DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 20 <-- 20 --> PDF |
samo naglasiti, da su Poljaci (sve do 1928 god.) imali izraze »las wysoki«, »niski« i »sredni« ili »las wysokopienny«, niskopienny« i sredniopienny«. Prv^ je grupa izraza doslovni prijevod njemačkih riječi Hoch-, Niederi Mittelwald. Druga grupa stvorena je vjerojatno pod utjecajem ruskih termina vysokostvoljnik, niskostvoljnik i srednjestvoljnik, a ovi potonji su također modifikovan nrijevod sa n´emačkog i duhu ruskog jezika ne odgovaraju. Sad su kod Poljaka uvedeni izrazi, koje sam gore naveo, a to su »las nasienny«, »las odroslony« i »las pola.czony«. Komitet se nije ograničio samo na to, da te izraze pronađe, analizira i predloži mjerodavnima (Ministarstvu Poljoprivrede), već konsekventno referiše o svakom odstupanju od nove terminologije, bilo od strane stručne kn.´iževnosti bilo od strane legislative i naredbodavstva, i neumorno protestuju, kada se koji odbačeni izraz povampiri. Résumé. Quelques propositions a l´égard de l´unification de la terminologie fore stiere yougoslave, probleme actuel de notre économie forestiere. Prof. DR-A. LEVAKOV1Ć {ZAGREB): O SREDNJOJ POGREŠKI SUME (SUR L´ ERREUR MOYENNE D´ UNE SOMME) U vezi s mojim člankom štampanim na str. 265 —283 Š. L. od 1930. god. kao i sa kritikama g. proî. Ahakumova (S. L. 1930, str. 373—379) i g. ing. Andrejeva (Š. L. 1932. str. 719—724), te sa mojim odgovorima na te kritike štampanim odmah iza njih smatram potrebnim da se na pitanja, o kojima se tu raspravljalo, osvrnem još jednom. I. Teorija pogrešaka dot. njihova izjednačavanja po metodi najmanjih kvadrata odnosi se na tzv. neizbjeziv e pogreške mjerenja (opažanja), poznate i pod nazivom slučajni h pogrešaka, t. j . kojih su pozitivni iznosi jednako vjerojatni kao i jednako veliki negativni izno i To je prv a značajka, koja se s pravom pripisuje ovim pogreškama. Kao drug a njihova značajka navodi se (opet s pravom), daje manja pogreška vjerojatnija od veće — uz pretpostavku naravski da su sva (opetovana) opažanja izvjesne veličine vršena „s jednakom točnošću" (na kojoj će se pretpostavci osnivati i svi ovdješnji izvodi). Posljedica je ove druge značaj e, da je pogreška E0 = 0 vjerojatnija od ma kuje druge, ma da se i njezina vjerojatnost, s obzirom na ogroman (teoretski beskonačan) broj raznih pri izmjeri veličine uopće mogućih pogrešaka, smatra s pravom kao vanredno (teoretski beskonačno) malena. Kao treć a značajka slučajnih pogrešaka, koja je zapravo posljedica prvih dviju, pridolazi izvjesno simetrično ograničenje cijelog područja pogrešaka pri izvjesnom mjerenju uopće mogućih, t. j . da maksimalno moguća (bilo pozitivna ili negativna) pogreška izvjesnog niza opažanja ne prekoračuje, pa čak ni ne do.-tiz va izvjesnu — i u pozitivnom i u negativnom smjeru jednaku — skrajnju granicu. Ta se granica ( + g) ne da doduše pobliže odrediti, ali kod mjerenja 706 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 21 <-- 21 --> PDF |
kakvegod veličine i kod bilo kojeg načina mjerenja svakako postoji.1 Vjerojatnost pogreške + g i svih od nje većih iznosa izlazi prema tome kao jednaka nuli. Ove značajke neizbježivih pogrešaka predočuje priložena slika, gdje je vjerojatnost p (4; L») kojegod pogreške + .., (i = 0, 1, 2, -, n), predočena u smislu druge značajke kao funkcija njenog iznosa. Cijelo područje pogrešaka razdijeljeno je na slici u 2n jednakih intervala, kojima teorija pripisuje beskonačno malenu veličinu de. S obzirom na to se npr. vjerojatnost, da je — nepoznata naravski — pogreška izvjesnog opažanja pala u interval između Ei i L.4_! (t. j . da joj je veličina ograničena iznosima et i Li-|-i), smatra zapravo vjerojatnošću donje od tih dviju granica, dakle vjerojatnošću pogreške e*. Ujedno se s obzirom na suponiranu veličinu intervala i nezavisna varijabila . i njena funkcija p (e) smatraju kontinuitetnim varijabilama. Prema osnovnoj definiciji vjerojatnosti izlazi za vjerojatnost ma koje pogreške izvjestan, u teoriji (pored analitičkog izraza za vjerojatnost pogreške) / . «(*«) (1-) P (L. ) = -.