DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 37     <-- 37 -->        PDF

samo radi toga, što raste brojnik, već i radi toga što pada nazivnik.


Ali mi, kao što je poznato, izražujemo obično i broj primjerni
h stabal a u procentima — i to u procentima ukupnog broja stabala
(N). Taj izraz izlazi, kao što je poznato, iz proporcije


n:N = ps: 100 (68)
pa prema tome glasi:


N


n (69)


= JÖÖ"Ps


Uvrstimo li ovaj izraz u formulu (67), pa ako zatim i brojnik i nazivnik
podijelimo sa N i pomnožimo sa 100, dobit ćemo:


<70)


*<° ´ 100-ft


U ovoj formuli vrši, kao što vidimo, procena t primjernih stabala
ulogu sličnu onoj, što je u formuli (67) vrši apsolutn i broj primjernih
stabala. Mi ćemo sada iz ove formule izračunati diferencij s
k e procente, koji odgovaraju običajnim primjerno-stabaonim
procentima (..,)- Kao što znamo, procenat primjernih stabala giblje se
obično u granicama od lc/c-—5%. S druge opet strane ukupn i broj
stabala u sastojini giblje se u najviše slučajeva između 1.000 i 10.000. Sastojine
sa ukupnim brojem stabala manji m od 1000 viđaju se naime
samo tu i tamo koja, dok se naprotiv u sastojinama sa ukupnim brojem
stabala znatn o veći m od 10.000 već postavljaju primjerne plohe,


t. j . zbiljno kubisanje reducira se u njima na površine sa brojem stabala
manjim od 10.000.
N=* 1.000 N== 10.000


Ps Pô Ps Pô


1 091 1 1-00
2 1-94 2 2-03
3 2´99 3 3-08
4 4-06 4 4-16
5 516 5 5-25
10 11-— 10 11-10


Diferencijsk i procenti, koji bi uz ove dvije granične supozicije
(t. j . N = 1.000 i N == 10.000) odgovarali nekim primjernostabaoni
m procentima, sadržani su u priloženoj tablici. Iz nje vidimo,
da se svaki od prvih pet pä - iznosa može po principima brojčanog
zaokruživanja slobodno da zaokruži na pripadni p,- iznos. Prema tome
unutar spomenutih (najčešćih) N- granica može približno da se rekne, da
je procenat diferencije između rezultata po formulama (62) i (63) jedna k


591




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 36     <-- 36 -->        PDF

Ali pri kubisanju sastojine s pomoću konkretnih primjernih stabala broj
uopće mogućih opservacija ograničen je ukupnim brojem stabala u sastojim,
a ovaj opet može da se giblje samo u granicama posve konačnim.
Za slučajeve ovakovih opservacija može dakle da važi kao ispravna samo
formula (62).* *


..


Sad nastaje pitanje, za kolik o je u ovakovim slučajevima formula
(62) ispravni ja od Gaussov e formule? Ili drugim riječima, kolika
je diferencij a između rezultata tih dviju formula?


Već na prvi pogled vidi se, da se rezultati tih formula pri konstantnom
N (t. j . u jednoj te istoj sastojim) razlikuju to jače, što je veći broj
primjernih stabala («). Pri n = 1 formula (62) potpuno se poklapa sa formulom
Gaussovom. No u tom slučaju ne može uopće ni da se govori


o kakvoj bilo pogreški aritmetičke sredine, jer aritmetičke
sredine u ovakovom slučaju uopće ni nema. Mora dakle n da bude
veće od 1 i u tom slučaju diferencija između obiju formula raste zajedno
sa tim brojem. Nas međutim ne interesuje ovdje baš apsolutn i iznos
ove diferencije, t. j .
__ .. N — n .*n
N — 1 n


= i^r{l-i)

Više može da nas ovdje interesuje relativni ili procentualn
i iznos te diferencije, koji izlazi iz proporcije


N-n .Jg. (65)


100


N — 1 n ô


te glasi:


p. = 100 d . W~ . (66)
Ako se izraz pod (64) uvrsti ovamo, dobit ćemo kraćenjem izraz:
100 (w - i) ,fi7.


Procentualn i iznos diferencije raste dakle zajedno sa brojem
primjernih stabala jač e nego apsolutn i iznos. On naime raste ne


* Naknadna pripomena. Po Langsaeteru imao bi u formuli (62) na mjesto
N — », .. — » . . . ,
izraza —r: da stoji izraz .^ Neispravnost ovoga izraza izlazi vec sama
po sebi. Langsaeter uopće nije ni postavio ovaj izraz na osnovi izvođenja.
On ga je, kao što to i sam ističe, jednostavno preuzeo iz spomenute Czuberov c
knjige, gdje je taj izraz tkao sastavni dio jedne formule sasvim različite od moje
formule (62) i koja se ujedno tiče jednog problema sasvim različitog od problema


skopčanog sa spomenutom mojom formulom] napisan slovima No i ovaj


a
Czubcro v izraz, kao što to jasno izlazi iz spomenute Czuberov c knjige, predstavlja
samo približnost, a ne punu točnost.


590




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 39     <-- 39 -->        PDF

M2


a(el« + ek«4-ek«H-e4«) +


N(N— 1)


L lr.


+ (L1 + L2 + L3 + L4 74)
Linearna suma u drugoj okrugloj zagradi jednaka je nuli, jer je to
suma svih N odstupanja od totalne aritmetičke sredine. Ovdje naime
s obzirom na jednadžbe (10), (24) i (28) izlazi:


.. = 4 (76)


S druge strane [s obzirom na_ovaj konkretizovani N- iznos, a u vezi sa
izrazima (24) i (28) kao i s obzirom na formulu (40)] izlazi kvadratna suma
u prvoj zagradi kao jednaka iznosu iV"2. Dakle imamo:


(76)
S obzirom na spomenuti konkretizovani N- iznos izlazi odovud
napokon:


ML»4=Š"«*´ (41)


N— 1


Što se tiče jednadžbe (72), ona prelazi u jednadžbu:


M26 (Ll2 _|_ La2 _|_ Ltt + Li2} _|_


=


N(N— 1)(. — 2)


+ 2 |XV + .2* + e,i -f f4ž) + 2 (.^ + .. + Lle4 +


-j-f2Ls -)- L2L4 ~f~ L3ei) (77)


Postavljanjem kvadrata u uglatoj zagradi na osnovnu formu dobiva
se dalje izraz


(Cl. _|_ f22 + L.2 + f42) +


ML --m


(78)
gdje je linearna suma u drugoj zagradi jednaka nuli (iz spomenutog već
razloga). Na sličan način kao i malo prije preostaje dakle:


.1 = -».,». ^...—ÖT´V


JV(JV— 1)(..— 2)
2-1


3jtt2 (79)
(..-1)(#-2)
S obzirom na spomenuti konkretizovani JV- iznos izlazi odovud
izraz:


(..—2)(..—3) a .


.2 3/.2 (80)


(N-l)(N-~2)


593




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 40     <-- 40 -->        PDF

a odovud napokon poznati već izraz:


(.8>


.1=4^.´3^


Tako dakle formula (62) rezultira i na ovaj mnogo kraći, a ipak
posve precizni način.


2.
Još nešto moram ovdje da napomenem. Sva dosadanja razmatranja,
pa i u pogledu spomenute G a u s s o v e formule (63), osnivaju se na supoziciji,
da se primjerna stabla biraju sasvim na slijepo, t. j. bez
i k a k o v a obzira na dimenzije sastojinskog srednjeg
stabla . Kao posljedica toga izlazi za srednju kvadratnu pogrešku pojedine
opservacije formula (40), koja se (kao što vidjesmo) odnosi na
sve u sastojini uopće moguće epsilonske iznose, pa dakle i na
iznose sasvim ekstremne. U najdetaljnijem obliku glasi ta formula:


L|8 + V+.... + 4


´ — JV


Međutim, kao što je poznate, primjerna stabla, koja imaju da budu št o
bolj i reprezentanti sastojine, izabiru se na osnovi dimenzija određenih
unaprijed za sastojinsko srednje stablo. Tu dakle n e m o ž e da se desi
dosad izričito dopuštena mogućnost, da za primjerno stablo
bude izabrano i stablo sa najvećom kao i stablo sa najmanjom
u sastojini zastupanom drvnom masom. Moglo bi ovo da se desi samo
u slučaju, kad bi sv a stabla sastojine bila upotrijebljena kao primjerna
stabla, što je međutim praktički isključeno.


Kad se dakle za primjerna stabla izabiru samo približn o
srednja stabla, onda se i učinjene opservacione pogreški


e


giblju faktično u dalek o uži m granicama, nego što su granice, o ko
jima smo dosad vodili računa.


Neka se sad kvadratna suma tih faktično učinjenih opservacionih
pogrešaka podijeli sa ukupnim njihovim brojem (n). U tom
slučaju iznos, koji otud izlazi, t. j .


L12 L.2-^


//»= + ^en
(82)


p


n


mora da bude dalek o manj i od iznosa, koji bi odgovarao formuli


(81)
dotično (40).
Ova činjenica može u neku ruku da se demonstrira analitički m
putem.
H e 1 m e r t u svome djelu »Die Ausgleichungsrechnung nach der
Methode der kleinsten Quadrate« (str. 13, 22, 31) navodi pored spomenute
Gaussov e vjerojatnosne funkcije još funkciju


*®=.*-4.)
(8B)


koja prema Gaussovo j funkciji ima jednu sasvim izrazitu razliku.
Prema Gaussovo j funkciji može naime pogreška mjerenja (kao što


594




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 35     <-- 35 -->        PDF

Njezina pak analogija sa formulama (41) i (58) dozvoljava zaključak,
da o p ć e n i t o za srednji od svih u sastojini uopće mogućih p o 1
i n o m s k i h kvadrata važi formula:


(60)
wi=4^f-^2


gdje n označuje bro j članov a u epsilonskom polinomu.


Analogno može seiGaussova formula (46) proširiti na općenit
i oblik za slučaj, da imamo posla sa epsilonskom sumom od n članova.
Kao što je poznato, ona u tom slučaju glasi:


.. = »> (61)


Ako sad formulu (60) uvrstimo u formulu (19), onda za srednj u
kvadratnu pogrešku parcijalne aritmetičke sredin
e izlazi formula:


.. — n n .2


(iU> =


(62)
N


S pomoću formule (61) izlazi na isti način za srednju kvadratnu pogrešku
aritmetičke sredine poznata Qaussov a formula:


(ft)---? (63)


gdje . ima sasvim isto značenje kao i u formuli (62). Inače se, kao što vidimo,
üaussov a formula bitno razlikuje od formule (62). A nije to ni
čudo, kad znamo, da se ona osniva na vjerojatnosnim izrazima bitn o
različiti m od vjerojatnosnih izraza, na kojima se osniva formula (62).
Ona naime (neispravno za nas ovdje) predmnijeva, da je rezultat druge,
treće, n-te opservacije nezavisa n od toga, s kakvim su rezultatima
urodile prediduće opservacije. Formula (62) naprotiv predmnijeva,
da je rezultat svake slijedeće opservacije zavisa n od toga,
kakovi su bili rezultati predidućih opservacija. A to je i ispravno kod
sastojinsko-kubikacionih opservacija, koje se osnivaju na izboru konkretnih
primjernih stabala, jer tu sa svako m novo m opservacijom
broj još raspoloživih primjernih stabala neprestano pada.


Prema Gaussovo j formuli (63) trebali bismo da za izvjesnu sastojinu
izvršimo beskonačn o mnogo kubikacionih opservacija, pa
da srednja pogreška njihove aritmetičke sredine uzmogne praktički da
padne na nulu. Drugim riječima, trebali bismo u tu svrhu da upotrijebimo
beskonačno mnogo primjernih stabala. To bi pak bio nonsens, kad znamo,
da n i ukupn i broj stabala (.. ne može ni u jednoj sastojini da segne
ni izdaleka do u beskonačnost.


