sedmoga stupca veća od srednje pogreške .. iz trećega stupca, a
nakon apscise o odnošaj je trajno obrnut. To se još bolje vidi iz krivulja
1 i II na slici 1., kojima je tendencija nakon apscise 6 trajno divergentna
i od kojih I predočuje padanje koeficijenata iz 3. stupca, a II iz 7. stupca.


Kad bi se dakle veličina X razdijelila u 7 povoljnih diielova, pak
svaki taj dio izmjerio samo dvaput, onda bi prema toku tih koeficijenata
(naravski kod jednake srednje ppgreške /<) veličina X bila aritmetičkom
sredinom obiju tih izmjera točnije određena, nego kad bi se razdijelila
samo u 2 di.iela, pak se svaki taj dio .mjerio sedam puta. U pogledu iznosa
za srednju pogrešku mx bilo bi pak pod navedenim uslovom sasvim svejedno,
da li veličinu X dijelimo u 2 dijela i svaki taj dio mjerimo šest puta
ili pak da li je dijelimo u 6 dijelova i svaki taj dio mjerimo samo dvaput.
To bi bilo svejedno u pogledu točnosti, ali´ niJe svejedno u pogledu praktičnosti.
.1er u slučaju dijeljenja u G dijelova (s obzirotn na to, da na pf.
dvokratno mjerenje svakoga od 6 dijelov a veličine X znači isto, što
i dvokratno mjerenje cijel e te veličine) posao m.ierenja pada na jednu
trećinu posla potrebnog u slučaju dijeljenja u 2 dijela.


A kolika bi pri tom dijeljenju veličine X u 6 dijelova bila uštednia
pošla naprama poslu potrebnom za jednako točno određenje iste veličine
izmjerom njezinom u cjelini (t. j . kod v = I)? To se dade odrediti, ako


se iznos 0´2182 ," iz 7. stupca postavi ´u jednadžbu sa izrazom -,=?


y n
iz formule (50). Iz te jednadžbe izlazi n =f= 21, te bi dakle posao m.ierenja
pri dijeljenju veličine X u . dijelova bio 10 f pol .puta manji od posla potrebnog
za po prilici jednako točnu izmjeru iste veličine u cjelini.


278




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 17     <-- 17 -->        PDF

Ovi se računi osnivaju na supoziciji sasvim pouzdano određenih
srednjih pogrešaka ,». Ali pojedine iznose srednje pogreške /´ u
tabeli, osnovane na sasvim ograničenom broju mjerenja, tereti također
neka srednja pogreška, koja naravski utječe i na iznose srednje pogreške
mx . Stoga je za sasvim sigurne zaključke ove vrsti potrebno, da se napomenuti
(u 3. i 7. stupcu svrstani) iznosi za »«.,, podvrgnu izvjesnoj korekturi.
Uzme li se pri formulisanJu izraza za srednju pogrešku pojedinog


mjerenja u obzir također srednja pogreška, koja radi ograničenog broja
mjerenja tereti tu srednju pogrešku, onda prema W e 11 i s c h u i H e 1mertu
´ formula za tu srednju pogrešku glasi:


(51)
V^V^r


Ova formula u kojoj pored broja mjerenja (») dolazi kao argumenat
i sama nesigurna srednja pogreška ,», određuje srednje granice (/<,,),
do kojih može da dosegne ta srednja pogreška. Za nas je ovdje važan
samo veći od obaju graničnih iznosa, jer samo s njegovom pomoći možemo
gotovo sasvim sigurno odrediti, kod kojega se iznosa za n dotično v
sijeku krivulje analogne spomenutim krivuljama 1 i II. A taj veći granični
iznos uvjetovan je pozitivnim predznakom pod korijenom. Tako sam
dakle računao pojedine ove iznose srednje pogreške . — i to za brojeve
// = 2, 4, ., 8, 10. Oni glase istim redom: pg = + 1-554 . , + 1-348 . ,
± 1-278 fi, + .289//, + 1-213/t. Zamijenivši izraz . u trećem i


Vidi broj 3. lit., str. 115.; broj 10. lit., str. 75 i 76.