^- gdje N naznačuje teoretski skrajnje mogući broj opetovanih opažanja izvjesne veličine dot. ukupni broj pogrešaka s njima skopčanih, a z(Si) broj pogrešaka, koje pri tom padaju u interval između .. i et -f- 1, gdje je dakle JV 2 2 Z(E) = 2 (z(e0) + s(e,) H \- 2(e._i)) (2.) 1 Teorija izjednačivanja određuje za g principijelno iznos -j - oo , što međutim i najglavniji predstavnici teorije priznaju kao faktički neispravno, jer „pogreške, koje bi prekoračile izvjestan umjereni iznos, ne mogu uopće da pridođu" (C z u b e r : Theorie der Beobachtungsfehler, str. 51). 707 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 22 <-- 22 --> PDF |
Za udovoljenje (do izvjesne granice) suponiranom kontinuitetu u pogledu varijabila E i p(e) trebalo bi u smislu teorije2 da je N = OD (i to Višestruko co),. što je»u praksi naravski nemoguće, radi čega izvodi i zaključci teorije i mogu u praksi da imaju tek ograničenu važnost — naravski to veću, što je više izvršeno opažanja. Iz jednadžbe 1. izlazi obrnuto (uz ispuštanje indeksa i predznakova) izraz: z(e) = Np(e) ..... (3.) Kako pri opažanju izvjesne veličine i pri izvjesnoj točnosti opažanja ima N da bude konstantno, to (prema jednadžbama 1 i 3) varijabilnost izraza p (e) žavisi samo o varijabilnosti izraza Z(E) i obrnuto. Stoga bi krivulje p (e) i Z{E) imale da budu potpuno slične jedna drugoj (tek bi ordinate na drugoj imale da budu N puta veće od onih na prvoj), pa prema tome kao što se, s obzirom na prvu značajku slučajnih pogrešaka, s pravom postavlja jednadžba p(+ e\ = p(— e) (4.) tako isto i s jednakim pravom može da se postavi i jednadžba *(+L) = *(-a) .. (5.) Kako pak u duhu treće značajke mora da bude 0(eB) = O, to z{en_\)J s obzirom na suponiranu veličinu pojedinih intervala, mora s nulom da graniči. Eadi toga opet (s obzirom na karakter brojeva Z(E) kao cijelih brojeva, od kojih je nuli najbliži broj 1) može u svaki od oba skrajnja intervala, već prema vrsti opažanja, da padne tek po jedna ili u najgorem slučaju nekoliko pogrešaka. Dalje uzimlje teorija, s obzirom na jednadžbu 4, da je + - s 4-L0p (+ e„) -4- -4- c„_i p (+ en _t) == 0 (6.) t. j . da je aritmetička sredina od svih N uopće mogućih pogrešaka jednaka nuli. No s obzirom na jednadžbu . izlazi s jednakim pravom također : + g L**<«) = () ..-. (7.) — g t. j . da nuli mora da bude jednaka već i sama suma svih tih N pogrešaka. Ovo posljednje teorija u neku ruku negira i to time, što za vjerojatnost sume pogrešaka (označimo je kraiko sa ..L) postavlja izvjesnu formulu (vidi Czuber : Theorie der Beobachtungsfehler, str. 145—147), iz koje izlazi doduše, da je vjerojatnost jednadžbe oe = 0 veća od vjerojatnosti nejednadžbe o>^0 , ali izlazi ujedno i to, da bi u slučaju, kad bi broj sumanda odgovarao ekstremnom broju N, vjerojatnost jednadžbe as = 0 beskonačno graničila s nulom, dok bi faktično u ovom slučaju trebalo da bude baš obrnuto, t. j . p (ae) == 1. Razlog ovoj kontradikciji leži u tome, što teorija smatra, da je svaki član sume pogrešaka jedna zasebna, od drugih sasvim nezavisna varijabila, pa 2 Potpuno se supoziciji kontinuiteta u pogledu ovih dviju varijabila ne da udovoljiti ni pod kojim uslovom i to: 1. jer je razlikovanje pogrešaka sve do iznosa de nemoguće već radi same ograničenosti očnoga viđa; "2. jer napose i sami brojevi z (si ), na kojima se osniva jednadžba 1, mogu — kao cijel i brojevi — da sačinjavaju samo tzv. diskretne nizove, pravilne doduše,, ali bez strogog kontinuiteta. 708 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 23 <-- 23 --> PDF |