Naprotiv po formuli (62) mora pogreška aritmetičke sredine da
padne točno na nulu, čim dođe do jednakosti n== N, t. j. čim se sva
stabla sastojine upotrijebe kao primjern a stabla.


Za područje geodetskih, astronomskih ili bil o kakovi h drugih
opservacija, kojih broj po naravi samog opserviranog predmeta nij e
objektivno n i č im ograničen, Qaussov a je formula sasvim ispravna.


589




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 34     <-- 34 -->        PDF

+ L.2.. (lVs_5,V+6) + 2n3(.-2) +


+ L42 ., (jV* — 5 N + 6) + 2 w4 (.. — 2) +


LiwiL


-f-4 (.. — 2) (., .. .8 ., +s ws + 6i », L4 n« + L2 ^2 L3 .3 -4-L2 n2 L4 .4 -4


+ h %L4 »*)[ (54)
S obzirom na jednadžbu:


..* — 6JV+6 = (JV— 2)(iY— 3) (55)


izlazi sada iz izraza (54) s pomoću daljnjih jednostavnih transformacija
izraz:


2


[tf = . — 3) («,i"i -f E^n.2 + L3 ws + e4*»4) + 2 (e,»^» +


2 L.2..2


-f-L22.2 -f" ~." .*2..**) ~i~ 4 (.... L2W2 -f- Li»i .,»8 ..^! L4.4


-f L.2.2 L3W3 -f-L2.2 L4.4 + L3.3 L4«l) (56)


Zadnje dvije parcijalne sume opet sačinjavaju kvadrat izvjesne
jednostavnije sume. Postavljanjem njegovim na osnovnu formu dobiva se:


ML = -^? TT UN -3) (Li2 ni + L28 % + L32 .. + e^ nj + 2 (L, nx +


iV(iY-l)


+ L2 .,_ -4-L3 .3 -j-L4 ... (57)
U analogiji sa jednadžbom (38), a u vezi sa formulom (40) izlazi
odovud napokon:


ML = ,T,J .. (N - 3) .>2


N{N~1)


(58)
..


Srednji od svih u sastojini uopće mogućih trinomski h kvadrata
dobiva se dakle, ako se trostruk i iznos srednjega od svih u
sastojini zastupanih monomski h kvadrata (epsilonskih kvadrata)
pomnoži sa razlomkom još manjim, nego li je onaj pod (41).


Na sličan način može da se izvede i formula za srednji od svih u
sastojini uopće mogućih kvadrinomski h kvadrata, t. j . kvadrata
od kojih bi se svaki odnosio na sumu od četir i epsilonska iznosa.
Samo bi taj izvod bio dakako još mnogo duži, pogotovu jer za njega ne
bi dostajala supozicija pod (24), t. j . da epsilonskih intervala (bez obzira
na predznake) ima u sastojini svega samo 4. Nećemo dakle izvoditi
ovdje još i tu formulu. Dosta je, ako prema izvodu po meni faktično izvršenom
samo istaknem, da ta formula glasi:


[L]2 N 4


— A .
(59)
588




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 33     <-- 33 -->        PDF

le » = i ff n.


N(N- 1) (N~2)´\ *´ "´ L(3nî + nl + ni + K) + .4«.*. +4», ., 44-
4.. .4 4" 2 ., », 4- 2 .2 »« + 2 »3 ». — (9 .. 4-5 »2 4-. »s 4-5 ». 4-6 4~


+ f2.2 [(»J + 3 »s + .1 + **) + (4 ®i .2 + 2 wi ws + 2 », »« 4- 4 .2 .3 4-\-
..%..-]-2.3..— (5w, 4-9.24-5.„4-5..4-6 .?», (^4-».+.^+


4- »*) 4- (2 »i »2 4~ 4 «i », 4-2 », w4 -f 4 w2 ». 4-2 »2
.\ + 4 »3 »*) — (. »i +
4- 5 »2 4- 9 .3 4-5 nj 4- .] 4-.* »t Un* 4- »J + »J + 3 »J) 4- (2 », w2 44-
2 «j »S 4" 4 »j .4 4- 2 .2 w3 4" 4 w2 % 4 ^ % .*) — (5 »j 4- . »2 .


n


4" . .3 4-9 ». 4- 6 H—*0l + »2 + »S + »4 — 2) (.( »j L2 »2 + L1 »i ess +


4" fi, », L4 »4 4-e2 »2 L3 »3 4" L2 »2 Li »4 4" L3 .3 L4 »4) (52)


Totalne sume u uglatim zagradama dadu se rastrgavanjem izvjesnih
sumanda (npr. 3»i2,4w, .. itd.), pa potom izvjesnim premještanjima transformirati
u izraze, koji su već na prvi pogled sposobni za velika ujednostavnjenja.
Po izvedenju ovih transformacija dobiva se:


M! | Li W l (n\ 4- »* 4- »! 4- »p 4-2 (», w2 4- &i w, +


N (N—l) (..— 2) ´
4- », .4 4-»2 »j 4- »2 »4 4- ". «J + 2 wi K + .2 + ». + ni — 2) 4-6 —


— 5 (»! 4- .2 4- ». 4- .. 4- .22 »2 (»i2 + V + ws2 4-«42) + 2 (», »2 +
4- »i ». 4" », .4 4- »2ns ~f~ ...4 ~f~ .% nt) -\-2.. (nx 4- »2 4~ ni ~\~ »4 — 2) 44-
6 — . (.. 4- «2 4-.. + »J + «s2 «s [(»,2 + »22 4-«s2 + »42) 4


4- 2 («j »2 + », »3 + »l »4 + »2 .3 + »2 »4 + .3 ni) + 2 »j (fh. + »2 4~


4- »3 + «4 — 2) + 6 — 5 (., 4-w2 4- ». 4- »J 4- f42 .4 [.2 + »22 +


4-.32 4-.42) 4-2 (.. .2 4~ .1 .5 + », »4 4-.2 »3 4-.2 »4 + »3 »«) +


4-2 »4 (»i + »2 + ». 4- »4 — 2) 4-6 — 5 (»j 4- »2 + ». -f »jj +


.4


4- 4 («j 4- »2 + »3 + ~ 2) (C, .. f2 »2 4" L1 .1 E3 »3 + Cl »1 L4 .4 +


4-L2 »2 L3 nS 4r L2»2L4»4 + «! .3 L4 %)1 (53)


Odovud sad postavljanjem razvijenih kvadrata na osnovnu formu
i s obzirom na jednadžbu (10), a u vezi sa izrazom (24) izlazi:


.2


= — {*". [(^-6,V4-6)4-2» l(iV-2)]


N(N-l)(N-2) +


4-E22»2 [(^2 - . JV+ 6) -f 2w2 (N- 2)j 4"


587




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 32     <-- 32 -->        PDF

opservacije pala u interval k, a pogreške ostalih dviju opservacija u interval
i ili je pak pogreška druge opservacije pala u interval k,
a ostale dvije pogreške u interval i ili je napokon pogreška treće
opservacije pala u interval k, a ostale dvije u interval i.


Što se napokon tiče vjerojatnosti, da je svak a od spomenutih
triju pogrešaka pala u drug i interval, za tu vjerojatnost može prema
dosad rečenom da se lako postavi jednadžba:


, n 7li Tik tli (*.\\


(o0)


6
.^ =6^ išcrf " ....


Tu je naime u pogledu slijeda , kojim su pojedine pogreška mogle
da padnu u ova tri intervala, moguće svega šes t raznih načina. 11 i
je naime pogreška prv e opservacije pala u interval i, a ostale dvije
(kojimgod redom) u intervale k i l, pa su dakle u ovom slučaju moguća
dva razna podslučaja. Ili je pak pogreška druge opservacije
pala u interval i, a ostale dvije (kojimgod redom) u intervale k i l, gdje
su dakle opet moguća dva razna podslučaja. Ili je napokon pogreška
treć e opservacije pala u interval i, a ostale dvije (opet kojimgod
redom) u intervale k i /, radi čega su i ovdje moguća dva razna
podslučaja.


Time su u općoj formi dadene vjerojatnosti svi h mogući h trinomskih
izraza pod (47), pa naravski i njihovih kvadrata. Slično kao pod


(31) možemo i ovdje da sve te vjerojatnosti specificiramo prema pojedinim
izrazima pod (47), i to istim onim redom, pa da ih onda sumiramo.
Na taj kontrolni način možemo i ovdje da se osvjedočimo, da su ispravne
i kombinacije pod (47), a i vjerojatnosni izrazi pod (48) — (50). Suma svih
specificiranih vjerojatnosti mora naime i ovdje da bude jednaka jedinici.
Na osnovi tih vjerojatnosnih izraza možemo sada da prijeđemo na
postavljanje izraza za M2,- Osnovni oblik toga izraza izgleda ovako:


Maw=y(Jvr_11)(jy^-|(3e1)8H1(»1-l)(H1-2) + (3e>)»«tK-l)(H,-2) +


+ (3 ety nz (.. - 1) (., - 2) + (3 L4)2 né (», - 1) (», - 2) +


+ 3 (2 e, + e2y », (», — 1) w2 + («, -4-2 E2)* «, »2 (.2 — 1) +


-f (2 e, -f Ls)2 », (», — 1) ns 4- (s, 4- 2 Ls)2 », »3 (»s — 1) +


+ (2 e, + L4)2 », (», — 1) »4 + (e, + 2 e4)2 », », (»4 - 1) +


-f (2 L2 + L3)2 W2 (»g — 1) n3 + (c2 + 2 f,)2 w2 », (», — 1) -f


-f (2 E2 + L4)2 »2 (», — 1) w4 + (es + 2 Lé)2 », w4 (w4 — 1) +


+ (2 L3 + L4)* »3 (»3 _ 1) w4 + (L8 + 2 Liy n% n, (n4 — 1)1 +


6 Ls)2 .1 ni .3 L*)2


+ (L1 + L2 + + (L1 + L2 + »1 W2 W4 -f+
(L, H" L3 + L4)2 »1 »3 % + (L2 + L3 + EiY ...3..{ (51)
Ako i ovdje po izvedenim kvadriranjima svrstamo posebno sve članove
sa epsilonskim kvadratim a (i to po svakom kvadratu zasebice)
i posebno opet sve članove sa epsilonskim produktima , dobit
ćemo:


586




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 31     <-- 31 -->        PDF

Uzmimo opet jednostavnosti radi, da epsilonskih intervala [bez
obzira na predznake i u smislu izraza (24)] ima u sastojini svega samo


4. K a k o v i se sada t r i n o m s k i kvadrati mogu tu da obrazuju?
Evo ovi:
(L1 + Ll + Li)2, (Ll + L1 + ^)2, (*l + Li + L.)2, (L1 + fl ´ ..


(C, + L2 + L2)2, (Lx + L2 + ..)2,


(L1 + ^ + L4)2


(«, -f ej + L2)2, (e, + L2 + L3j2, (e, + e2 + L4)2


(47)
(fi, + L3 + L3)2, (f2 + LS + L4)2


(L2 + L4 -f L4)2


(«a + *3 + .)2, («i + L3 + <.)2


(L8 + L4 + Lj2


(L4 + L4 + L4)2


Tu dakle, općenito uzevši, može kvadrat sume da ima ili oblik (3 L*)2
ili pak oblik {2ei-\-elc)2 . napokon oblik (^ + ^ + ^)2


S kojom vjerojatnošću može sad da se uzme:


1) da su pogreške svih triju opservacija pale u jedan te
ist i interval (recimo u interval i)?


2) da su pogreške dvij u opservacija (svejedno kojih) pale u interval
i, a pogreška treće opservacije (svejedno koje po redu) da je
pala u interval k?


3) da je pogreška svak e -od tih triju opservacija pala u drug i
interval — jedna recimo (svejedno koja) u interval i, druga (opet ma
koja) u interval k, treća napokon (isto tako ma koja) u interval l?


Očito je, da su iz navedenih već razloga i rezultati ovi h opservacija
zavisn i od toga, kakovi su bili rezultati predidućih opservacija.
Rezultat drug e opservacije zavisan je naime od toga, s kakovim
je rezultatom urodila prv a opservacija. Rezultat treć e opservacije
zavisan je pak od toga, kakove su rezultate imale prv e dvij e
opservacije.