279




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 18     <-- 18 -->        PDF

sedmom stupcu tabele pojedinim analognim iznosima za . dobio sam
izmnoženjem ondješnjih koeficijenata sa koeficijentima za . nove koeficijente,
koji su svrstani u 4. i 8. stupcu. Tok tih koeficijenata predočuju
krivulje I i II na slici 2. One se, kako vidimo, sijeku već nešto prije apscise
8, tako da i´ za najnepovoljniji slučaj možemo već biti prilično sigurni,
da sjecište ne može prijeći apscisu 8.


Možemo stoga sasvim sigurno reći, da se iznos veličine X, ako je
razdijelimo u osam dijelova i svaki taj dio mjerimo samo dvaput, dade
barem tako točno odrediti, kao kad bismo je razdijelili samo u dva dijela
i svaki taj dio mjerili osam puta.


Iz formule analogne formuli (50), ali u kojoj izraze mx, . i ..
zamjenjuju analogni izrazi mxg> pg i (1...) izlazi:


..=±.^. (52)


Uvrsti li se ovdje na mjesto .. desna strana jednadžbe (51), a na mjesto
mxlJ iznos 0´194. . iz osmog stupca tabele, dobiva se jednadžba, iz koje
izlazi n — 28´3 ili okruglo n = 28. Dakle je sasvim sigurno, da dvokratno
mjerenje veličine X, razdijeljene u osam dijelova, vrijedi u pogledu točnosti
upravo toliko, koliko u tom pogledu vrijedi 28-kratno mjerenje iste,
ali nerazdijeljene veličine. A posao mjerenja pada pri tom, kako vidimo,
na Vu posla potrebnog za mjerenje nerazdijeljene veličine.


III.
Za slučaj funkcije (III) poznata je dosad u literaturi za srednju pogrešku
pojedinog mjerenja formula


*. = ± VK^O´+k/0´+(W+----(53)


Kako se vidi, ta je formula kombinovana, i to ispravno kombinovana,
iz formula (4) i (15), od kojih se druga osniva na supoziciji pravi h
pogrešaka mjerenja. Stoga i formula (53) može da vrijedi samo za slučaj
poznavanja pravih pogrešaka mjerenja, koji međutim ne nastupa u zbilji
nigda.


Formulu za srednju pogrešku (mx) aritmetičke sredine
navode dosad za slučaj funkcije (III) samo dva — i to čisto šumarska
autora.8 No oni toj formuli daju posve oblik formule (53), padaju dakle
s obzirom na srednju pogrešku m.x funkcije (III) u istu bludnju kao i
autori, koji za srednju pogrešku mx funkcije (II) navode ili pače izvode
formule (14a) i (15a). Jer stavimo li u funkciji (111), ograničenoj na prva
tri člana, redom ar R = B, asS—C, at T = D, pak uzmemo li
kao pod točkom II., da je veličina B mjerena m puta, veličina C svega m
puta i veličina D svega . puta, onda u smislu formule (21) mora biti:


2 2 .
m. m m,
—t+
—i -+ —-L- (54)
»..38 ntut nynt


Vidi u pregledu literature broj 12., str. 123—130; broj 23., str. 70; broj 29., str. 508.