dosljedno tome za vjerojatnost takve sume uzimlje izvjestan izraz, koji tu vjerojatnost ne predstavlja kako treba. Taj se izraz osniva na poznatoj jednostavnijoj formi tzv. multiplikacionog pravila računa vjerojatnosti, t. j . na^îormî koja važi za slučaj međusobne nezavisnosti pojedinih „osnovnih (jednostavnih) događaja". Za vjerojatnost pojedinačne sume od r pogrešaka postavlja dakle teorija jednostavni izraz: pOi -K«S + -+ Lr) =^(«i)M«ä) P(Lr) — ... N ´ ´ N. ´. W gdje Li,L2.- L,. svako za sebe i bez obzira na ostale članove sume može da zauzme kojugod vrijednost između —g i -\~g. Tu dakle ima toliko neza^ visnih varijabila, koliko u sumi ima članova, i svakoj od njih pripada jednako područje varijabilnosti. No ova supozicija dovodi do protivnosti sa spomenutim opće priznatim značajkama slučajnih pogrešaka i sa jednadžbama 1—7, koje s njima stoje u direktnoj vezi. Zamislimo si npr., da broj opažanja izvedenih na izvjesnoj veličini, pa dakle i broj (r) pri tom dobivenih pogrešaka, dosiže spomenuti ekstremni broj N Prema spomenutoj supozieiji moglo bi sad da se desi, da svih tih .. pogrešaka padne baš u jedan te isti, pa čak i u koji od oba skrajnja intervala, što se međutim sa spomenutim značajkama i sa jednadžbama 1—7 ne da nikako dovesti u sklad. Onih N pogrešaka, kao specijalne vrijednosti jedne te iste varijabile L (zastupane u pravilu svaka u više, pa i mnogo egzemplara), imale bi naime da se zakonomjerno razdijele na sve intervale između —g i -\~g, a nipošto da padnu u jedan jedini od njih, pa čak možda i u skrajnji. Izraz pod 8., koji se osniva na supozieiji izvjesnog broja paralelnih i nezavisnih (beskonačnih) nizova pogrešaka, pa prema tome i na tzv. varijacijama sa opetovanjem, nije dakle principijelno ispravan. Ako pri postavljanju izraza za vjerojatnost sume pogrešaka imaju da se primijene principi kombinatorike, onda je u načelu svakako ispravnije staviti se pri tom na bazu tzv. kombinacija bez opetovanja, t. j . prihvatiti za vjerojatnost rečene sume prikladan izraz, koji važi za zajedničku vjerojatnost događaja međusobno zavisnih. Jer ako od svih N uopće mogućih pogrešaka može u svaki od oba skrajnja intervala da padne samo po jedna, pa ako pogreška prvog opažanja padne slučajno baš u koji od ta dva intervala, to je onda očito, da pogreška drugog opažanja može da padne samo u drugi koji, a ne više u taj interval. Ako je nadalje izvedeno više (r) opažanja, pa sve dotične pogreške padnu slučajno u interval, u koji prema jednadžbi 2. može da padne svega samo r pogrešaka, onda pogreški slijedećeg opažanja nema nikako više mjesta u tome intervalu. Opetovana opažanja dadene veličine moraju se, istina, izvoditi nezavisno jedno od drugoga, ali to ne znači, da njihove pogreške moraju radi toga da budu u svakom pogledu nezavisne jedna od druge. Nezavisnost među njima imala bi da se shvati tek u toliko, da one ne stoje jedna prema drugoj u odnosu funkcionalnosti, već da svaka od njih može da zaposjedne kojugod poziciju unutar dadenog područja, osim naravski one, koja je već potpuno zaposjednuta. Dakle sa svakim novim opažanjem izvjesne veličine varijabilnost pogreške ´mora da bude sve ograničenija, jer se sa svakim novim opažanjem broj u pojedinim intervalima još mogućih primjeraka pogreške (od svih uopće mogućih) sve više iscrpljuje. Prema tome, ako smo izveli npr. dva opažanja i time napravili pogreške Lt i L2, onda za njihovu sumu, s obzirom na nemogućnost ponovljenja jednog te istog primjerka pogreške unutar izvjesnog intervala. 709 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 24 <-- 24 --> PDF |