Stoga [u analogiji sa izrazom (29)] izlazi za vjerojatnost padanja
svih triju pogrešaka u jedan te isti interval (vidi prvo od
gornja tri pitanja) očito izraz:


, „ n. n. — 1 n.—-2


w (48>


´.-.. ..=.. ...


Za drug u pak od triju gore traženih vjerojatnosti (vidi drugo
pitanje) izlazu u analogiji sa jednadžbama (29) i (30) izraz:


n.
..... = 3^ . -A—_ . __*_^ (49) . N—l N—2


Trostru k mora ovaj izraz vjerojatnosti da bude radi toga, jer su tu
u pogledu slijeda , kojim su pojedine pogreške mogle da padnu u ove
intervale, moguća t r i razna načina. Ili je naime pogreška prve


585




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 30     <-- 30 -->        PDF

njega od svih u sastojini uopće zastupanih monomski h kvadrata


(epsilonskih kvadrata) pomnoži sa gore navedenim pravim razlomkom.


Izvedimo sada formulu za srednji kvadrat dvočlane epsilonske sume
s pomoću vjerojatnosnih izraza pod (26) i (27), za koje smo vidjeli da
ni jes u za nas ovdje ispravni. Osnovni oblik te formule glasio bi:


K = 4i {(2 O2 K + $ *)´ K + (2 L*. nl + (2 ^. n\ + 2 [fc + e,y », .2 +


+ (L, + Ls)2 «j «3 + («i + «*)´ »i .4 4- (., 4-L3)2 M2 M3 + (L, -f ej2 w2 .4 +


+ (L. + .*)8 .8 .4 (42)
Kad se izvedu kvadriranja i svrstavanja zasebno po epsilonskim
kvadratima i zasebno opet po epsilonskim produktima, onda
odovud s obzirom na jednadžbu (10), a u vezi sa izrazom (24), izlazi:


2


[«]
j\r2
ej», flT+ nj 4 .« r^V+ *h) + .. fiV+ nj4-fyJN+nJ +


4" 2 (.. ., L2 .2 4" L1 .1 L3 .3 4" L1 ni Li .4 "4" L2 W2 L3 W3 4" L2 % L4 .4 ~~.~


4-L3 .3 L4 %) (43)


Odovud pak izlazi dalje:


+ L 2
er =
2
JW«! + »,*"l + L32W3 + .4.) + (L12 »ik4-W32.3 +


JV2


+ L42«42) + 2 (e,n, Lsw2 4- ej«, e3n3 -|- e,nj .4.4 -f L2.2 L3w3 + L2n2 L4w4 +


+ L3 .8 L4 .4) (44)
Kao što jednadžba (38) izlazi iz jednadžbe (37", iako slično izlazi
odovud dalje:
2 .


L % -^~-..(L12.1 + L22.2 + L32.3´4-L42.4)4-(L1.1 + L2?.24-L3..4-L4..4)2 (45)


Kao pod (38), tako je i ovdje suma u zadnjoj okrugloj zagradi jednaka
nuli. S druge opet strane suma u prvoj zagradi nije ništa drugo, već
brojnik izraza pod (40). Stoga odovud izlazi konačno:


L J« ffi
2
jV2 [1^ = 2^ (46)


a to je poznati G a u s s o v izraz za srednji kvadrat dvočlane epsilonske
sume. On je, kao što vidimo, nešto veći od izraza pod (41), no i u njemu
ima . sasvim isto značenje kao i pod (41). Kako je on izveden iz neizravnih
za nas ovdje vjerojatnosnih izraza, to ni on nije za nas ovdje
ispravan.


4.
Prijeđimo sada na izračunavanje srednjega od svih u sastojini uopće
mogućih epsilonskih t r i n o m â. Tu su naravski potrebne t r i sastojinsko-
kubikacione opservacije sa odnosnim pogreškama.


584




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 29     <-- 29 -->        PDF

S obzirom na jednadžbu (10), a u vezi sa izrazom (24), izlazi odovud
dalje:


M -2
E>1 {N 2


N(N- 1)~ + wi) + Eln* <#-2 + *t) + «Î «. (#~


2 + ws) + .*.< (-..— 2 + nt) + 2 (*, «.j e2 ..2 -f c, n, L3res+ e, .. e4 w4 +
+ LJ «2 L3 «8 + L2 «S L4 »«4 + % «3 L4 .. (36)
Odovud pak izlazi izmnožavanjem i presvrstavanjem:


2 (iV— 2) (e»n, 4 -e\n2 4- L2 w8 4- e* .4) + (e»n\ + L*«* +


— N(N—1)
-j- ej nj -j-L2 .|) -f- 2 (fj ., L2 .2 + ., «! e, Ws -(- Lj », L4 .4 + e2 .. f3 ws


4-L2 W2 L4 nt 4-Ls .3 L4 »J (37)


Zadnje dvije sume iz ovoga izraza analogne su prvim dvjema sumama
pod (32), pa se stoga i one dadu postavljanjem na osnovnu formu
analogno ujednostavniti. Tako izlazi dalje:


m (JV_ 2) (.*., 4- L^j 4- L|«s 4-L2«4) 4- (e, .. 4-L2 ., 4


L J


N(N—1)


4-L3 w3 4- e, .4)2 (38)


S obzirom na izraz (22), a u vezi sa izrazom (24), suma u zadnjoj
okrugloj zagradi jednaka je nuli. To je naime brojnik izraza za pogrešku
to t a 1 n e aritmetičke sredine, za koju smo vidjeli, da svakako mora da
bude jednaka nuli. A ona upravo i može da bude jednaka nuli samo posredstvom
toga brojnika, u kojem se sumandi međusobno sasvi m ukidaju.
S toga od izraza (38) preostaje samo još izraz:


2(N—2) ^.! + ^.2 + L>8+L4.4


[cl« = (39)


N—l N


Sad još možemo ujednostavnjenja radi da stavimo:


L?Wl´+L2W2 +L3WS + L! .4


(40)
.* =


~N~


tako da formula (39) dobiva konačan oblik:


[LP
N~ 2 2fi2 (41)


N-


Izraz /u2 nije (kao što vidimo) ništa drugo, već aritmetička sredina
od svih N u sastojini uopće zastupanih epsilonskih kvadrata. On
je u teoriji najmanjih kvadrata poznat pod nazivom »srednj a kva dratna
pogreška pojedine opservacije«.


Formula (41) dade se riječima izraziti ovako: Da bi se za jednu
saštojinu mogao da dobije srednji od svih u njoj uopće mogućih binom skih
kvadrata, t. j. (L. + L*)% treba da se dvostruki iznos sred


583




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 28     <-- 28 -->        PDF

Izmnožimo li pojedine izraze u glavnoj zagradi, onda odovud izlazi:


P= T7TT7—— {.\ + «g + «g + »D + 2 (., .2 -f- »i .3 + Mj .4 4"ni .3 +


Jf (.— 1)


+ .2 nt -f-.3 .4) — (n, + w2 4-Ms + .4) (32)
Prve dvije parcijalne sume ovoga izraza (uzete zajedno kao jeda n
izraz) nijesu ništa drugo nego razvijen kvadrat jedne jednostavnij
e sume . Postavljanjem toga kvadrata na osnovnu (nerazvijenu)
formu reducira se stoga prednji izraz na izraz:


__ (., + W2 + .3 + »i)2 — (., + Ma + M, -f-.4)
}
„„


r— W^N ~ " t


S obzirom na jednadžbu (10), a u vezi sa izrazom (24), očito su
ovdje brojnik i nazivnik međusobno jednaki. Tako evo izlazi kao s i g
u r n o, da obje opservacione pogreške moraju svakako da
dođu (ili pojedince ili zajedno) ma u koji od epsilonskih intervala u sastojim
uopće zastupanih. Ova kontrola ujedno pokazuje, da su
ispravne i kombinacije pod (25), a i vjerojatnosne jednadžbe (29) i! (30).


Nakon ovih pripremnih razmatranja možemo sada da pristupimo
k samom postavljanju i zatim k daljnjem izvođenju izraza za srednji
kvadrat epsilonskog binoma.


3.
Pristupajući k izvršivanju spomenutog zadatka uzmimo opet jednostavnosti
radi. da intervala [bez obzira na predznake i u smislu izraza
pod (24) i (25)] ima u cijeloj sastojini svega samo 4. Onda aritmc tičkasredina
svih spomenutih binomskih kvadrata
mora (u osnovnom obliku) da glasi ovako:


1 } +(2 e*)2.*{n* -1} +(2L.)2Ws (..


M» = Tffî—. l(2 Ll)2 ^ (Wl --1 j +


4- (2 .,. n, K - 1) + 2 fo + e,f », n, + (e, + E3y ., ns + (e, + e4)* », », -f


+ («s + L.)2 .2 n3 -f («, -f L4)2n2 w4 + (e, + L4)2 .„ .4 (34)
Praktički razlozi zahtijevali su, da poredaj binomâ bude ovdje malo
drugačiji nego onaj pod (25), što međutim na samoj stvari ne mijenja
ništa. Ovdje sad možemo najprije da izvedemo kvadriranja na desnoj
strani jednadžbe, pa da zatim svrstamo zasebice sve članove sa epsilon-
skim kvadratim a (i to posebno po svakom kvadratu), a zasebice
opet sve članove sa epsilonskim produktima . Kad se to sve izvede,
dobiva se:


t2 Wl +


Ml = Wjy± .) I ei* "´ "2 + .. + .4 — 2) + E2!%(%+ 2.2 +
+ Ms + .4 — 2) 4-E3*ns (u, -f «2 4-2n3 4 .4 — 2) -f «.»»«.{n, +
+ .2 -f-n3 -f 2 .4 — 2) -j- 2 (e, », e2 nt -f-Lx ^ L3 w3 + e, wt L4 .4 -{


L3 ni


4 L2 M2 L3 M3 -f" L2 w2 L4 M4 4 Ei ni)\ (36)


582




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 27     <-- 27 -->        PDF

čaju može u ovaj interval da padne sam o jedn a opservaciona pogreška,
a nikako dvije, pošto je naime u tom intervalu (radi jednog jedinog
stabla) moguća sam o jedn a opservacija. Neka je sada u taj interval
ve ć pal a pogreška prv e sastojinsko-kubikacione opservacije.
S obzirom na to može pogreška drug e opservacije da padne samo
u drugi koji interval, a ne više u taj isti. To bi dakle značilo, da p\ iz
jednadžbe (26) mora u ovom slučaju da bude jednako nuli, jer se (kao
što je poznato) nemogućnost označuje sa nulom. A ovaj 0- iznos za p\
moguć je opet samo uz uslov, da je jedan od %- faktora iz dotične jednadžbe
pao na nulu. Drugi nt - faktor imao bi dakle [s obzirom na jednadžbu
(28)] da se zamijeni sa izrazom fk — 1


I brojnik i nazivnik toga drugog razlomka pod (26) mora dakle da
bude za 1 manji nego brojnik i nazivnik prvog razlomka. Nako n prve
opservacije preostalo je naime za drug u opservaciju svega još samo
N—/ stablo. Ako je pak pogreška te prv e opservacije ve ć pal a
u interval i, onda je u njemu za drug u opservaciju preostalo samo još
ih — 1 stablo. Stoga vjerojatnost, da je i pogreška prve i pogreška druge
opservacije pala u jedan te isti interval, može da glasi samo:


(29)
****"*´7n=T


U teoriji vjerojatnosti ova je jednadžba opće poznata i dolazi do
primjene u svim onim slučajevima, u kojima je rezultat drug e opservacije
zavisa n od toga, kakav je rezultat imala prv a opservacija.*
A to je ujedno (kao što vidjesmo) slučaj pri kubisanju sastojine s pomoću
konkretnih primjernih stabala. Iz istoga razloga može ovdje i mjesto
jednadžbe (27) da dođe u obzir samo jednadžba:


2 =
<30)


^ 2>-.^.