280




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 19     <-- 19 -->        PDF

No u smislu formule (5) slijedi dalje, da je mb = ar mr, m,, = as ms ,
.,, = a, mt . Uvrste li se ovi izrazi u zadnju formulu, izlazi iz nje neposredno
ispravna formula


-i / (a m )2 (a m )2 (a, m A2


.. =\ n211., ..~-nl


+ h -U_fi n3 -ir~ (..)
koja se sasvim bitno razlikuje od formule, što je navode spomenuta dva
autora i koja je, kako rekoh, sasvim jednaka formuli (53).
Općenito, kod v članova u funkciji (111), proširuje se formula (55) u
formulu


V , K mrî + % (a, mj -j \-nv (a„ .. f


(56)
i.


ni .2


%


... formula (53), tako naravski i ova formula može da vrijedi samo
za zbiljski nemogući slučaj poznavanja pravi h pogrešaka mjerenja, te
ima zato samo teoretičko značenje. U zbilji se srednje pogreške funkcije


(III) mogu, u slučaju reduciranja ove funkcije na prva dva desna člana,
točno računati samo po formulama
* ~ y »jj «„ — 1
/ fw, — 1) fa m Y + (.„ — 1) fa m )2


M r r) . { S W


w : -l/A-1 | Ü (58)
Wj »3 — l .


Za slučaj-»´ članova u funkciji (III) dobivaju se na isti način za .. i mx
formule


__ , . I (Wl — *) V V -´ W> (ar K )2 H .-(.. — I) W^2 »v -1 ( %KJ*


(»1 .2 .8 V) — 1


V
V
15 -1) . wr)´ + (w2 : D (", «o» . H . -J) («„ «,)


(»j . 8»3 »„) — 1


One također pod uslovima .) = «2 =. . . . = »„ = n i dalje ^. = .,


= = ^u, = /t ; zatim a,. = a, = - = a„, = a i konačno m,. = ws


= . = »» = ». primaju redom jednostavnije oblike:


1 / " l\ r ´ r ! I \ s ´ s I I I \ ID f ic/ ) / n i V


´ »´^(K A*,)´+(«./*.)´+ 4-.^.)


´ . ´ — l/ « 1 I /V — 2 ! I . . 2* ff -li I . . V _vV ^ ´


-(» -l) _J_ ,/


w*-» _!_„»--*_f-. 1_„»/
»*-1
vK+«!+ s


r+<)


U =±/i 1/ ´ ´ T^V^ (62)


-.<91




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 20     <-- 20 -->        PDF

k = -f-« \/
-+L) (63)


i . / v´


/.. = ± a . y ________


dotično :


-\ / K »´,.)´ +(yJ´-t + K´"„-)2
fRK,


y n -f-n -\- -f~ «


» I


*
= -f- m l/ (66)
. n -f-. . f.*"-*
_ I 2
,2, i 2


. m ~\-m -+- -f- m


r s .


m = + a
\/^ ! ^— (67)


a m \/


*, = ± « « V -^—-..^ —^. (68)


To bi bili nadopunjei zakona o prenošenju .pogrešaka. Vidimo, da
oni taj zakon za slučaj funkcija (II) i (III) proširuju na četverostruki dosada
poznati opseg. A ni važnost im nije neznatna, jer nipošto ne može
da bude svejedno, da li se napr. srednja pogreška (mx ) diferencije dviju
aritmetičkih sredina računa po formuli (14a) ili pak po formuli (20) dotično,
što je još ispravnije, po formuli (40). Račun po ovoj posljednjoj
formuli može lako da nas kod varijaciono-statističkili istraživanja dovede
do sasvim drugačijih zaključaka u pogledu identičnosti dot. međusobne
pripadnosti pojedinih kolektiva, nego što su zaključci, do kojih vodi racu-;
nanje po neispravnoj formuli (14a).