može da se zamisli ne N2 uopće mogućih iznosa, kako bi to izlazilo iz jednadžbe 8., već samo ( 2 ) = ~ ..* kombinovanju raznih uopće mogućih iznosa za et i e2 pripada dakle kombinacijama bez opetovanja svakako prednost pred varijacijama sa opetovanjem. Napravimo li unutar izvjesnog niza od .. uopće mogućih pogrešaka (uniona) sve moguće ambe (ae = st -f-e2) bez opetovanja, njih kako rekoh svega I o , pa svrstamo li ih prema intervalima, u koje padaju njihovi sumarni iznosi, onda će njihovi brojevi u pojedinim intervalima sačinjavati, s obzirom na jednadžbu ., u glavnom sličan niz kao što je onaj. što ga predočuje pril. slika, ako se u njoj ordinate p(e) zamijene sa Z{E). Ambo sa iznosom Os = 0 bit će dakle vjerojatniji od kogagod drugog amba. Napravimo li dalje od svih N uniona sve moguće terne (o> = Lj -j -e2 -j - %) bez opetovanja, njih I „ j na broju, onda će i njihovi brojevi u pojedinim intervalima sačinjavati u glavnom sličan niz, pa će dakle i terno sa iznosom as = 0 biti vjerojatniji od kogagod drugog tema. Sličan odnos važio bi i za vjerojatnost kvaterna (dot. kvinterna itd.) sa iznosom .. = 0 prema vjerojatnosti kogagod drugog kvaterna (kvinterna itd.). Sa rastenjem broja članova u sumi mora naravski da raste i broj svih mogućih kombinacija, t. j . /..\ N(N-V) {N— r+1) (?) = 1-2-3 r i to sve dotle, dok se broj sumanda ne popne na iznos r = ~ô~ . Nakon toga broj svih mogućih kombinacija mora da pada, dok na kraju ne padne na iznos (..) = 1. U ovom slučaju moguća je dakle u sumi tek jedna jedina kombinacija pogrešaka i to ona, što je predstavlja jednadžba 7. Iznos te sume mora prema tome da bude jednak nuli, a vjerojatnost toga iznosa jednaka jedinici, jer jedna jedina uopće moguća kombinacija pogrešaka govori baš u prilog toga iznosa (0). Linearnom iznosu sume pogrešaka, o kome je dosad bilo govora, teorija izjednačivanja, kao što je poznato, ne pripisuje osobitu važnost. Veću pažnju poklanja ona kvadrat u te sume i to naročito srednjem kvadratu. Kako stoji stvar s njime? Uzmimo najprije kvadrat dvočlane sume, t. j . al = (e, + e,)´ Pogreška prvog opažanja (s) može kako rekoh da zauzme kojugod vrijednost između —g i -\-g, dok se to za pogrešku drugog opašanja (fg) može da rekne tek uslovno, t. j . ako u svaki od oba skrajnja intervala može da stane više od jedne pogreške. Od svih N uniona, što ih predstavlja jednadžba 2., može dakle da se obrazuje samo I « I amba dot. njihovih kvadrata. Za obrazovanje aritmetičke sredine svih tih kvadrata ima prema tome (u smislu jednadžbe 6) da se kvadrat svakog pojedinog numerički i predznakovno različitog amba pomnoži sa njegovom vjerojatnošću i da se svi ti produkti zbroje. Sad se pita, kolik e su vjerojatnosti pojedinih tih uopće mogućih, a numerički i predznakovnomeđusobno različitih amba? 710 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 25 <-- 25 --> PDF |
Vjerojatnost (zapravo sigurnost) spomenutog fakta, da pogreška prvog opažanja može i mora da padne u kojigod interval između —g i -f-g, označuje se sumom svih mogućih pojedinačnih vjerojatnosti predočenih šematički na^lici, t. j . izrazom /> = JO(-e,,_1)+--+K-*o,)+M+M+-- + M+^-i) = l (9-) Kad bi pogreške opažanja bile sasvim nezavisne varijabile, onda bi to isto važilo i za pogrešku drugog opažanja, pa bi složena vjerojatnost toga duplog îakta bila predočena izrazom : P2 = (p (- e._0 + + p (-e0) + p (+ L,) + + p (+ e^))2 (10.) Razvije li se kvadrat ovog polinoma, izlazi za nj izraz : P2 = (p (-L„_0)2 + + (p (+ ^.-,))2 + 2 (p (-en_0 p (-L„_2) + . .+ p(+en_i)p (+«„_,)) (11.) u kome pojedini kvadrati (njih 2 n na broju) naznačuju vjerojatnost, da su obje pogreške pale. u jedan te isti (inače kojigod) interval, dok pojedini produkti (njih —g — na broju) označuju vjerojatnost padanja jedne pogreške u kojigod jedan, a dru^e u kojigod drugi interval. S obzirom na jednadžbu 1. poprima posljednja jednadžba oblik: P» = -L. ((« (- e„.. 0)3 + + (* (+- e,-,))" + -f 2 (* (-L„,-!) *(—«*_*) H h *(+««-*) *(+*»-i))) (11.*) Radi daljnjih izvoda uvedimo jednostavniju simboliku i označimo razne (uopće moguće) specijalne vrijednosti varijabile e, bez obzira na indekse i predznake, jednostavnim oznakama a, ß, y, - , kojih svega (unatoč ograničenosti alîabeta) može da se zamisli beskonačan broj (2. prema prilož. slici). Brojeve pogrešaka u pojedinim intervalima označimo kratko sa zm Za,- Jednadžba ll a glasila bi sada: ´..