Time su dakle u općoj formi dadene vjerojatnosti svi h mogu ći
h binomskih izraza pod (25), dotično i njihovih kvadrata. Specifi cirajm
o sada sve te vjerojatnosti prema pojedinim izrazima pod (25),
i to istim onim redom, i sumirajmo ih. Imat ćemo dakle:


P= l nx (., — 1) -j-2 », «j 4" 2 Wj ., -f- 2 ., .4 -f-.. (n2 — 1) -j-


N(N— 1)


+ 2 .2 w3 -f-2 w2 .4 -}. ws (.3 — 1) -f- 2 .3 .4 -f-w4 (w4 — 1) . (31)
Vidi . tome qpr.:


1.
Kozâ k J.: Theorie des Schiesswesens auf Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Fehlertheorie, I. Teil. S. 16—18, Wien-Leipzig 1908.
2. ´Poincar é H.: Calcul des probabilités, p. 39—40, Paris 1912.
3. Bore l E.: Eléments de la théorie des probabilités, p. 28—29, Paris 1924.
4.
Czube r E.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, I. Band, S. 49—50, Leipzig-Berlin
1924. .
Najjasnije je to izraženo u prvom, a onda i u trećem od ova 4 djela.


581




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 26     <-- 26 -->        PDF

U tom slučaju sum a spomenutih dviju pogrešaka dotično epsilonski
bino m može (u kvadratu) da ima — već prema prilikama —
jedan od ovih oblika:


(h + O2, (e, + .2)2, («i + *.)2, fo + .^


(e, + f2)2, (&> -f Ls)2, (f2 -|-L02


(26)
(e8-f e3)*, (LS + E*)8
(L4 + O*


Općenito uzevši, kvadrat te sume može dakle da ima ili oblik (2 e{)*
ili pak oblik (L. + L*)2, gdje jednako i kao i ft može da označuje m a
koj i od rednih brojeva 1, 2, 3, 4. Samo se naravski u ovoj drugoj sumi
konkretni iznos indeksa ft ima da razlikuje od istodobnog konkretnog
iznosa indeksa i.


Koja sad vjerojatnost postoji za to, da su pogreške obiju


opservacija pale u jeda n t e ist i interval? S druge opet strane, koja


vjerojatnost postoji za to, da je jedna od tih pogrešaka (i to ma koja)


pala u interval i, a druga (i to opet ma koja) da je pala u interval ft?


Pri odgovaranju na ova pitanja treba da uzmemo u obzir, da se
primjerna stabla ili kubišu u oboreno m stanju ili pak, ako se eventualno
kubišu u osovnom stanju, da se ona onda uvijek vidljivo
označuju, kako na njih n e b i mogao da padne ponovni izbor.
Prema tome jedno te isto stablo ne može ni u kojem slučaju
da bude dvaput upotrijebljeno kao primjerno stablo.


Suponirajmo prethodno ipak, da ovo mož e da se desi, t. j . da izbor
drugog primjernog stabla može ponovno da padne na isto
ono stablo, koje je već pr i prvo j opservaciji bilo u tu svrhu upotrijebljeno.
Drugim riječima suponirajmo, da rezultat drug e opservacije
može da bude sasvim nezavisan od toga, kakav je rezultat
imala prv a opservacija.


Kad bi ova supozicija stajala, onda bi vjerojatnost, da su pogreške
obij u opservacija pale u jeda n te ist i interval, glasila (kao što
je poznato):


(26)
1...´7


S druge opet strane vjerojatnost, da je pogreška jednog opažanja
(bilo kojeg) pala u interval i, a pogreška drugog opažanja (opet ma kojeg)
da je pala u interval ft, glasila bi, kao što je također poznato:


= (27)


2 ^ 2f--.


No spomenuta prethodna supozicija ne mož e (kao što rekoh) da
stoji, jer jedno te isto primjerno stablo ne može ni u kojem
slučaju da bude izabrano dvaput. Da bismo prema tome i nemogućnost
izraza pod (26) i (27) uočili´ što lakše, predstavimo si, da je
(recimo)


»«=1 (28)


t. j . da u intervalu i postoji jeda n jedin i raspoloživi epsilonski iznos
ili (što je isto) jedn o jedin o uopće raspoloživo stablo. U tom slu580




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 25     <-- 25 -->        PDF

Pomnožimo sada redom sve vjerojatnosti pod (20) sa pripadnim
epsilonskim iznosima, dakle:


ft fi = jf Li


a 2
f2
.. E´ (21)


Pi —


n


N e.


Svaki od ovih izraza predstavlja matematičku nadu za pojedini od
navedenih epsilonskih iznosa. Sumiramo li sve ove matematičke nade,
dobit ćemo izraz


_ ., L, 4- ., .. -f- -f-.. Er


{


.*


N



t. j . aritmetičku sredinu od svih u sastojini uopć e mogući h pojedinačnih
pogrešaka. Samo u toj sredini ne dolaz i svaka od tih pogrešaka
z a s e b i c e, već su (u smislu izlaganja kod jednadžbi (10) i (11))
sve one pogreške, koje padaju u povoljan interval i (= 1,2,.... r),
sabrane u jednom jedinom izrazu n; et. Drugim riječima (a u analogiji
sa jednadžbom (15)) izraz pod (22) nije ništa drugo, već pogreška
totalne aritmetičke sredine, za koju nam jednadžba
(16) veli, da mora
svakako da bude jednaka nuli.
Svaka od pojedinačnih vjerojatnosti pod (20) govori ponešto (više
ili manje) u prilog pojedinoj od spomenutih mogućnosti, t. j . da je pogreška
prve opservacije pala u prvi, dotično u drugi, dotično u
r-*1 interval. No sigurno je međutim, da je ta pogreška svakako
pala ma u koj i od dotičnih r intervala. Kao što znamo, ta sigurnost
označuje se jednadžbom


P= Pi ~\-Pi + ´ +ft = ! |


«i -f-.2 + -|-.. __ -, (
("^)


—N~ I


koja nalazi svoju potvrdu u jednadžbi (10).
Ako sada na isti način izvedemo i drug u sastojinsko-kubikacionu
opservaciju, onda će izrazi pod (20) predstavljati ujedno vjerojatnost,
da je pogreška ov e drug e opservacije (uzeta sama za sebe)
pala u jedan od spomenutih intervala. No kako sad stoji stvar sa obj e
pogreške uzete zajedno?
Uz izvjestan uslov lako je moguće, da obj e te pogreške padnu
u jedan te isti interval. Isto je tako lako, pa još i lakše, da svaka
od njih padne u drug i interval.
Jednostavnosti radi mi ćemo uzeti, da intervala (bez obzira na predznake)
ima u cijeloj sastojini svega samo 4, dakle da je:


r = 4
(24)


579




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 24     <-- 24 -->        PDF

koji dakle predstavlja srednji kvadratni iznos za pogrešku parcijalne
aritmetičke sredine. Linearn i iznos, koji odovud izlazi kor jenovanjem,
mora naravski da bude dvoznačan (±).


Kao što vi´dimo, izraz pod (19) predstavlja tek simbolički formulu
za srednju pogrešku parcijalne aritmetičke sredine. Da bismo došli do
praktički upotrebivog oblika za tu formulu, trebamo da izvedemo
pobliži matematički izraz za njezin brojnik. Pri tome ćemo redom
uzeti, da je izraz M sastavljen najprije od dva, zatim od tri, zatim opet
od 4, 5 itd. epsilonskih članova.


Najprije ćemo dakle uzeti u obzir d v o č 1 a n u epsilonsku sumu
ili kraće: epsilonski binom . Takovih binoma (dotično i njihovih kvadrata)
može u sastojini da se obrazuje vrl o mnogo , pri! čem će mnogi
od njih biti i međusobno jednaki. Od svih tih u sastojini
uopć e mogući h binomskih (pa onda zasebice trihomskih itd.) kvadrata
treba dakle da se obrazuje aritmetička sredina. No poznato je, da
aritmetička sredina nije ništa drugo, već tzv. zborn a matema tička
nada, t. j. suma tzv. pojedinačnih matematičkih nada.
S druge opet strane poznato je, da pojedinačna matematička nada nije
ništa drugo, već produkt od izvjesne veličine i njezine vjerojatnosti.
Ovdje kod nas ima dakle u svaki takav produkt da dođe: 1. pojedini binomski
(trinomski itd.) kvadrat, 2. njegova vjerojatnost.


Stoga moram da raspravim i pitanje vjerojatnost i pojedinih
u sastojini međusobno zbilja različitih epsilonskih binoma
(trinoma itd.). Kao što je poznato, te vjerojatnosti spadaju u red tzv. s 1 ož
e n i h (kombinovanih) vjerojatnosti, a ove se opet osnivaju .na već
ranije spomenutim jednostavni m vjerojatnostima, t. j . na vjerojatnostima
samih pojedinih epsilonski h iznosa. Radi toga moram prije
svega da se još malo zabavim sa tim jednostavni m vjerojatnostima.


2.
Zamislimo si u tu svrhu najprije, da smo u smislu formula pod (1)
izvršili te k prv u sastojinsko-kubikacionu opservaciju i da je ta opservacija
izvedena izborom primjernog stabla be z ikakov a obzir a
na dimenzije srednje g stabla. U smislu izraza (11) predstavlja pojedini
od izraza


Pl =


N


ih =


N (20)


— nr
Vr


vjerojatnost, da je pogreška te prve opservacije pala u prvi, dotično u
drugi, dotično u zadnji (r-t[) interval. Prvi interval neka bude
s k r a j n j i lijevi (na negativnom dijelu apscisne osi); drugi
neka bude tome susjedni interval; ; zadnji napokon neka bude
skrajnji desni (na pozitivnom dijelu apscisne osi). Iznosi pogrešaka,
koji odgovaraju početcima tih intervala, neka budu Ei, L
2. ´er.


578




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 23     <-- 23 -->        PDF

srednji od svih onih iznosa, koji su pod dotičnim prilikama


uopć e moguću.


Sad dakle nastaje pitanje, kako zapravo ima da glasi formul a
za taj srednje mogući iznos pogreške, koja tereti parcijalnu aritmetičku
sredinu?


Qaussov a teorija ima već za taj iznos svoju formulu, no L o r
e y traži za nju izvjesnu modifikaciju. ItuGaussov u formulu i njenu
modifikaciju za naše svrhe upoznat ćemo u narednom poglavlju.