Osim toga činjenice predočene ovdje u pogledu utjecaja, što ga na
točnost aritmetičke sredine vrši dijeljenje veličine X u više dijelova, popodobne
su, da — kod jednakih zahtjeva u pogledu točnosti — mnogo
pospješe i pojeftine radove oko mjerenja i izračunavanja različitih veličina.
Dosad se napr. s obzirom na gomilanje pogrešaka po formulama


(14) i (15), za koje se mislilo, da vrijede i za srednju pogrešku aritmetičke
sredine, išlo za tim, da se svaka veličina po mogućnosti izmjeri kao cjelina
ili da se pri mjerenju razdijeli barem u što manje dijelova (vidi napr.
djelo pod toč. 2. liter., strana 103). Pri tom se naravski, ako je bilo potrebno,
da se postigne velika točnost, ili moralo raditi sa vanredno preciznim
i skupim instrumentima ili se pak moralo mjerenje veličine ponavljati
mnogo puta. Činjenica, što sam je predočio na koncu 11. točke-,
pokazuje naprotiv, da je i za postignuće velike točnosti dovoljno — uz
jedan lako ispunjivi uslov — ponoviti izmjeru cijele veličine samo jedamput.
»
LITERATURA.


1. Czubc r
E.: Theorie der Beobachtimgsfehler, Leipzig 1891.
2. Kozâk J.: Orundprobleme der Auegleidmngsrephnung nach der Methode der
kleinsten Quadrate, Wien-Leipzig 1907.
282




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 21     <-- 21 -->        PDF

3.
We l lisc h S.: Theorie und Praxis der Ausgleichungsrechming, Wien-Leipzig 1909.
4.
Buss e .1.: Ausgleichsrechnung und ihre Bedeutung für die Beurteilung forstlicher
Fragen, Stuttgart 1912.
5. Forche r H.: Die statistische Methode als selbständige Wissenschaft, Leipzig-1913.
6. Vate r H.: Die Ausgleichungsrechming bei Bodenkulturversuchen, Berlin 191-8.
/.
Wei t brech t W. : Ausgleichungsrechming nach der Methode der kleinsten Quadrate,
Berlin-Leipzig 1919—1920.


S. J o r d a n - Eg g e r t: Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart 1920.
9.
H a r t n e r -1) o 1 e ž a 1: Hand- und Lehrbuch der niederen Geodäsie, Wien 1921.
10.
H e 1 in e r t - H o h e n n e r : Die Ausgleicluingsrechnung nach der Methode der
kleinsten: Quadrate, Leipzig-Berlin .1924.
*1.
C z u b e r E.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung,
Statistik und Lebensversicherung, Leipzig-Berlin 1924.


12. Tischendor f W.: Lehrbuch der Holzmassenerinittlung, Berlin 1927.
13. Johannse n W.: Elemente der exacten Erblichkeitslehre, Jena 1926.
14. Yulc ü. U.: An Introduction to thc Theory of Statistics, London 1927.
15. Lan g A.: Die experimentelle Vererbungslehre..., Erste Hälfte, Jena 1914.
16.
Czube r E.: Die statistischen Forschungsmethoden, Wien 1921.; zweite Auflage,
Wien 1927.
17. Collie r W. A.: Einführung in die Variationsstatistik, Berlin 1921.
18.
Pearso n K.: On the différence and the doubled tests for ascertainirig wheter two
samples have been drawn from the same population (Bioinetrika, Volume XVI, 1924).
Î9.
Zölle r W.: Formeln und Tabellen zur Errechnung des mittleren Fehlers, Berlin
1925.