´+*,«,,+*,*,+..)) (11.°) No kako pogreške opažanja nisu sasvim nezavisne varijabile, to ova jednadžba treba da se transf. >rmira, kako bi mogla ispravnije da obuhvati sve pojedinačne vjerojatnosti uopće mogućih amba. Iz navedenih već razloga ima fiW 1) na mjesto N2 da se stavi izraz —-—= — , dok analogno namjesto pojedinih «5 .* , (i = a, ß, ), imaju da dođu izrazi — ; jer kao što se u cijelom . sistemu od N uopće mogućih pogrešaka može da obrazuje tek ( ^ I amba, tako isto i u svakom pojedinom intervalu može da ih se obrazuje tek lj\ . Kako s druge strane ukupni broj amba, kojima jedan član pada u izvjestan interval iy a drugi u izvjestan interval fc, može da iznosi samo z( zh , a ne više 2 z-t zk , 711 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 26 <-- 26 --> PDF |
to posljednja jednadžba nakon prilagođenja ovim okolnostima ne može više da predstavlja kvadrat (P2), već izvjestan izraz (Q) od kvadrata različit po kon strukciji, ali mu jednak u pogledu iznosa (jer i Q mora da bude = 1). Jednadžba, koja treba da obuhvati sve pojedinačne vjerojatnosti uopće mogućih amba, glasila bi dakle sada: Q = ~N(N— i) .(.«~"x) ^´Mzß~}). +;. -, . + 2 (..zß + zazy-\ \- zßz7 + zßz6 -t- )) (12.) Prema njoj je vjerojatnost padanja jedne pogreške u jedan, a druge u drugi interval načelno veća nego prema je Inadžbi ll b , dok je vjerojatnost padanja obaju uniona u jedan te isti interval manja nego prema jednadžbi llb, jer je Zj — 1 ^ Et N _ i > N Da je Q = 1, p tom je lako osvjedočiti se, jer jednadžba 12 nakon sasvim jednostavne operacije (s obzirom na jednadžbu 2) poprima konačan oblik : N2 — N. . V -..2 _ # Na osnovi pojedinačnih vjerojatnosti, koje bi prema izrazu pod 12 imale da pripadnu raznim uopće mogućim ambima, izašla bi aritmetička sredina Mla2\ svih ambskih kvadrata na način već spomenut. U tu svrhu, a radi povećanja preglednosti, uzmimo da u sistemu predočenom na slici ima svega samo 6 koje numerički koje predznakovno različitih uniona predstavljenih iznosima a, /?, ., (5,e. L, od kojih prva tri imaju da budu negativni, a druga tri pozitivni. Skrajnji unioni (« i ´Q mogu da budu zastupani (svaki) ili samo u jednom ili i u nekoliko primjeraka, dok ostali svakako u više (sve ovo naravski s obzirom na jednadžbu 5). Počevši od skrajnjih pa prema srednjima imaju, u smislu slike, dva po dva potivno predznačena uniona da budu međusobno jednaka, t. j . a = L, ß = L, y = .. Od svih tih uniona mogu da se naprave slijedeći, bez veznika (-)-) pisani ambi : a a, ß/3, y y, .., es, Ç´Ç; aß, a y. aô, a E, a´Ç; ßy, ßö. ßc, ßt; ... ye, yÇ; .:E, a t, ; e L. , v Pomnože li se njihovi kvadrati sa pripadnim vjerojatnostima, izlazi za aritmetičku sredinu svih tih kvadrata iznos: M{al) -~zz^ {(2 afza (za - 1) + (2 ßfzß {zß - 1) + (2 yfzy (zy -1) + „, , , . + (2 .)2 ia {zô - 1) + (2 E)2 zt (za i- 1) + (2´Ç? zg {zL - 1) + + (« + /*) -2*e*,+ («-f y? .8..^+(. + *)" -2..*,+ + (. + L). -2.„.L+ (« + L)* .2^^+^+.)2 -2-*^ + + {ß + o? -2zßz5+(ß + Ef 2zßzL-i-(ß + 02 -Z*ß*i.+ + {y + ôf .2z7zd+{y + Ef .2zyze^{y. + tf -2^^ + 4- (<5 + *)2. 2 ^z« + («5 + t)2 2«* «? + (« + .2 2 *L % j -- (13.) ?X3 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 27 <-- 27 --> PDF |
Kvadriranjem i primjerenim stezanjem kao i jednostavnim transformacijama s obzirom na jednadžbu 2, pa konačno i antikvadriranjem izlazi otud: . ((.. .) ~ N(N.-1).~ 2) {a* !« + ß*zß+- +?*L) + + (aza+ßgß + --+Cgrf) (H.) gdje se druga, pod zajedničkim kvadratom navedena, suma potpuno poklapa sa izrazom pod 7 i radi toga, kao jednaka nuli, ispada iz jednadžbe. S obzirom na jednadžbu 3 dobiva prednja jednadžba konačan oblik: gdje izraz u zagradi naznačuje aritmetičku sredinu svih .. na kvadrat dignutih uniona, t. j . srednji kvadrat (.2. svih N uopće mogućih pogrešaka. Prema tome jednadžba 15 poprima oblik: koji veli, da srednji od svih mogućih ambskih kvadrata izlazi kao funkcija srednjega od svih mogućih unionskih kvadrata. Na sličan način izlazi za srednji iznos svih ternskih đot. kvaternskih itd. kvadrata izraz: MK)-4~f3>* đotično .