IV.
SREDNJ A POGREŠKA PARCIJALNE ARITMETIČKE
SREDINE
1.
Kao što vidjesmo, formula (15) predstavlja z b i 1 j n u pogrešku
parcijalne aritmetičke sredine. Njezin je brojnik vrlo varijabilan (sve il
pri konstantnom n). On je varijabilan ne samo radi varijabilnosti sa mi
h iznos a za pojedine njegove članove, već il radi varijabilnosti u
njihovim predznacima . I ta je varijabilnost takove naravi, da nam je
sasvim nemoguće utvrditi zbiljni iznos spomenutog brojnika bil o u
koje m dadenom slučaju. Mi dakle moramo da se ograničimo na
srednje mogući iznos toga brojnika, pa se dakle pita, kolik
srednji iznos može da pripadne izrazu . sastavljenom od n članova?
Taj srednji! iznos označit ćemo kratko sa Mm-


U Gaussovo j teoriji pogrešaka ovo je pitanje riješeno tako,
da je
Mm=0 (17)


Srednji linearni iznos sume sastavljene od n slučajnih pogrešaka
izlazi dakle prema tome riješenju kao jedna k nuli . Nije teško
dokazati, da jednadžba (17) važi! općenito i za slučajeve, gdje se radi o
sastojinsko-kubikacionim opservacijama s pomoću konkretnih primjernih
stabala. No to dokazivanje nije potrebno s obzirom na okolnost, da
nas eto jednadžba (17) ne dovodi zapravo ni do kakovog praktičnog rezultata.
Mi dakle za srednju pogrešku parcijalne aritmetičke sredine moramo
da potražimo riješenje, koje se dade praktički iskoristiti.
Da bismo došli do toga riješenja, trebamo jednadžbu (15) najprije da kvadriramo,
dakle:


I sad se radi o tome, da se što bolje utvrdi srednji! iznos za ovaj
kvadrat . Pošto je i ovdje nazivnik poznat uvijek već sam od sebe,
to je dovoljno, da se svrati pažnja samo na brojnik. Treba dakle da se
utvrdi srednje mogući iznos za kvadra t sume sastavljene od n pogrešaka.
Taj ćemo iznos označiti sa Ml- Po uvrštenju ovoga iznosa u
prednju formulu Izlazi iz nje izraz


(e*\ „jf&l
(19)


577




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 22     <-- 22 -->        PDF

ih obrazujemo samo toliko, koliko smo upotrijebili primjernih stabala,
dakle:


s, = X~V2 (13)


:X—V„


Sumiramo li sve ove pogreške, uzevši naravski u obzir i njihove predznake
(+ ili —), te razdijelimo li tu sumu sa ukupnim brojem članova u
njoj (n), dobit ćemo:


«! + *.+ +^ =..-(.1 + .,+ +..)
n n l J


Desna strana ove jednadžbe, ako se uzme u obzir i jednadžba (2), identična
je s desnom stranom jednadžbe (12). Stoga jednadžbi (12) pripada
detaljizirani oblik


«i + . ++ Ln


(15)
M


Zbiljna pogreška parcijalne aritmetičke sredine, nije dakle ništa drugo,
već također parcijalna aritmetička sredina. Samo je, kao
što vidimo, ta sredina obrazovana od samih (sa predznacima uzetih) sastojinsko-
kubikacionih pogrešaka . Ove pojedinačne pogreške (redovno
dijelom pozitivne i dijelom negativne) obično se u brojniku pod


(15) više ili manje ukidaju. Ako se eventualno desi, da je ukidanje pot puno,
onda pogreška aritmetičke sredine ima svoj minimum, jednak
naravski nuli. No u brojniku pod (15) može eventualno da dođe kadšto i
do čistog gomilanja pogrešaka. U tom slučaju pogreška parcijalne
aritmetičke sredine ima svoj maksimu m (pozitivan ili negativan).
Analogno izrazu pod (12) može da se postavi također izraz


,x-X — X= 0 (16)


koji već na prvi pogled veli, da je pogreška totalne aritmetičke
sredine svakako jednaka nuli. Naprotiv pogreška parcijaln
e aritmetičke sredine [pod (15)] može samo sasvim izuzetno da
bude jednaka nuli. Inače nam ona ostaje još i sasvim nepoznata,
doklegod eventualno ne kubišemo sv a stabla sastojine. No ako je ovo
učinjeno, onda u sastojinsko-kubikacionom rezultatu ni nema uopće
nikakove pogreške, koja bi mogla da se pripiše pogrešnomizboru
primjernih stabala.


Pogreška parcijalne aritmetičke sredine, u ozbiljno m svome
iznosu, izlazi dakle s praktičnog gledišta kao neustanovljiva . No
ako i ne možemo da ustanovimo ba š z b i 1 j a n njezin iznos, možemo
ipak da joj približno ustanovimo bar iznos srednje mogući, t. j.


576




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 21     <-- 21 -->        PDF

ekstremni m drvnim masama. Posljedicom toga bile bi (pored ostalih)
i obje ekstremne pogreške, t. j .


P *max -** ´ min l /Q\
{)


. _L =X—V


cmax -"-r ... J


što međutim ne može ni izdaleka da se desi, ako se pri izboru
primjernih stabala rukovodimo dimenzijama srednjeg stabla.


Vjerojatnos t pojedinih pogrešaka, u sastojini (prema sistemu
(8)) uopće mogućih, izlazi iz toga sistema uz uslov, da se diferencije
toga sistema svrstaju (ili barem zamisl e kao svrstane) prema
izvjesnim, primjereno uskim, ekvidistantnim intervalima. Ovim svrstavanjem
pada u pojedini epsilonski interval po jedna ili i po viš e
praktički međusobno jednakih diferencija. Uz taj uslov
može dakle u jednom od tih intervala da bude svega ni takovih diferencija,
u drugom svega /.2 njih,.... u r-tom napokon svega nr njih. Pri tom
ujedno mora da bude:


^i + n2 -(-..-. -J-nr = N (10


U tom slučaju za vjerojatnost, da je pogreška izvjesne sastojinskokubikacione
opservacije pala (sa svojim krajem) baš u interval između


L i e-f Ae, važi poznati jednostavni izraz


.´—-$ (n>


Napredujemo li tako od intervala do intervala, dobit ćemo za dotične
vjerojatnosti iznose /?,, p2 pr- Ovi se iznosi (pošto je N
za jednu te istu sastojinu konstantno) razlikuju međusobno u istoj onoj
mjeri, u kojoj se međusobno razlikuju brojevi nu .. . nr-


Krivulja , koja od intervala do intervala ima da predočuje pojedine
ovakove vjerojatnosti, ne može naravski (iz poznatog već razloga)
da bude ni pravilna ni simetrična. No to isto, kao što vidjesmo, važi i
za slučajeve geodetskih, pa i svakih drugih opservacija, ako im je (kao
što ne može drugačije ni da bude) broj konačan.


U glavnom dakle postoji i kod geodetskih i kod sastojinsko-kubi


kacionih opservacija približno jednaka mogućnost za jače ili


slabije ukidanj e pogrešaka u aritmetičkoj sredini. A to je ujedno


ona činjenica, koja i geodetskom i sastojinsko-kubikacionom opservatoru


daje podjednako pravo na obrazovanje aritmetičke sredine, pa i na for


mulisanje izraza za izračunavanje njezine pogreške.


No kako sad da se postav i što ispravnija formula za izračuna


vanje te pogreške u svakom pojedinom konkretnom slučaju?


III. Z BI L J N A POGREŠKA PARCIJALNE ARITMETIOKE SREDINE.
Najjednostavnija i neposredna formula za zbiljnu pogrešku parcijalne
aritmetičke sredine izlazi iz diferencije:


iA = X-A (12)


Analogno izrazima pod (8), koji se odnose na s v e, u sastojini
uopć e moguć e sastojinsko-sadržinske pogreške, možemo sad da


575




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 20     <-- 20 -->        PDF

Slično se tako i formula (4) dade proširiti u totaln u aritmetičku
sredinu, t. j .
vx + . + --\-vN


(7)
N


No ova sredina odnosi se, kao što vidimo, na individualne (stablimične),
a ne na sumarn e drvne mase, prema sastavu sastojine
uopće moguće. Ona dakle, kao što vidimo, predstavlja drvn u mas u
/biljnog srednjeg stabla u sastojini. Mi naravski ne možemo
ni tu drvnu masu da poznajemo prije eventualnog kubisanja svi h stabala
u sastojini. No o stablu, koje bi trebalo da ima tu drvnu masu, t. j .


o zbiljnom srednjem stablu sastojine, mi ipak možemo da si stvorimo
već prilično dobru predodžbu. A ova predodžba može da
se stvori na osnovi dimenzija (t. j . na osnovi debljine i visine), koje se
za to tzv. srednj e stablo mogu dosta točno da utvrde već unaprijed.
Između zbiljne sastojinske drvne mase (X) i između drvnih masa
v\, Vi, ^. iz formule (6) postoje uvijek izvjesne, veće ili manje
diferencije. Samo su naravski te diferencije prije eventualnog kubisanja
svi h stabala u sastojini još nepoznate. Te diferencije glase:


r2 = X-V2


(8)
Pri izvršivanju sastojinsko-kubikacionih opservacija u smislu formula
pod (1) izlaze neke od tih diferencija (njih svega n) kao zbiljne
pogreške pojedinih izvršenih opservacija.


Slično kao geodetske, tako mogu i o v e pogreške da se svrstaju
u sistematske (pravilne) i u slučajne (nepravilne)
pogreške.


a) Sistematske pogreške nastaju, ako se pri izboru primjernih
stabala rukovodimo doduše izvjesnom predodžbom o dimenzijama
i o obliku srednjeg stabla, ali ako je ta predodžba bitn o jedno strana
. Te pogreške nijesu doduše u praksi rijetke, ali mogu ipak da
se izbjegnu sasvim. Stoga o njima nećemo ovdje više voditi računa.


b) Slučajne pogreške nastaju, ako na bazi dimenzija određenih
unaprijed za srednje stablo izabiremo primjerna stabla inače sa svim
mehanički. Mi naravski ne možemo skoro uopće da nađemo
u sastojini stablo, koje bi točno imalo i debljinu i visinu i oblik srednjeg
stabla. No međutim, pri izboru primjernih stabala mi ipak možemo — bar
u glavnom — da se držimo dotične debljine i visine (sasvim
točno nije naravski ni ovo moguće). Ako se dalje u pogledu samoga
oblika prepustimo čistom slučaju, onda postoje svi uslovi za
to, da pogreške u izboru primjernih stabala imaju slučaja n karakter,
kakav se od njih zapravo) i traži.


Mi možemo naravski da i ovdje dopustimo čistom slučaju naj šir
u mogućnost. Možemo naime da izabiremo primjerna stabla be z
il kakov a obzira na debljinu i visinu srednjeg stabla, t. j. da ih izabiremo
sasvim na slijepo (sa zavezanim očima). Na taj način
mogu eventualno da medu primjerna stabla dođu i «+abla sa posv e


574




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 19     <-- 19 -->        PDF

greška mjerenja može da segne sve čak do u beskonačnost (e = + ce),
a to je očito u golemoj protivnosti sa stvarnošću.


Ne mogu da ulazim u ispitivanje razloga tome pojavu. Tek ću da
primijetim, da taj pojav stvara zapravo dojam, kao da nam je iznos mjerene
veličine nepoznat potpuno, a ne tek s čisto detaljnog
gledišta. Drugim riječima, on stvara dojam, kao da se dotična veličina
mjeri sasvim na s 1 i j e p o (sa zavezanim očima) i kao da nam je
pri tom potpuno nepoznato, gdje dotična veličina uopće počinje
i dokle s e ž e, t. j. gdje prestaje. Jer pogreške, koje bi sezale
sve do u beskonačnost, mogu kod mjerenja izvjesne veličine (recimo dužine)
da se zamisle samo uz ovaj uslov posve bezgranične slučajnosti.
Taj je dakako pri mjerenjima bilo koje vrste posve nemoguć, pa
stoga Q a u s s o v zakon u pogledu granic a za varijabilnost pogreške
stoji u golemoj suprotnosti sa stvarnošću.


Uza sve to mnogobrojna iskustva pokazala su, da Q a u s s o v zakon
inače (tj. izuzevši ove granic e pogrešnosti) odgovara stvarnosti
u glavnom sasvim dobro. S druge opet strane mogućnost sezanja pogrešaka
sve do u beskonačnost ima i po njemu samo čisto teoretsko
značenje. Praktički su naprotiv i po njemu zapravo već sasvim isklju čen
i svi onil iznosi pogrešaka, koji stoje izvan izvjesnih čist o ko načnih
, razmjerno čak i dosta uskih granica. A to i jest baš radi toga,
što mi pri obavljanju izmjera faktičn o znam o i približan iznos
i početak i svršetak veličine, koja se mjeri, te što se radi toga slučaj nos
t pojedinih rezultata izmjere giblje zapravo samo u vrl o uski m
granicama.


Krivulja , koja predstavlja spomenuti G a u s s o v zakon, sasvim
je dakako pravilna i prema ordinatnoj osi simetrična. Ona međutim
predstavlja samo tzv. graničn i (teoretski) oblik, koji u zbilji ne može
nigda da se postigne, jer u zbilji nije moguće tjerati sa brojem opservacija
sve do u beskonačnost. Z b i 1 j n e krivulje vjerojatnosti mogu dakle
kod bilo kakovih opservacija da budu samo više ili manje nepravilne
i nesimetrične.