20. Hook e B.: A third study of the Englieh skull... (Bioinetrika, Vol. XVIII, 1926).
21. Pearso n K.: On thc coefficient of racial likeness (Biometrika, Vol. XVIII).
22.
Ta v čar A.; Zur Frage der Aussaatbemessung bei Sortenversuchen mit Winterweizen
(Zeitschrift für Pflanzenzüchtung 1928).
23.
Su Tic S.: Tačnost procjene sastojina pomoću primjernih ploha — L´exactitude
de l´estimation des peuplements au moyen des places d´essai (Šumarski List 1929.).
24.
Vaka r B. A.: Vlijanie ploščadi pitanija v svjazi s krupnost.iu posevnogo zerna
na razvitie i urožaj jarovyh pšenic (Trudy Sibirskogo Instituta seliskogo hozjajstva
i Jesovodstva, Tom IX, 1928).
25.
Ilvessal o Yrjü : Tutkimuksia yksituismetsien tilasta Hämeen läänin kcskiosissa
(Acta forestalia fennica 26—1923).
26.
Saar i E.: Kotitarvepuun kulutus maasendulla Turuii ja Porin läänissä (Communieationcs
ex Institute) quaestionum forestalium Finlandiae editae. 5—1923).
27.
Van Uve n M. J.: Beoordeeling van het verschil tusschen twee varieteiten op
grond van eeu waargenomen opbrengstverschil (Mededeelingen van de Landbouwhoogeschool
Wageningen, Deel 31—1927).
28.
Czube r E.: Zur Frage der Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf
landwirtschaftliche Versuche (Zeitschrift für Pflanzenzüchtung 1922).
29.
Tischendor f W.: Genauigkeit von Messungsmetboden und Messungsergebnissen
bei Holzmassenermittlungeii (Forstwissenschaft!. Centralblatt 1925).
30.
Lindeber g J. W.: Über die Berechnung des Mittelfehlers des Resultates einer
Linieutaxierung (Acta forestalia fennica 25—1923).
31.
Ta vč a r A.: Variaciona statistika u eksperimentalnoj poljoprivredi. (Izdanje ministarstva
poljoprivrede i voda — knjiga 15.), Beograd 1929.
ZUSAMMENFASSUNG.


Das Fehlerfortpflanzungsgesetz in einer neuen Beleuchtung.


Das Fehlerfortpflatizungsgesetz fusst noch ausschliesslich auf der Annahme
wahre r Beobachtungsfehler und ist auch noch für diese Annahme durchaus ergänzt!
ngsbedürftig. So berechnet man noch allgemein den mittleren Fehler (mx) einer
Summe bezw. einer Differenz (´´) zweier oder mehrerer unabhängig voneinander bestimmten
arithmetischen Mittelwerte (r, s, t usw.) nach den im Texte
nachfolgend der Formel (16) angeführten Formeln (14a) und (15a), wo »»,., ma und
mt die mittleren Fehler der besagten Mittelwerte zum Ausdruck bringen. Der Verfasser
zeigte nun die Unrichtigkeit dieser Formeln, sofern sie den mittleren Fehler einer
Summe bezw. Differenz von Mittelwerte n repraesentieren sollen, und leitete statt
derselben die Formeln (20) bis (29) her.


283




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 22     <-- 22 -->        PDF

Davon gilt die Formel (20) für den Fall zweie r Mittelwerte (r und s), wenn
dem Mittelwerte r eine Anzahl von m und dem Mittelwerte s eine solche von ;z2 wiederholten
Beobachtungen (bezw. Variationen in der Variationsstatistik) zugrundeliegt. Die
Formel (24) entspricht dem Falle, wo m = m — n ist. Allgemein, für den Fall vonMittelwerten (r, s, t,... w), deren erster auf ni, zweiter auf n2, dritter auf n3, letzter auf


nv Beobachtungen fusst, gilt die Formel (23), wo der Ausdruck im Nenner ein Produkt
darstellt. Dieser Formel entspricht für den Fall von m = «a— =«*, = /; die Formel
(27), Daraus folgt unter Annahme von m, = ms = ....=* mm = m die Formel (28).
Gegenüber der bisher bekannten, ein »Fehler-Althäufungsgesetz« zum Ausdruck
bringenden Formel (16) repraesentiert die Formel (28) ein ausdrückliches »Fehler-
Abhäufungsgesetz«.