(°^)=^.4^ itd. Uopće ako broj osnovnih pogrešaka u sumi iznosi svega r, onda bi za srednji kvadrat sume izlazio na ovaj način izraz: Pri opetovanim izmjerama gotovo svih vrsti veličina broj N izlazi kao besko- N r načno velik. Stoga se pri konačnim iznosima za r razlomak—.= =— praktički posve podudara sa 1, te ispada iz računa. No ima slučajeva gdje (kaö npr. pri kubisanju sastojina s pomoću primjernih stabala ili s pomoću primjernih ploha) broj N izlazi kao konačan, kadšto čak i dosta malen, a da se zato ipak i u tim slučajevima s jednakim pravom mogu i smiju da primijene, pa se faktično i primjenjuju pravila teorije najmanjih kvadrata. U tim slučajevima može već da se zamijeti i iskoristi razlika između rečenog razlomka i jedinice Stavi li se u zadnjoj formuli r — 1, onda izlazi: .(.2. = [il)za,r—N izlazi: .(..=:0. U prvom slučaju pretvara se dakle srednji kvadrat sume u srednji kvadrat pojedinačne pogreške (zamišljene naravski u svih .. uopće mogućih primjeraka), dok u drugom slučaju, t. j . ako je suma sastavljena od svih N uniona, pogreška njezinog — u jednom jedinom primjerku mogućeg —´ kvadrata potpuno iščezava zajedno s njom samom. Za r = 0 izlazi također: M(ol)=0. 0 : .-..:... . . N . Maksimalan iznos za srednji kvadrat sume dobiva se, kad je r = -zr-...., 713 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 28 <-- 28 --> PDF |
Uz supoziciju N=20 i /*E = 1 rastenje i padanje izraza pod 17, uporedo sa postepenim rastenjem iznosa za ., bilo bi predočeno paraboličkom krivuljom, koja bi se osnivala na priloženom brojčanom pregledu. r : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M(al) 1.000 1-895 2684 3368 3 947 4 421 4-789 5-053 5-211 5-263 r : 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5-211 5 053 4 789 4-421 3947 3-368 2684 1-895 1-000 0000 2 Pri iznosima r = — i N = oo bilo bi dakako i M( .2. = oc , tako da bi padanje nastupilo tek u drugoj polovici beskonačnosti, što je naravski bez praktične važnosti. U jednadžbi 17. predstavlja izraz fie teoretsku srednju pogrešku pojedinog mjerenja, t. j . osnovanu na svih N uopće mogućih uniona. Ovaj slučaj ne može naravski da u praksi dođe u obzir, jer broj opažanja može da bude tek prilično ograničen, pa se stoga praksa za izračunavanje iznosa fi s služi s tim ograničenim brojem pogrešaka. Ako ih je svega r, onda se srednji kvadrat pogreške računa po poznatoj formuli _ Lt + \-Ll „ _ [L e]l !<] c2 H(18.) pri čem se naravski, radi ograničenog broja opažanja, dobiva za fiL izvjestan pogrešni iznos. Uvrsti li se posljednji izraz (t. j . e m p i r i č k i srednji kvadrat) u jednadžbu 17. to iz nje izlazi: M at N—r LL (19.) iV— 1 t. j . izraz koji za srednji kvadrat sum e pogrešaka daje također izvjestan pogrešni iznos, jednako kao što ga izraz pod 18 daje za srednji kvadrat pojedinc e uzete pogreške. Sad zašto se uopće ide u teoriji za tim, da se barem približno ustanovi iznos za srednji kvadrat sume pogrešaka? Jedan od razloga tome nastojanju leži u činjenici, da za tzv. prav u pogrešk u aritmetičke sredine važi poznati izraz: (20.) ´s r i što aritmetička sredina svih mogućih iznosa za oe vodi k iznosu dok naprotiv za aritmetičku sredinu svih mogućih aE izlazi izraz pod 17, koji (izuzevši slučaj r = N) ne dovodi do nule. Kvadrira li se jednadžba 20 i uvrsti li se po tom u nju za oe namjesto pravog .´ srednji iznos prema jednadžbi 17. dot. 19., onda iz nje izlazi : 714 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 29 <-- 29 --> PDF |
