DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 43     <-- 43 -->        PDF

je poznato, geometrijsk a sredina nejednakih međusobno iznosa manja je
od aritmetičk e sredine. Aritmetička sredina od izraza nalaznih gore pod
znakom korjena t. j .


100/^+ UV ^ + ^ r ++ i ´ 100,


100/. . l


A = . . (40)


n


može neznatnom transformacijom da se vrlo ujeđnostavni, pa dobiva oblik :


A - i _i_ Pl + ^ d bfe — 1 4_ ^ .4.


4 -M ..." -1 + ".. " ^1´


Ona dakle nije ništa drugo, već za 1 uvećana stotinka Schiffelovog procenta.
Ako sada primijenimo spomenuto pravilo, da je aritmetička sredina veća od
geometrijske, pa ako dosljedno tome postavimo nejednadžbu:


l + _^Ü>(l+ ^ Ü (42)
^ 100 / * \ ^ 100 / { ´
onda iz nje neposredno izlazi :


PS>PL (43)
čime je dakle dokazana prijašnja tvrdnja, da je srednji procenat po Leibnitzu
manji od srednjeg procenta po Schiffelu. Samo na žalost nije moguće formulirati
dotičnu diferenciju tako, da bismo je — kao što je to slučaj kod formule


(30) — mogli izračunati bez poznavanja zbiljnih godišnjih procenata.
Pošto je, kao što vidjesmo iz formule (30), procenat po Turskome manji
od procenta po Leibnitzu, to je on još u jačoj mjeri manji od procenta po
Schiffelu.


Poznato je, da je geometrijska sredina jednaka aritmetičkoj samo u slučaju,
da su svi sastavni članovi tih sredina jednaki međusobno. U takovom dakle
slučaju, t. j . kad bi svi zbiljni godišnji procenti bili međusobno jednaki, dala
bi Leibnitzova formula potpuno isti rezultat kao i Schiffelova. Rezultat
Turskyeve formule naprotiv bio bi i u tom slučaju niži od rezultata onih
drugih dviju formula.


Moja razmatranja u ovom članku mogu da se rezimiraju ovako : Turskveva
formula, baš zato što se osniva na infinitezimalnom računu, može svojoj zadaći


— što se tiče točnosti — da udovolji u slabijoj mjeri nego Leibnitzova
formula, koja među svim praktički upotrebivim formulama drži u tom pogledu
još uvijek prvenstvo.
ZUSAMMENFASSUNG


Der Verfasser behandelt hier die drei bereits bekannten Formeln für das durchschnittlichjährliche
Zuwachsprozent, uzw. die Formel von Schiffe 1, die Formel von Leibnitz und die
Formel von Tursky . Alle diese drei Formeln wurden vom Verfasser in deutschen Zeitschriften
bereits behandelt: die Formel von Schiffe l und Leibnit z im Centralblatt für das gesamte
Forstwesen 1923, S. 209 ff., die Formel von Tursk y im Forstwissenschaftlichen Centralblatt
1927, S. 555 ff.


Hier wird die Formel von Tursk y von einigen ganz charakteristischen Gesichtspunkten
aus betrachtet, welche es ermöglichen, zu zeigen, dass dieselbe in nahen Verwandschaftsbeziehungen
steht einerseits mit der Formel von Schiffe l und anderseits mit der Formel von
Leibnitz , dass sie jedoch diesen zwei älteren Formeln in bezug auf die Genauigkeit etwas
nachsteht.


Theoretisch wird nachgewiesen, dass die Formel von Leibnit z etwas niedrigere Resultate


ergibt als die vollkommen genaue, praktisch jedoch nicht anwendbare Formel von Schiffe l


und dass anderseits die Formel von Tursk y sich zur Formel von Leibnit z in ähnlicher


Weise verhält wie diese selbst zur Formel von Schiffel .


225 u




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 42     <-- 42 -->        PDF

/, + î´ + + î


e*T =«
(33)


Formulu (24), iz koje — kao što vidjesmo — izlazi Turskyeva formula,
možemo dakle da izrazimo i u obliku :


vn =
v0 e*´ + » + +^n . (34)


gdje je dakle w-kratni srednj i procenat (po Turskome) sasvim ispravno
zamijenjen sa sumom od n nejednakih procenata. Formula (24) ne negira
dakle mogućnost nejednaki h procentnih iznosa unutar .-godišnje periode.
Ona tu mogućnost samo prešućuj e zamjenjujući (jednostavnosti radi) nejednake
procente sa konstantnim srednjim procentom.