Weiter leitete der Verfasser für den analogen mittleren Fehler der in der Einleitung
angeführten Funktion (111) die Formel (55) her. Diese gilt jedoch nur für den Fall
einer dreigliederigen Funktion (III). Allgemein — für v, uzw. (der Reihenfolge nach)


je m, n-i iij mal wiederholt gemessene Glieder in Funktion (HI) — gilt die
Formel (56).
Dies sind in der Hauptsache Ergänzungen des Fehlerfortpflanzungsgesetzes unter
Annahme wahre r Beobachtungsfehler. In der Praxis der Ausgleichungsrechnung ist
man jedoch nur auf scheinbar e (plausible) Beobachtungsfehler angewiesen, da
wahre Fehler unermittelbar sind. Und ebenso wie aus diesem Grunde die mittleren
Fehler von E 1 e m e n t e n (R, S, T,...) der Funktionen (II) und (III) nur auf Grundlage
von scheinbaren Beobachtungsfehlern berechnet werden, so erfordert es die Folgerichtigkeit,
dass auch in bezug auf die mittleren Fehler der Funktionen selbst
in gleicher Weise verfahren werde.
Der Verfasser leitete daher für den mittleren Fehler {//,,.) der einzelnen
Beobachtun g von X in Funktion (11) die Formeln (31) bis (39) her. Davon gebührt
der Formel (,34) der Charakter der Allgemeinheit, d. h. sie gilt für den Fall, wo
in der Funktion (II) insgesamt v, uzw. zu verschiedenen Malen wiederholt gemessene
Glieder vertreten sind. Im Falle von », = nt — = nv = n geht diese Formel in die
Formel (38) und diese wieder für den Fall von /lr = ps = . = (i,„, = /; in die
Formel (39) über, Gemäss dieser Formel geschieht ebenfals ein Anhäufen von mittleren
Fehlern («,) der Teilgrössen R, S, T.. . zum mittleren Fehler der ganzen Grösse X,
dieses ist jedoch wesentlich schwächer als jenes unter (16), da der in (39) befindliche
Koeffizient (39a) stets kleiner ist als 1.


Für den mittleren Fehler (m,,) einer Summe bezw. Differenz vo n Mittel werte
n gelten die Formeln (40) bis (46), wovon wiederum die Formel (42), in
gleicher Weise wie (34), allgemeine Geltung besitzt. Für den Fall von », = n„ =
= nv = n geht sie in die Formel (45) und diese unter m,. — ma= ~mv.= m


in die Formel (46) über. Substituiert man hier m durch —=- so bekommt man die


y»


Formel (49).


Ebenso wie die Formeln (28) und (29), so repraesentiereu auch die Formeln (46)
und (49) ein Fehler-Abhäufungsgesetz, nur jedoch in einem noch wesentlich stärkeren
Maasse. Der mittlere Fehler m.,. nimmt also nicht nur mit der Anzahl von wiederholten
Beobachtungen (n) ab, sondern auch mit der Anzahl der in X enthalteneu Teilgrössen


(R. S, T,...). Verfasser berechnete nun nach (49) den mittleren Fehler tnx unter
zweierlei Annahmen. Zuerst nahm er v als konstant (= 2) an, n dagegen als nacheinander
= 2, 4, 6, 8, 10. Dann wurde /; = 2 und v = 2, 4- 6, 8, 10 angenommen. Die
Rechnungsresultate sind in den Spalten 3 und 7 der beigegebenen Tabelle enthalten.
Dieselben wurden nun unter Anwendung der bekannten, von Well i sc h (S. 115)
und H e 1 m e r t - H o h e n n et (S. 75, 76) angegebenen, den mittleren Fehler des
mittlere n Fehler s berücksichtigenden Formel (51) korrigiert und die so erhaltenen
Werte in den Spalten 4 und 8 niedergelegt. Diesen Zahlen entsprechen die Kurven
I und II. in der Abbildung 2 (Sl. 2.), die sich zwischen den Abszissen 7 und 8 schneiden.
Für die Abszisse 8 ist also schon mx = F (>) geringer als mt. = y>´ (»), Man kann daher
fast mit Sicherheit sagen, dass die Grösse X, .wenn man sie in 8 beliebige Teile einteilt
und jeden derselben bloss zweimal misst, genauer oder wenigstens so genau bestimmt
werden kann, als wenn man selbe in 2 Teile teilt und jeden dieser Teile achtmal misst.
284,