3.
Kako sad u pogledu vjerojatnosti pogrešaka stoji stvar pri kubisanju
sastojine s pomoću primjernih stabala?


Z b i 1 j n a sastojinska drvna masa, koja nam je prije kubisanja
svih stabala u sastojini još nepoznata, može — analogno izrazu
pod (2) — da se takođe r izrazi putem aritmetičke sredine. Ova sredina
glasi:


Razlika između ov e posljednj e aritmetičke sredine i one pod (2)
samo je u tome, što se ova posljednja odnosi, kao što vidimo, na
sv a stabla sastojine (N), a ona prva samo na primjerna stabla
(n). Ova posljednja može dakle da se označi kao totaln a aritmetička
sredina za razliku od one prve, koja izlazi kao parcijaln a aritmetička
sredina.


573




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 18     <-- 18 -->        PDF

ustanoviti n puta drvnu masu same sastoji ne i kao kad bism
o nakon toga po formuli (2) obrazovali aritmetičku sredinu od samih
tih sumarni h opservacionih rezultata.


Tu se dakle n e m o ž e da govori o izvjesnoj i (prema Lorevu)
nepotpuno j analogiji sa izmjerom kakove geodetske veličine putem
aritmetičke sredine, već o potpuno j analogiji. Potpunost analogije
očita je naročito još s obzirom na činjenicu, da i metoda najmanjih kvadrata
predviđa sasvim općenito slučajeve, u kojima se n e mjeri
opetovano cijel a kakova veličina, već samo (u smislu formula pod (l) )
izvjestan dio te veličine.


Vidjesmo dakle, da obrazovanje aritmetičke sredine (bilo u ovom
ili u onom obliku) daje kubisanju sastoji ne s pomoću primjernih
stabala pun u analogiju sa ponavljanom izmjerom geodetsk e kakove
veličine. Ali koja činjenica podaje bilo geodetskom bilo sastojinskokubikacionom
opservatoru izvjesno, veće ili manje pravo na obrazovanje
aritmetičke sredine?


Radi odgovora na ovo pitanje moram malko da prijeđem na područje
teorije pogrešaka i njihove vjerojatnosti.


2.
Kao što je poznato, pogreška u bil o kakovo j izmjeri može
kadšto da nastane sasvim prostom zabunom. No kontrolnim
izmjerama mogu ovakove pogreške lako da se otkriju, pa stoga u teoriju
najmanjih kvadrata ni ne spadaju. Ako se one stoga puste iz vida,
onda se pogreške pri izmjeri geodetsk e kakove veličine mogu (kao
što je poznato) da svrstaju u dvije skupine. To su:


a) Pogreške poznate pod imenom pravilnih ili sistematski
h pogrešaka. One se očituju uvijek samo u istom smjeru, dakle ili
samo u smjeru pozitivnom ili samo u smjeru negativnom. I one međutim
mogu u glavnom da se odstrane dijelom već za vrijem e mjerenja,
dijelom pak poslij e mjerenja.


b) Pogreške poznate pod imenom neizbježivih, nepravilnih
ili slučajnih pogrešaka. Slučajnima one se nazivaju,
jer su im uzroci razni neizbježivi slučajevi, koji se dešavaju
prigodom mjerenja i kvare rezultate mjerenja stvarajući pogreške sad
u ovom, sad u onom smjeru. Ove pogreške imaju stoga poznato svojstvo,
da se u glavnom pokoravaju tzv. Gaus sovom zakonu o vjerojatnosti
ili bolje o distribuciji pogrešaka, t. j. zakonu


Prema ovom je zakonu makar koja pozitivn a pogreška {-\-L)


jednako vjerojatna kao i isto tako velika, ali negativn a pogreška
(— L). Prema njemu je nadalje pogreška L = o najvjerojatnija. Naprotiv
svakoj drugoj pogreški (bilo pozitivnoj ili negativnoj) pripada sv e
t o manj a vjerojatnost, što je veća sama pogreška. A to je sve i u
suglasju sa iskustvom.


No ovaj zakon ima i jednu naročitu karakteristiku, koja je u pro tivnosti
sa iskustvom. Po njemu naime — sve i kod sasvim
običnih, pa i vrlo malenih veličina — izgleda, kao da po


572




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 17     <-- 17 -->        PDF

II. DRVNA MASA SASTOJINE KAO OBJBKT PONAVLJANIH
OPSERVACIJA
Naslov ovoga poglavlja izgleda možda malo čudan. Jer zaista
malo je čudno govoriti o ponavljanim opservacijama s a s t o j i nske
drvnemase, kad bi lako mogla da se apsurdnom označi i s a m a
pomisao na to, da se jedna te ista sastojina kubiše po više
puta , pa onda iz rezultata svih tih pojedinačnih kubisanja da se obrazuje
aritmetička sredina. No zapravo ...mi ipak u glavnom činim
o tako , kad drvnu masu sastojine ustanovljujemo s pomoću izvjesnog
broja primjerno-stabaonih drvnih masa. Da bismo se o tome
osvjedočili, predstavimo si, da smo izabrali il kubisali svega n primjernih
stabala. Njihove drvne mase neka budu vu v2,- -vn. Svaka od tih
drvnih masa može sad samazasebedase pomnoži sa ukupnim brojem
stabala u sastojini, t. j. sa ..(>.). u tom slučaju svaki od tih produkata,
t. j .


Fs == Nv2


(1)
Vn = Nv„


predstavlja sa m za seb e jednu više ili manje točnu opservaciju c i-
j e 1 e sastojinske drvne mase.
Obrazujmo sada iz tih sumarni h opservacionih rezultata aritmetičku
sredinu, t. j .


A = Z±Il+^L±lz. (2)


n
S obzirom na desne strane pojedinih izraza pod (1) prelazi ova sredina
automatski dalje u formulu:


». +%+ + Vn )


A — N


(3)
— N-a
Kao što dakle vidimo, izraz


0 = iL±V+l^-+ B» (4)


n


nije ništa drugo, već aritmetička sredina od drvnih masa svi h p r i-
m j e r n i h stabala. S druge opet strane vidimo, da formula (3),


t. j . osnovna formula za kubisanje sastojina s pomoću primjernih stabala,
predstavlja zapravo samo jedan preinačeni i dakako praktičniji
obli k formul e (2). Praktičniji je on (kao što se vidi) u toliko, što
nam prišteduje n — 1 multiplikaciju.
Mi prema tome, uzimajući prema formuli (4) aritmetičku sredinu
od svih primjerno-stabaonih drvnih masa i množeći po formuli


(3) tu sredinu sa ukupnim brojem stabala u sastojini!, činimo
zaista u stvari isto, kao kad bismo po formulama pod (1)
571




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 16     <-- 16 -->        PDF

Ovaj L o r e y e v sud bio je, izgleda, jednim od glavnih razloga,
da teorija najmanjih kvadrata nije sve do u najnovije doba našla pun u
primjenu pri kubisanju sastojina s pomoću primjernih stabala. Tu i! tamo
bila je ona doduše, sve i poslije ovog Loreyevo g zaključka, primjenjivana
na neke specijalne dendrometrijske zadatke, pa i na samo izračunavanje
točnosti. No to je primjenjivanje bilo tek fragmentarno i v a n
toga nije se išlo ništa dalje. Istom Tischendor f u svome djelu »Lehrbuch
der Holzmassenermittlung« primijenio je metodu najmanjih kvadrata
skoro u punom opsegu, i to ne samo na kubisanje sastojina s pomoću
primjernih stabala, već i na kubisanje pojedinih stabala
— kako u osovnom tako i u oborenom stanju. Nas međutim može
ovdje da interesuje samo primjena njezina na kubisanje sastojin a


— i to s pomoću konkretnih primjernih stabala.
T i s c h e n d o r f se pri toj primjeni metode najmanjih kvadrata
ne osvrće uopće na spomenutu Loreyev u izjavu, da bi se ova metoda
u cilju primjene na kubisanje sastojina s pomoću primjernih stabala
trebala svrsishodno da m o d i f i c i r a. Po mojem je pak mišljenju
dotična Loreyev a izjava svakako opravdana. Iz onog prvog L or
e y e v o g razloga izlazi naime sasvim očito, da sa povećavanjem
broja primjernih stabala mora pogreška sastojinskog kubisanja da pada
svakak o brže , nego pogreška aritmetičke sredine, koja izlazi iz ponavljanih
izmjera geodetske kakove veličine. A ova očita principijelna
razlika ne mož e da se ne uzme u obzir, kad se radi o kubisanju sastojine
s pomoću konkretnih primjernih stabala.
Prv i dakle razlog, što ga L o r e y navodi za opravdanje svoga
mišljenja o potrebi spomenute modifikacije, sasvim je opravdan. Ne može
to isto da se rekne i o onom drugo m njegovom razlogu. Istina je doduše,
da je veličina primjernog stabla dadena neizmjenjivo , dok
je naprotiv apsolutni iznos pojedine geodetsk e opservacije varija bilan
. No (za čudo) L o r e y ovdje pušta iz vida činjenicu, koju inače
oštro drži u vidu, t. j. činjenicu da nij e izmjer a pojedinih primjernih
stabala glavni sastavni dio opservacija pril kubisanju sastojine s pomoću
primjernih stabala, već da je to i z b o r spomenutih stabala. A taj izbor
ima očito sličan efekt kao i pojedina opservacija geodetske kakove
veličine.
L o r e y je eto iznio potrebu spomenute modifikacije, ali je nije
izvršio ni on sam niti tko poslije njega. Ova modifikacija predstavlja
dakle problem još otvoren. Taj problem glavnim je predmetom ovih
mojih razmatranja. No prije nego što pristupim k njegovu rješavanju,
moram spomenutu analogiju, na koju L o r e y ukazuje samo nepotpuno,
da pokažem u punijem opsegu. Osim toga morat ću u tu svrhu da izvršim
neka pripremna razmatranja.2


* Naknadna pripomena. Po dovršetku predavanja upozorio me jedan bugarski
kolega (g. ing. Sir ako v) na članak »A. Langsaeter : Höhenanalyse von Versuchsflächen
mittels stehender Probestämme«, štampan u knjizi »Verhandlungen des
Internationalen Kongresses forstlicher Versuchsanstalten, Stockholm 1929«, strana 222—
228. Iz toga članka razabrao sam, da i Langsaeter (slično kao i L o r e ., pa također
i iz sličnih razloga) uviđa potrebu ovakove modifikacije. Langsaete r ujedno
i izvršuje na spomenutom mjestu ovakovu modifikaciju (»korekciju«). Samo je, kao
što ćemo još vidjeti, njegova modifikacija neispravna. Dotičnom bugarskom kolegi
zahvaljujem se na tome upozorenju.
570




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 15     <-- 15 -->        PDF

mišljenju bila namijenjena (kao važno pomoćno sredstvo) samo potrebama
astronomije, fizike i geodezije. Ipak se već u drugoj polovici prošlog
stoljeća počinju za nju pomalo interesovati i šumarski stručnjaci,
ma da su prema njezinoj upotrebivosti u samom šumarstvu bili
još više ili manje skeptični. Tako L o r e y u svome djelu »Über Probestämme
« ističe na strani 41, da kubisanje sastojine s pomoću primjernih
stabala, iz čijih se drvnih masa obrazuje aritmetička sredina,
pokazuje izvjesnu analogiju sa ustanovljivanjem kakove geodetsk
e veličine, koja se u tu svrhu više puta uzastopce mjeri, da bi
se onda iz rezultata ovih ponavljanih opservacija obrazovala aritmetička
sredina. Ali odmah iza toga veli L o r e ., da ta analogija nije potpuna
. Za potvrdu ove tvrdnje iznosi on odmah i dva razloga, koji da
govore protiv te analogije (str. 42 i 43).