Na str. 300. Šumar. Lista za 1918. god. pokazao sam, da se konačna
vrijednost kapitala kod dvostrukog (složenog) ukamaćivanja može umjesto
formulom (16) izraziti i formulom:


1+.)(1+.)---{1+.) <35>


u kojoj* na mjesto konstantnog procenta prema formuli (16) dolaze varijabiln
i procenti plt .^, -pn- Prema tome i u formuli (18) može konstantni
.-godišnji prolongacioni faktor 0--\-qL)n slobodno da se zamijeni sa produktom
od n međusobno nejednaki h godišnjih prolongacionih faktora, pa ćemo
dobiti :


v« =
v0(l +qt)(l + qs)- (l + qn) (36)


Iz formula (18) i (36) izlazi pak izraz :


(l + îj n=(l + 2i)(l + ft)----(l + i?.) (37)
dotično, s obzirom na jednadžbu (17), dalje izraz:


*-..*+.*+&)~ 4+-firH-(38)


kao formula za prosječn i godišnji postotak prirasta, koji — kao konstantan



figurira u formuli (18) dotično (16).
Dakle ni formula (18) dotično (16), na kojoj se osniva Leibnitzova formula,
ne negir a opstojnost nejednaki h godišnjih procenata unutar prirasne
periode. I ona tu opstojnost samo prešućuje zamjenjujući (iz razloga jednostavnosti)
nejednake procente sa konstantnim srednjim procentom.


IV. Iz formule (38) izlazi gotovo neposredno jednadžba:
koja nam veli, da stoti dio Leibnitzovog procenta u zajednici sa jedinicom
(lijeva strana jednadžbe) nije ništa drugo, već geometrijska sredina
od izraza sadržanih u srednjem dijelu jednadžbe i građenih sasvim analogno
izrazu na lijevoj strani, ali s pomoću zbiljni h godišnjih procenata. Kao što


* Upozornjem ovdje na štamparske pogreške na toj istoj strani spomenutog godišta Š. L.
(ređ 7 i 8), prema kojima je baš prednja formula (35) dobila na navedenom mjestu iznakazen
oblik t. j . bez zagrada.
224




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 41     <-- 41 -->        PDF

Iz formule (4), t. j . Leibnitzove, izlazi:


Pr n\~V~


1 +w = Vv ^


Ako sad ovu jednadžbu logaritmujemo u naravnom sistemu t. j .


onda se lijeva strana ove zadnje jednadžbe može da razvije u beskonačan red t. j .


== (28)


L°g(1 + W)W-Y(W) + T(W)-T(W) + --


PL


Kako je 1. . kod odraslih stabala i sastojina daleko manje od 1, to ovaj


red konvergira vrlo brzo, tako da je prvi član toga reda veći nego suma svih
ostalih članova, pa čak i onda, ako negativne znakove svuda zamijenimo sa
pozitivnima. Drugi je opet član veći nego suma svih daljnjih članova itd.


Ako ovaj red uvrstimo u formulu (27), onda iz nje nakon jednostavne
transformacije izlazi:


^ = iooLog^il+ioo[A-(^):


1 / Pr. Y , 1


(29)
3 V 100 7 ~ 4 V 100


Kao što vidimo, ova formula u svojoj cjelini predstavlja procenat prirasta po
Leibnitzu, dok prv i član u njoj sadržane sume nije ništa drugo, već procenat
prirasta po Tursky-u [vidi drugu formulu pod (5)]. Diferenciju između jedne
i druge formule daje nam dakle izraz:


1 / PL y 1 ( PL .


10° (30)


PL—PT=+


100 7 3 V 100


Ako nam je poznat procenat po Leibnitzovoj formuli, onda se diferencija


između Leibnitzove i Turskyeve formule može da izračuna s kojomgod mu
drago točnosti. Kao što vidimo, ta diferencija mora da bude pozitivna.


3. Rekao sam malo prije, da se i Turskyeva kao i Leibnitzova formula
(prema drugom njenom izvoduj osniva na pretpostavci, da se kapital ukamaćuje
sa konstantni m procentom. Kako to može da se dovede u sklad sa pojmom
Turskyeve formule kao formule za prosječn i godišnji procenat, kakovom
ona približno izlazi prema prvom izvodu? Evo kako. Prvu varijantu Schiffelove
formule možemo s obzirom na jednadžbu (17) da napišemo i u obliku:
g. + g3 -I ...
(31)
^= n


otkud izlazi :


» % — ii + & ++ % (32)


Antilogaritmovanjem ove jednadžbe u naravnom sistemu logaritama i uz supoziciju
beskonačno velikog broja beskonačno malenih vremenskih jedinica
sadržanih u .-godišnjem intervalu, pa prema tome i uz supoziciju beskonačno
velikog broja članova na desnoj strani jednadžbe izlazi dalje:


223




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 40     <-- 40 -->        PDF

dakle jednogodišnji prolongacioni faktor. Razlika je između ovog izraza i izraza


(1 -j -qL ) iz formule (18) samo u tome, što se prema onom prvom kamati


pribijaju v puta na godinu, a prema ovom drugom samo jedamput godišnje.