ŠUMARSKI LIST 6/1930 str. 23     <-- 23 -->        PDF

In ähnlicher Weise fand der Verfasser, dass das zweimalige Messen der in
8 Teile geteilten ürösse X ganz ebensoviel in bezug auf die Genauigkeit gilt als das
28-nialige Messen derselben, jedoch ungeteilten ürösse. Und dabei sinkt natürlich die
erforderliche Vermessungsarbeit auf ´/« derjenigen herab, die für das Messen der
ungeteilten ürösse notwendig ist.


Für die mittleren Fehler ,,x und mx der Funktion (III) leitete Verfasser unter


Annahme scheinbarer Beobachtungsfehler die allgemeinen, den Fall von v verschieden


malig (»,, »2) . . . ri„) gemessenen Gliedern in Funktion (III) berücksichtigenden Formeln


(59) und (60) her. Diese nehmen für n, =»,= = nv = n sowie .. = fis =
= ,»„. = ,« beziehungsweise für ar = as «=.... == aw = a und mr = >ns = = mw — m
einfachere Formen (61) bis (68) an.


Prof. ing. M. P. STEFANOVIĆ, BEOGRAD:


GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA
GREŠAKA PRI KUBATURI TRUPACA


(L´INTERPRÉTATION GRAPHIQUE DES ERREURS DE CUBAGE
DER GRUMES)


Slučaj je hteo, da razgledajući Dendrotnetriju profesora Dr. A. Lev
a k o v i ć a dođem na ideju, da greške, koje se javljaju između realne
i sračunate vrednosti kübature debala po najobičnijim dendrometrijskim
formulama, predstavim približno grafijski. Činjenica, da su metode sračunavanja
kulture zemljanih radova kod putova i željeznica skoro identične
sa onima za drvo, nije takođe bila strana ovom mome ogledu. Uz to dvoje
fakat, da se pitanju što tačnijeg sračunavanja kubature drveta — živog
ili odsečenog — poklanja u posljednje vreme vrlo velika pažnja i da se to
pitanje raspravlja u naučnim časopisima posvednevno, bio je treći, ali ne
i najmanje važni razlog, da sam se latio, da u ovo pitanje donekle uđem.
Najzad, analitičko računanje, koje, kada su formule jednom utvrđene, ne
predstavlja ništa dru^o nego zamenu simbola brojevriim vrednostima, ne
pruža, držim, jasnu predstavu o greškama, koje se pri tome čine, niti dopušta
jednu diskusiju, koja bi do očiglednosti jasno — crtežem — predstavila,
u čemu su one i kolike su. Na kraju držim, da je ovaj moj o^led,
koliko je, razume se, meni poznata inače tako obimna dedrometrijska literatura,
prvi svoje vrste.


Kao što je poznato — i li u b e r o v a i S m a 1 i j a n o v a formula za
računanje mase oborenih debala počivaju na jednoj pod raznim imenima
poznatoj formuli, koju je po jednima prvi dao Njutn , a po drugima
To riče 1 i, V i t š t a j n, H u g i ne znam ko još. U dendrometriji je ona
poznata i pod imenom R i k e o v e formule. Ona važi tačno za volumen
tako zvanih prizmoida, t. j . prizme, oblice (valjka), zarubljene piramide,
zarubljenos konusa, zarubljenog paraboloida, zarubljenog neiloida, a
možda još i kojeg drugog sličnog tela.


Ako sa d označimo dužinu jednoga od ovih tela, sa t\ i Fs površinu
donje i gornje osnove, a sa Fm površinu preseka u sredini dužine, koji
nazivamo srednjim presekom, onda ta formula ima oblik:


285