"N—r ti t. .. teoretička sredina od svih za |. uopće mogućih iznosa dotično t. j . empirijsk a (praktički moguća) sredina svih pomenutih iznosa, skopčana prema tome sa izvjesnom pogrešnošću. Kako u teoriji izjednačivanja za srednju kvadratnu pogrešku aritmetičke sredine važi poznati izraz: ti.2 [LL]; = ml (23.) to bi u vezi sa posljednjom oznakom izlazio za M( Le ) izraz : .´/"´ M(g) = J=^ml (24.) V V Srednja pogreška aritmetičke sredine ( + ./.( §f ) ] pada dakle uporedo sa rastenjem broja opažanja ne samo posredstvom faktora me , već i posredstvom JV—r -.= .-. Pri beskonačnom iznosu za N i konačnom iznosu za . posredstvo ovoga drugog îaktora ne može naravski da dođe u obzir. II. Pod točkom I. radilo se samo o opetovanom mjerenju jedne te iste veličine. No kojagod veličina dade se naravski izmjeriti i tako, da se zasebno i nezavisno jedan od drugoga izmjeri svaki od i njezinih dijelova, pa da se iznosi dobiveni za sve te dijelove zbroje. Nema dvojbe, da među pogreškom ov e sume i pogreškom sume pod I. postoji potpuna analogija. Zamislimo si npr., da je veličina, koja se mjeri, razdijeljena u beskonačno mnogo jednakih dijelova, upravo toliko (N), koliko ih je potrebno, da brojevi pogrešaka dobivenih jednokratno m izmjerom svakog pojedinog dijela sačinjavaju pravilnu i simetričnu krivulju. Sve te pogreške, stavljene u sumu, moraju s obzirom na jednadžbu . da zadovolje jednadžbu 7, t. j . da zajednički dadu iznos 0. Sasvim je svejedno, što svaka od tih pogrešaka potječe od drugog dijela mjerene veličine, jer sve one (potječući od izmjere jednako velikih dijelova) mogu da se protegnu na jedan te isti (kojigod) dio, čime je udovoljeno i čisto formalnoj strani pitanja. Pa i pitanje nezavisnosti pogrešaka ovdje je jednako kao pod toč. I. Jedina je razlika između prijašnjeg i sadanjeg slučaja (sadanjeg pri jednokratnoj izmjeri pojedinih dijelova) ta, da jednokratna izmjera ne daje nikakove mogućnosti za približno određenje srednje pogreške aritmetičke sredine. Toga radi prijeđimo na opetovan a opažanja veličine iz svih pojedinih dijelova. Imamo dakle posla sa veličinom sastavljenom od i dijelova. Svaki dio ima da se izmjeri r puta i na osnovi pogrešaka et, pogreška pojedinog mjerenja po formuli 18. No ova formula, kao empirijska, daje pogrešan iznos, pri čem se u svakom pojedinom dijelu mjerene veličine može za fe L][ da dobije svega R = I | raznih iznosa, međusobno dijelom jednakih dijelom nejednakih. Dosljedno tome izlazi iz formule 18 za svaki pojedini dio u glavnom drugačiji rezultat. Ove srednje pogreške (p^fta,- ..) 715 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 30 <-- 30 --> PDF |
čine sastavni dio sličnoga teoretskog sistema pogrešaka, kao što je onaj. što ga predočuje slika (ako se u njoj ordinate .pfs) zamijene sa z{e)), tek je skrajnje mogući njihov broj drugačiji od spomenutog broja N, jer on, kako rekoh,.. iznosi: S obzirom na to za sumu ´ ´´ .-J . °> = . + IH + + . (25-) a isto tako i za njezin kvadrat može da se obrazuje svega I . I kombinacija bez opetovanja. Za srednji od svih tih uopće mogućih kvadrata važio bi prema tome izraz sličan onome pod 17, t. j . .(^)=4^.{^ (26-} koji uporedo sa rastenjem broja i pokazuje i sličnu varijabilnost (rastenje i padanje) kao izraz pod 17. Izrazu .2. pripada značenje analogno onome, koje pripada izrazu fiL pod 17, t. j . on bi imao da bude aritmetička sredina od svih R za .2 uopće mogućih iznosa. No iz razloga sličn >g onome, radi koga se za /.. upotrebljuje izraz pod 18, mora da se i za .. upotrijebi analogan izraz, t. j. i ^.+.+-±* .. (27:) l po uvrštenju koga u izraz pod 26 izlazi za srednju pogrešku pojedinog mjerenja cijel e veličine izraz analogan onome pod 19, t. j . Ovaj bi za slučaj i = R imao da spadne na nulu, dok za slučaj r — 1, gdje bi ujedno bilo R = iV, izlazi odovud izraz : ..=4.. K+^+--+ LÖ (29-) koji potvrđuje moju izjavu, da bi u slučaju i = N cijela veličina bila izmjerena sasvim bespogrešno, ma da je svaki njezin dio izmjeren samo jedamput. Kao što smo vidjeli, da za izraz [s L][ izlazi u svakom pojedinom dijelu mjerene veličine u pravilu drugačiji iznos, tako isto (i iz istih razloga) mora također za izraz ffL = [e]i, pa naravski i za izraz .