Ako se kapital, uz svejednako daljnje v-kratno pribijanje kamata u roku
od godine dana, pusti da raste kroz n godina, onda u smislu formule (18)
mora vrijednost kapitala na kraju n-{> godine da iznosi:


(22>


1 +V 1+v)


Pustimo li sada, da v raste do u beskonačnost, t. j . ako si zamislimo, da se
kamati pribijaju kapitalu na kraju svakog pojedinog beskonačn o kratko g
intervala, onda na poznat način iz ove zadnje formule izlazi poznata jednostavna
formula:


vn — v0 e (23)


gdje je e ( = 2718 ) t. zv. baza naravnih logaritama. Ako nam je u ovoj
zadnjoj formuli pored broja godina (n) i početnog kapitala (v0) zadan još i
procenat (100 qL)-, onda konačni iznos kapitala mora (iz lako shvatljivog
razloga) da bude nešto veći nego po formuli (16) dot. (18). Obruuto opet,
ako nam je zadano sve ostalo, samo ne procenat, onda ovaj iz istog razloga
mora da bude nešto manji nego po formuli (16) dot. (18). Mi ćemo ga zato
sada označiti sa 100 q , pa onda iz zadnje formule izlazi


e . (24)
a odovud opet izlazi za q izraz :


1 v 1 V


?r = —Log^ = -.Log— (25)


iz kojega izlazi direktno Turskyeva formula (5).


Turskyeva dakle formula osniva se prema ovom izvodu, isto tako kao i
Leibnitzova, na prolongacionoj formuli (16) t. j . na supozieiji, da se kapital


ukamaćuje sa konstantnim procentom i to po principu složenih
kamata. Samo ona osim toga počiva još na supozieiji, da se kamati pribijaju
kapitalu besprekidn o t. j . na kraju svakog pojedinog beskonačno kratkog
momenta, čega radi mora ona da za godišnji procenat dade iznos nešto manji
od Leibnitzove. Inače se ni ona, isto tako kao ni Leibnitzova. ne osvrće ni
malo na zbiljni hod rastenja u toku prirasne periode. Schiffelova formula
naprotiv vodi o tome hodu izvjesnog računa, jer njezini rezultati nisu nezavisni
od zbiljnog hoda rastenja u toku prirasne periode. Samo naravski čini
ona to u praktički sasvim neznatnoj mjeri, što je i shvatljivo s obzirom na
njezinu ishodnu srodnost sa Turskyevom formulom.


Leibnitzova formula daje prema Schiffelovoj sasvim neznatno niži rezultat,
Turskyeva pak daje (kao što vidjesmo) i prema Leibnitzovoj rezultat nešto
niži, ali također sasvim neznatno. Ipak je diferencija između LeibnitzoveTurskyeve formule veća nego diferencija između Leibnitzove i Schiîîelove.


2. Međusobni odnos između Leibnitzove i Turskyeve formule možemo
da ustanovimo na još jedan način, zanimiv radi toga, što nam daje mogućnost
da formuliram o diferenciju između jedne i druge formule.
222




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 39     <-- 39 -->        PDF

rencija biti velika — šta više, u odraslim (približno zrelim) sastojinama bit
će i sasvim neznatna, ali öna bezuvjetno mora da postoji. A ako uvažimo, da
je godišnji procenat predstavljen sasvim ispravno samo po îormuli (9) dotično
(1), na kojoj se direktno osniva Schiîîelova formula, onda Turskyeva formula
izlazi kao neki približni derivat Schiffelove formule. Ona dakle teoretski
zaostaje nešto za Schiffe!ovom formulom, ali praktički ima naravski pred ovom
spomenutu već silnu prednost.


III. Pogledajmo sad, u kakvom odnosu stoji Turskyeva formula prema
Leibnitzovoj.
/. Za Leibnitzovu formulu znamo, da izlazi (obrnutim riješenjem) iz
poznate prolongacione formule kamatno-kamatnog računa: ;


*n = .(1 + -îôoJ (16)


Ako ovdje ujednostavnjenja radi stavimo :


2 t(17)


100 "


onda iz (16) izlazi jednostavniji izraz:


vn=v0(l + qLy (18)


Formula (16) dotično (18) vrijedi, kao što znamo, za slučaj, kad se kamati
pribijaju kapitalu samo jedamput godišnje. Pribijaju li se oui dvaput t. j . na
kraju svakog polugodišta, onda će u vezi sa jednadžbom (17) kapital na koncu
prvog dotično drugog polugodišta iznositi:


(19)
.=.+.--# ^i1+i)= î´o(l+%


Neka se sad kamati u jednakim intervalima pribijaju kapitalu triput godišnje.
Na koncu prvog, drugog dot. trećeg intervala kapital će iznositi:


. + v0 -jj-1 +


% = % + v4t ~~ = v4t 1 +-Ö-= »o 1 + (20)


3 3


% = % +2/:. % % I 1 «o(l + h..