Prvi od ta dva razloga bio bi u glavnom ovaj:


Pri izmjeri kakovog kuta može broj ponavljanih opservacija, pa
prema tome i točnost dotične aritmetičke sredine da se poveć a sasvim
po v o 1 j i, a da se pri tom z b i 1 j n i iznos toga kuta ipak n e
postign e n i g d a. Naprotiv, pri kubisanju sastojine s pomoću primjernih
stabala ne mož e broj pozicija u aritmetičkoj sredini da se p o-
v e ć a sasvim po volji, jer on ne može da premaši broj stabala,
koji se u sastojini uopće nalazi. Uza sve to — ističe dalje Lorey


— ako se kubišu sva stabla sastojine, onda bezuslovno kao sumarni
rezultat toga kubisanja izlazi z b i 1 j n a drvna masa sastojine, a
n e više približa n kakav iznos, kao što je to slučaj pri ponavljanoj
izmjeri kuta.
Kao što vidimo, Lore y ovdje (pa i drugdje u spomenutom svome
djelu) drži u vidu samo pogreške, kojima je razlog u pogrešno m
izboru primjernih stabala, a p uš ta iz vida pogreške u k u-
b i s a n j u tih stabala. To je ovdje i sasvim opravdano, jer ako se primjerna
stabla (prema općem običaju) najpreciznije kubišu u oborenom
stanju, onda pogreške u njihovu kubisanju upravo iščezavaju
prema pogreškama u njihovu izboru . One prve pogreške prema ovim
posljednjima kao da uopće ni ne postoje. Stoga se ovdje sav
naš interes i obraća baš samo na izbo r primjernih stabala, pa druge
kakove pogreške — osim pogrešaka u tom izboru — ne dolaze ovdje
uopće ni u obzir.


Drugi L o r e y e v razlog protiv spomenute analogije bio bi u suštini
ovaj:


Ne mož e svak o primjerno stablo da zaista predstavlja aritmetičku
sredinu od svi h stabala. Veličina pojedinog primjernog stabla
d a d e n a je neizmjenjivo, pa nju stoga ma i najveća točnost
izmjere ne može da primakne n i š t a b 1 i ž e k zbiljnom srednjem stablu.
Naprotiv svak a pojedin a opservacija kakovog kuta ne mora doduše,
ali mož e da dade z; b i 1 j n i iznos toga kuta kao rezultat. Stoga
se razlike u drvnim masama, što ih pojedina stabla pokazuju prema aritmetičkoj
sredini, n e m o g u da posmatraju sa isto g gledišta kao i v a-
r i j a b i 1 n e pogreške geodetskih opservacija.


Iz spomenutih dvaju razloga drži L o r e ., da se na kubisanje sastojina
s pomoću primjernih stabala ne mož e metoda najmanjih kvadrata
i račun vjerojatnosti da primijeni be z d a 1 j n j e g a, te da bi u tu
svrhu bile potrebne izvjesne modifikacije spomenute metode.


569




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 14     <-- 14 -->        PDF

Pri postavljanju tih metoda išlo se dakle zapravo samo za tim.
kako bi se uz što manji potrošak vremena, truda i novca postigla maksimalno
moguća točnost ili — što je isto — minimalno moguća pogrešnost.
II tom nastojanju puštano je sasvim iz vida drugo jedno važno pitanje,


t. j. kako da se u svakom pojedinom sastojinsko-kubikacionom slučaju
ustanovi približno i sam s tepen točnosti, koja je postignuta baš
u tom istom slučaju.
Neću time da kažem, da se u dendrometriji sve do u najnovije doba
nije uopće ni polagala važnost na konkretne podatke u pogledu točnosti,
koja može da se postigne po ovoj ili po onoj metodi, pod ovim ili onim
prilikama. Baš protivno. Interesa za ovo pitanje bilo je u dendrometriji
sasvim dosta. O tom svjedoči posve znatan broj komparativnih opažanja
u pogledu sastojinske drvne mase, koja izlazi s jedne strane kao
rezultat kubisanja svi h stabala sastojine i k tome u oboreno m stanju.
Takova opažanja vršila su se sve čak do u najnovije doba, dok se
napokon nije počelo da dolazi do osvjedočenja, da je vrijednost ovakovih
opažanja zapravo vrjo neznatna, te da ni izdaleka ne opravdava onoga
truda i troška, koji je s njima skopčan. Na osnovi takovih opažanja
može naime neki (kakav takav) sud u pogledu sastojinsko-kubikacione
točnosti da se stvori tek u vrlo širokim granicama i taj sud
ni izdaleka ne mora da bude mjerodavan u pojedinom konkretno
m slučaju sastojinskog kubisanja.


Stoga se u najnovije doba ide za tim, da se kubisanje sastojina
osloni na tzv. teoriju najmanjih kvadrata, koja nas stavlja
u mogućnost, da za svaki pojedini slučaj sastojinskog kubisanja
ustanovimo (s većom ili manjom točnošću) ne samo drvn u mas u
sastojine, već i sam stepen točnosti postignute baš u tom istom
slučaju.


Ovo dakako ne znači, da bi se pod utjecajem teorije najmanjih kvadrata
morale da napuste sve naše dosadanje sastojinsko-kubikacione
metode. Ove naime stare naše metode i nisu zapravo ništa drugo, već
više ili manje precizno primjenjivanje istog onog osnovnog principa, na
kojem je u glavnom osnovana i teorija najmanjih kvadrata, tj. principa
aritmetičke sredine.


Princip aritmetičke sredine bio je primjenjivan i u nauci i u praksi
već dosta dugo prije rođenja dendrometrije. Bio je primjenjivan u svim
onim slučajevima, kad je trebao da se odredi više ili manje točan iznos
za kakovu veličinu, koja može na bilo koji način da se mjeri. Opazilo
se naime, da ako se ovakova veličina viš e put a izmjeri s pomoću
istog instrumenta, .. isti način i sa istom pomnjom, da onda redovno
svaka pojedina izmjera (opservacija, opažanje) daje za tu veličinu d r u-
g a č i j i iznos. Na osnovi toga iskustva došlo se naskoro do osvjedočenja,
da aritmetička sredina svih tih međusobno više ili manje različitih
iznosa predstavlja najvjerojatnij i iznos dotične veličine. Dosta
vremena trebalo je ipak da protekne, pa da G a u s s izvede iz toga principa
cijelu jednu opsežnu nauku, poznatu r>od imenom »teorija najmanjih
kvadrata«. Q au s s je tu nauku osnovao baš poprilici u ono doba, u koje
padaju i prvi počeci šumarske nauke uopće, pa i dendrometrije napose.


Naravski da ondašnji šumarski stručnjaci — zaokupljeni još p r-
v i m osnovim a šumarstva i šumarske nauke — nijesu mogli da posvećuju
pažnje i toj Gaussovo j nauci, koja je prema ondašnjem


568




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 13     <-- 13 -->        PDF

Prof. Dr. A. LEVAKOV1Ć (ZAGREB);


O SREDNJE MOGUĆOJ POGREŠKI PRI
KUBISANJU SASTOJINE*


(SUR L´ERREUR MOYENNE DU CUBAGE D´UN PEUPLEMENT)


I. UVOD
Drvna masa (drvna sadržina) s a s t o j i n e sastavljena je, kao što
je poznato, od većeg ili manjeg broja pojedinačni h sadržinskih iznosa
t. j . od toliko tih iznosa, međusobno više ili manje različitih, koliko
u sastojinü uopće ima stabala. Kad bismo dakle mogli da kubišemo uop ć
e sv a stabla sastojine i kad bi svak o od tih stabala bilo kubisano
posve točno, ond a bi se tek moglo da rekne, da je rezultat kubisanja
sastojinskog posve točan.


No mi na žalost nismo u stanju ni da sasvim točno kubišemo kojegod
zasebice uzeto stablo, pa radi toga ne možemo naravski da dobijemo
posve točan rezultat ni za cijelu sastojinu. Mi čak (iz praktičkih
razloga) ne možemo uopće ni da podvrgnem o detaljnoj kubikacionoj
izmjeri svak o pojedin o stablo sastojine. U tom pogleda moramo
nužno da se ograničimo na izvjestan, veći ili manji broj tzv. pri mjernih
(modelnih) stabala i da tek s pomoću kubikacionog
rezultata dobivenog na tim primjernim stablima stvaramo izvjestan, više
ili manje pouzdan sud u pogledu drvne mase za cijelu sastojinu.


Zaslugom znatnog broja i bivših i sadanjih stručnjaka mi danas
imamo već sasvim priličan broj metoda za kubisanje sastojina s pomoću
primjernih stabala, bilo to s pomoću stabala konkretnih , bilo pak
s pomoću stabala apstraktnih . Većina tih metoda može, već prema
prilikama, da dade i vrlo točne rezultate. Kod onih pak metoda, koje
rade sa tzv. konkretni m primjernim stablima, može točnost4 da se
po volji i povećava, što u glavnom zavisi od broja upotrijebljenih primjernih
stabala.


No sve do u najnovije doba cilj je ovim metodama zapravo sam o
jedan , t. j . da omoguće, kako bi se sumarni rezultat sastojinskog kubisanja
uz što manje truda i troška što jače približio k faktičnom
stanju.


* Predavanje održano dne 10.—13. juna 1936. na Poljoprivredno-šumarskom
fakultetu univerziteta u Sofiji. Gosp. prof. Ing. Vasi l Stojano v preveo je ovo
predavanje naknadno na bugarski, te je ono u tom prijevodu štampano u časopisu
„.....-..... ......", broj 2—4 od ove godine. No kao što gotovo nijedan prijevod
nije prava slika svoga originala, tako je to i u ovom slučaju. Prijevod je, može se
reći, vrlo dobar, no unatoč toga dosta autorovih misli ispalo je u prijevodu prilično
nejasno, ako se i ne uzmu u obzir štamparske pogreške i u tekstu i u formulama. Osim
toga autor je na nekoliko mjesta ponešto izmijenio i dopunio prvobitni svoj sastavak,
pa će dakle i u tom pogledu biti ovdje ponešto razlike. Izmjene i dopune nalaze se
u samom tekstu i ne odnose se na »naknadne pripomene«, koje su štampane sub linea,
te se nalaze i u prijevodu.
567




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 38     <-- 38 -->        PDF

procentu upotrijebljenih primjernih stabala. Drugim
riječima može također (unutar spomenutih granica) da se rekne, da je
preciznost formule (62) približno za upravo tolik procenat veća od preciznosti
formule (63), koliko iznosi procenat upotrijebljenih primjernih
stabala. Naprotiv nam zadnja rubrika tabele veli, da bi kod 10%-nog
broja primjernih stabala preciznost formule (62) bila nadmoćnija od preciznosti
formule (63) već za punih 11%.


V. ZAKLJUČNA RAZMATRANJA
1.
Izvod formule (62) osnovan je, kao što vidjesmo, na supoziciji, da
u pojedinom epsilonskom intervalu im a i p o viš e epsilonskih iznosa
praktički međusobno jednakih. Međutim može lako da se desi, da
ova supozicija i ne odgovara stvarnosti. U starijim sastojinama i sa nevelikim
brojem stabala gotovo je i nemoguće naći dva stabla sa praktički
jednakim drvnim masama. Tu će onda jednadžba (28) važiti jamačno
za svak i epsilonski interval. Uza sve to dozvoljavaju i ovakove sastojine
sasvim strog izvod formule (62), jer spomenuta supozicija
nije baš potrebna za izvod ove formule. Taj naime izvod sasvim
je lako moguć i onda, ako svakom pojedinom u sastojim konkretno


zastupanom epsilonskom iznosu pripada samo vjerojatnost -.. čak je u


ovom slučaju taj izvod još i lakši. Jednadžbe (34) i (51), koje se — kao
što vidjesmo — osnivaju na supoziciji svega samo četiriju intervala
[jednadžba (24)], reduciraju se uz uslov jednaki h epsilonskih vjerojatnosti
(-JTj na mnogo jednostavnije izraze, t. j .