^ , iz jednadžbe 20 da u svakom pojedinom dijelu mjerene veličine iziđe u pravilu drugačiji iznos. Po redu pojedinih dijelova ti će iznosi biti dakle Li, L2,- -|., a njihova suma ^=sL!+ &++L (30.) daje pravu pogrešku aritmetičke sredine za cijel u veličinu izmjerenu putem r-kratne izmjere njenih dijelova. Naravski da i pojedini članovi ove posljednje sume moraju da čine sastavni dio beskonačnog sistema pogrešaka sličnog onome, što ga predočuje priložena slika, ako se u njoj oznake p(e) zamijene oznakama z(e) . I u tom sistemu skrajnje mogući ukupni broj primjeraka iznosi R = i I. Stoga i za sumu pod 30, jednako kao i za njezin kvadrat, može da se obrazuje svega I . I kombinacija, bez opetovanja, pa bi prema tome za srednji od svih uopće mogućih kvadrata jednadžbe 30 važio izraz: 716 |
| ŠUMARSKI LIST 12/1933 str. 31 <-- 31 --> PDF |
gdje izrazu fit pripada značenje analogno onima, koja pripadaju izrazima fiE pod 17 i fi pod 26. Kako pak iz razloga već spomenutog može da se i za fit upotrijebi tek izraz: „s fi ~j~ ^2 i r 5. ; .„„ i . i—— $. to bi jednadžba 31 imala analogno da prijeđe u jednadžbu: , M(al). a ova uz uslov r =~ 1Î gdje je ujedno R = N, u navedenu već jednadžbu 29. Ako se pojedini sumandi iz zadnje jednadžbe (33.) zamijene sa srednjim iznosima, što ih predstavlja jednadžba 24, onda iz nje izlazi : a odovud uz uslov r == 1 , s kojim je ujedno skopčan uslov R = .., izlazi opet jednadžba 29 kao i zaključak, koji slijedi iz te jednadžbe. Inače naravski, radi odnosa . .= oo i B = oo , znače îormule pod točkom II. oprovrgnuće1 mojih izvoda i zaključaka postavljenih u uvodno spomenutom članku. Jer kakogod iz prednjih razmatranja izlazi kao nepobitno, da bi kvadrat potpun e sume (sastavljene od svih uopće mogućih uniuna) morao sasvim da padne na nulu, to ovaj fakat prema prednjim izvodima ne dolazi kao posljedica nepre stano g padanja srednjeg kvadrata uporedo sa rastenjem broja sumanda, već kao posljedica prvobitnog rastenja (sve do momenta karakteri^anog jednadžbom r=-~-- dot. . = -^-. i tek potom padanja. Preostaje mi još da primijetim nešto u pogledu svoga navoda na str. 379: Š. L. od 1930. godine, alineja 2. Ta alineja mogla bi se shvatiti, ka© da sam htio ustvrditi, da sam pročitao sva postojeća djela o teoriji najmanjih kvadrata.´ Nije mi to bilo ni na kraj pameti, pogotovo jer bi me u tom demantirao veći sam pregled literature, koju sam na str. 282. S. L. od iste godine naveo kao poznatu mi, a jer na kraju krajeva nije ni potrebno, da najprije pročitam sva postojeća djela ove vrsti, pa da onda tek izreknem drugi dio dotične rečenice. Kad čovjek iz poznatih mu djela (ako njihov broj nije odveć malen) razabere, da svi dotični autori, čim u svojim razlaganjima dođu i do pojma, „srednja pogreška aritmetičke sredine", počnu odmah (u težnji za uklanjanjem konfuzija) da za „srednju pogrešku pojedinog mjerenja" upotrebljuju ovaj specijalni naziv, ili doslovno ili sasvim slično, pa kad ujedno lazabere, da je iz rečenog lazloga preciziran je tih dvaju paralelno donošenih pojmova zaista ipotrebno, onda već lako može da dođe do zaključka, da tako (ili barem sasvim., slično) čine i ostali autori. Résumé. L´ auteur traite la question susmentionnée (et tout le cycle des questions lie´es étroitement avec elle) d´ un point de vue différent de celui qui est usuel a cet égard dans lalittérature sur la théorie des moindres carrés. Il en arrive aux conclusions théoriquement différentes, pratiquement au contraire semblables a celles qui en sont déja connues. En meme temps, il. rectifie, d´ apres les résultats de cet article, les conclusions qu´ il a faites a ce sujet dans son article p. 265 du volume 1930 de cette Revue. 717 |