N(N (*. + ^)2 + & + f8)2 + (*, + ^ + (f. + *S)2 +


+ te + *J2 + (f. + .)1 (71)
dotično:


[ef 6 (. + . + e3)2 + te + e2 + *,) +


N{N—J)(N -2)


+ te + *. + o2 + te + L3 + o« (72)
Uza sve to izlaze odovud spomenute formule (41) i (58). Jednadžba


(71) prelazi naime u jednadžbu
2


\sV =— 2 ( V 4-fo_2 + Lg2 + ^) + (Li2 _J_ ,22 _|_ .>. _|_ ^) _|_


N(N— 1)


+ 2 (e, f2 + e, e8 -4-st e4 -f-L2 .8 + e2 e4 -f cs et)j . . . (73>
a odovud, ako se izraz, što ga predstavljaju zadnje dvije parcijalne sume,
postavi na osnovu formu, izlazi:


592




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 41     <-- 41 -->        PDF

rekoh ranije) da segne sve čak do u beskonačnost. Naprotiv prema ovoj
čisto algebarskoj vjerojatnosnoj funkciji n e mož e pogreška mjerenja
da prekorači izvjesnu još sasvim konačnu granicu (± a), jer već
pogreška, koja bi bila jednak a toj granici, dobiva za vjerojatnost
iznos 0. U tom dakle pogledu ova algebarska funkcija odgovara stvarnosti
kud i kamo bolje od Gaussov e (eksponencijalne) funkcije. Ona
ujedno može da se prilično dobro upotrijebi i za spomenutu demonstraciju,
koju ću sada da izvedem. U tu svrhu izračunat ću s pomoću ove
funkcije srednji kvadrat svih onih epsilonskih iznosa, koji se nalaze između


— -r i +., gdje k ima (prethodno) da predstavlja kojigod iznos veći


od 2.
Taj srednji kvadrat ima analitički oblik:


t-^lfi+11 -*)*9 (84)


Po izvedenju ove integracije kao i po izvedenju izvjesnih jednostavnih
transformacija dobiva se odovud:


1 i|5i 3 a Q


(5)
*#.*. ni—2Y´..


Ako se naprotiv stavi


+ «
4 = :žrf ^1--L}<*« (86)


4a I \ a2


onda na sličan način izlazi:


. = -^-(87)


Izraz (86) predstavlja analitičk i istu onu veličinu, što je
aritmetičk i predstavlja izraz (81). To je naime srednji od svih
prema jednadžbi (83) uopć e mogući h epsilonskih kvadrata, kojih
se dakle linearni iznosi nalaze između — a i + a. Naprotiv izraz (84)
predstavlja analitički onu veličinu, što je aritmetički predstavlja izraz
(82). To je naime aritmetička sredina samo od svih onih epsilonskih
kvadrata, kojih se linearni iznosi nalaze između uži h granica


a . . a
Kao što dakle vidimo, izrazi (86) i (81) predstavljaju totaln u
srednju kvadratnu pogrešku, dok izrazi (84) i (82) predstavljaju par cijaln
u srednju kvadratnu pogrešku. I pošto je prema prethodnoj
supoziciji k > 2, to parcijalna srednja pogreška prema izrazu (85) mora
da bude manj a od totalne srednje pogreške prema izrazu (87).


Neka je sad k = 10, što znači, da je najveći epsilonski iznos iz
formule (84) deset puta manji od a. U tom nam slučaju formula (85) daje
iznos:


595




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 42     <-- 42 -->        PDF

1 3


. .. -== (88)


~ 100 °~2Ö


V5


6


Zanemarimo li ovdje iznos kao vr malen prema iznosu 25,


20"
onda odovud izlazi:
1 a


u = (89)


20
´i o znači: ako su svi epsilonski iznosi, čiji kvadrati sačinjavaju parcijalnu
/ a . , a
aritmetičku sredinu pod (84), zatvoreni unutar granica—...1_´_....´


onda prva potencija te parcijaln e aritmetičke sredine iznosi te k


jednu dvadcsctinu ("STT) prve potencije pripadne totalnoj


aritmetičkoj sredini (86).


Ovaj primjer ne smije naravski da se shvati skroz doslovno,
već tek kao izvjesna ilustracija spomenute činjenice, t. j. da
parcijaln a srednja kvadratna pogreška pri kubisanju sastojine na«
spomenut način m o r a da bude mnogo manja od totalne srednje
kvadratne pogreške. Faktično parcijalna srednja pogreška i odgovara
ovdje mnogo bolje zbiljnom stanju stvorenom time, što se primjerna
stabla ne odabiru na slijepo, već s obzirom na dimenzije srednjega stabla.


Isto ovo važi i za formulu (62), ako se u njoj ,w2 zamijeni sa /**
prema formuli (82). Drugim riječima: ako se primjerna stabla izabiru
s obzirom na dimenzije srednjeg stabla, onda srednja
pogreška parcijalne aritmetičke sredine izlazi (uz inače jednake okolnosti)
kao mnog o manja , nego pri izboru primjernih stabala be z
obzir a na dimenzije srednjeg stabla. A to je i stara i dobro poznata
istina, radi koje se primjerna stabla već od rođenja dendrometrije izabiru
na ovaj oprezni način.


Međutim i formula (82) isto tako kao i formula (81) ima samo izvjesno
teoretsk o značenje. Praktički se ne da iskoristiti ni jedna
ni druga, a razlog je tome nemogućnost poznavanja bilo kojeg epsilonskog
iznosa bez eventualnog oborenja i kubisanja svi h stabala u sastojim.
No teorija najmanjih kvadrata pozna za formulu (82) izvjesnu,
vrlo dobru doknadn u formulu. U toj formuli dolaze do izražaja izvjesne
pogreške, koje uvije k i lak o mogu da se ustanove. To su
tzv. prividne pogreške pojedinih faktično izvedenih opservacija,
t. j . diferencije između parcijalne aritmetičke sredine pod (2)
s jedne i sastavnih joj dijelova s druge strane, dakle:


Vl = A - F,


(90)
. = A — V


´n 1


Kao što je poznato, spomenuta doknadna formula glasi:


i*= ´1.-..*-.-.^... (91)


n — 1
i ne razlikuje se dakle znatno od formule (82)


596




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 43     <-- 43 -->        PDF

Vidjesmo etö, koju prednost ima upotreba primjernih stabala u
formi približno srednjih stabala. Uza sve to ni uzimanje primjernih
stabala između stabala udaljeni h od sastojinskog srednjeg stabla
n e m o r a baš da nam dade rezultat lošiji nego u prednjem slučaju. Čak
je kadšto i bolje, ako se primjerna stabla uzimlju i iz drugih debljinskih
skupina, više ili manje udaljeni h od debljine sastojinskog srednjeg
stabla. No u tom slučaju moraju primjerna stabla da se približuju ba rem
srednjim stablima svojih skupina.


Kako se u ovakovi m slučajevima može što bolje da ustanovi
stepen pogrešnosti prouzročene pogrešnim izborom primjernih stabala,
to je pitanje ponešto drugačije. Ono je doduše već bilo predmetom dendrometrijskih
studija (T i s c h e n d o r f), ali u vezi sa spomenutom, za
nas ovdje neispravnom Gaussovo m formulom. Osim toga može ono
da se uzme u razmatranje sa gledišta bitno različitog od gledišta, s kojega
polazi Tischendorf. Ja ga međutim za sada puštam s vida.


CITIRANA LITERATURA.


1. L o r e y T., Über Probestämme, Frankfurt 1877.
2. Tischendor f W., Lehrbuch der Holzmassenermittlung, Berlin 1927.
3.
Langsaete r A., Höhenanalyse von Versuchsflächen mittels stehender Probestämme,
Stockholm 1929 (Verhandlungen des Internation. Kongresses forstlicher
Versuchsanstalten).
4.
K o z â k J., Theorie des Schiesswesens auf Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung
und FeMertheorie, Wien-Leipzig 1906.
5. P o i n c a r e H., Calcul des probabilités, Paris 1912.
6. Bore l E., Eléments de la théorie des probabilités, Paris 1924.
7. C zu b er E., Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin-Leipzig 1924.
-8. H e 1 m e r t F. R., Die Ausgleiehungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate,
Leipzig-Berlin 1924.


RÉSUMÉ.


La précédente étude a été l´objet de quelques leçons tenues par l´auteur le
10 a 13 juin 1936 dans la Faculté agronomo-forestiere, section forestiere, de l´Université
a Sofia.


L´auteur traite ici le probleme de la détermination du moyen carré de l´erreur
pouvant se trouver dans le résultat final du cubage d´un peuplement, si ce meme
cubage a été effectué au moyen des »arbres d´ e is s a i« ayant, comme
on le sait, a représenter le peuplement entier. Il ne s´agit ici donc que des
erreurs dues exclusivement a un choix incorrect des tiges
d´ e s s a i.


D´apres les données actuelles de la théorie des moindres carrés, ledit carré
moyen serait représenté par la formule (63) ou n signifie le nombre des arbres d´essai


choisis et abattus; p? est le carré moyen d´apres la formule (40), c´est-a-dire la
moyenne arithmétique des carrés de toutes les erreurs individuelles, dans le peuplement
tout a fait possibles.
L´auteur, au contraire, s´appuiant sur les regles du calcul des probabilités totales
et composées (ces dernieres sous la seule possible supposition des événements indépendants
l´un de l´autre) déduit une formule ayant a remplacer la formule (63) dans
tous les cas ou le cubage du peuplement s´effectue de la maniere mentionnée ci-dessus.


597




ŠUMARSKI LIST 10-11/1937 str. 44     <-- 44 -->        PDF

Cette autre formule, c´est la formule (62) ou n et .2 ont la signification déja mentionnée
et ou N signifie le nombre de t o u s les arbres faisant partie du peuplement sous cubage.


Comme on le Voit et comme l´a déja, mais par mots seulement, souligné L o r e y
(No. 1, ip. 41 et 42), notre formule (62) nous dit que, si tous les arbres du peuplement
nous ont servi des arbres d´essai (n = N), l´erreur finale du cubage du peuplement,
due seulement au choix des arbres d´essai, s´égalise alors completement a zéro ce qui
n´est pas le cas d´apres la formule (63).


C´est aussi par Langsaete r que la meme pensée, dans une autre forme
cependant, a été exprimée et meme vetue d´une vraie formule (page 226 de l´article cité
sous No. 3, article sur lequel l´attention de l´auteur fut tirée, apres lesdites leçons, par
un collegue bulgare). Mais cette formule de Langsaeter , quoique semblable sn
quelque sorte a la présente formule (62), n´est tout de .meme pas correcte. De plus,
elle ne fut que tout simplement posée sans aucune explication déductive ni développement.


Quant au cours que prend le développement de la formule (62) par l´auteur et
quant a quelques autres questions faisant partie du présent probleme, l´auteur renvoie
a cet égard a la »Lessovodska Missal«, revue forestiere bulgare, ou cette étude (en.
traduction bulgare et sous le titre secondaire Ȇber den bei der Bestandeskubierung
zu befürchtenden mittleren Fehler«) a été imprimée dans les Numéros 2—4 de cette
année. Dans le No. 4 elle a été accompagnée d´un résumé détaillé en langue allemande.


Mais, a l´égard de ladite traduction bulgare l´auteur doit souligner que, dans
quelques formules de cette traduction qui (toutes) sont numérotées de la meme maniere
qu´ici-meme, se font voir des fautes typographiques qui ne sont pas a trouver ici.
C´est aussi dans ledit résumé allemand (Zusammenfassung) que se trouvent quelques
fautes typographiques, les principales desquelles doivent ici etre corrigées. Donc, le
type »1« a la fin de la 2em« ligne de l´alinéa 7 de la (»Zusammenfassung« doit etre
transporté dans la fin de la ligne suivante. Le trait d´union a la fin de la 2em« ligne
de l´alinéa 33 doit etre remplacé par le type »r«. Le meme type a la fin de la ligne
suivante doit etre supprimé.


En quelques endroits (par exemple dans les alinéas 33 et 37) se trouvent des
mots »Antiquadrieren« et »Antiquadrierunig«. Sous ces expressions abrégées on ne doit
pas comprendre l´extraction de la racine carrée, mais seulement la réduction du carré
développé d´un polynôme a sa forme u n d é v e 1 o p p é e.


´ 4.


598