Iz drugog izraza pod (19) i trećeg izraza pod (20) vidimo, da ako kamate
pribijamo kapitalu v puta na godinu, da onda vrijednost kapitala na koncu
prve godine iznosi :


"vjv 1+& ;(2i)


gdje dakle izraz u zagradi zajedno sa eksponentom predstavlja isto, što i izraz


o zagradi formule (18), al i bez eksponenta n. Izraz ll-f" predstavlja
221




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 38     <-- 38 -->        PDF

povećava i broj ordinata nalaznih između vremenskih granica . = 0 i . = n
(vidi si. 1), dok se sami iznosi tih ordinata [u smislu razmatranja u pogledu
formule (11)] istodobno ponešto smanjuju. Ako se vremenski intervali smanje
tako, da se pojedine susjedne ordinate međusobno dotiču (lim .. = 0), onda
one sve zajedno (u beskonačnom naravski broju) čine ploštinu geometrijskog
lika omeđenog skrajnjim ordinatama, zatim apscisnom osi i (sada ponešto
sniženom) krivuljom p. Suma svih tih ordinata, analogno prvoj formuli pod


(2), jednaka jeintegralom :
dakle spomenutoj ploštini, a ova je opet dadena određenim
n
J =\pdx (12)


0


Zamijeni li se dakle suma iz prve formule pod (2) sa ovim integralom, onda
za srednji procenat izlazi izraz:


1


Pr


».


u kojem n predstavlja sada (neizravno naravski) beskonačnu količinu vremenskih
intervala d ., sadržanih u .-godišnjoj periodi, pa prema tome i beskonačno
velik broj spomenutih ordinata. S druge opet strane iz formule (11) izlazi
izravno izraz :


p-dx = 100-^- (14)


.
Prema dosadan jim razmatranjima (sravni i si. 2) izraz dy je varijabilan. Ali
on je prema tim razmatranjima varijabilan samo kao funkcija varijabila . i ..
Ako ga odvojimo od funkcionalnog odnosa sa ovim varijabilama, te ga dakle


učinimo konstantnim (što i smijemo, a u slijeđenju našeg cilja i moramo da
učinimo), onda na desnoj strani ove zadnje jednadžbe ostaje varijabilnom samo


veličina y (sada kao argumenat funkcije —) dot. i ova njezina funkcija. Pri


.


variranju veličine . između granica 0 i n, što predviđa lijev a strana
jednadžbe (14), može naravski veličina y da varira između granica v i V
sasvim po volji t. j . bilo u kakvojgod krivulji bilo u pravcu. Kao što vidimo.


ona tim variranjem postepeno raste, dok njena funkcija — u isti mah varira


.


između granica — i — . Ova dakle postepeno pada, što je sasvim u suglasju


sa lijevom stranom posljednje jednadžbe, gdje p također u isti mah postepeno
pada. Mi dakle desnu stranu ove jednadžbe možemo da uvrstimo u formulu
(13), pa onda dobivamo :


v


100 . di/ ,..„.
.. = — (15).
n J y


otkud gotovo neposredno izlazi prva formula pod (.) t. j . Turskyeva formula.
Turskyeva formula nije dakle ništa drugo, već granični
oblik Schiffelove formule. A kako ona iz ove posljednje izlazi
posredstvom granične formule (11), za koju smo vidjeli da u svako m
momentu daje manji iznos za godišnji postotak prirasta, to bezuvjetno mora
ona da daje manj i iznos od Schiffelove formule. Obično doduše neće dife


220




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 37     <-- 37 -->        PDF

Razlike između formula (6), (8) i (10) vide se odmah na prvi pogled.
Prva od njih naime, kao izraz za prosječn i godišnji prirast unutar periode,
predstavlja iznos konstantan tokom cijele periode. Druga pak, kao izraz za
zbiljn i iznos godišnjeg prirasta, predstavlja iznos, koji se iz godine u godinu
mijenja. Treća napokon, kao izraz za graničn i godišnji iznos prirasta, predstavlja
izvjestan iznos dobiven preračuno m na 1 godinu i to preračunom
na obrnut način, nego li je to slučaj kod formule (6). Ondje je ukupni
periodični iznos (.y) razdijeljen sa brojem godina u periodi i time smanje n
na prosječni godišnji iznos, a ovdje je beskonačno maleni prirasni iznos
(dy) razdijeljen sa pripadnim mu beskonačno kratkim vremenskim intervalom
(dx) i time uvećan na granični godišnji iznos. I baš zato, što je u ovom
drugom slučaju godišnji prirasni iznos dobiven iz beskonačno malenog iznosa
dy, koji se — pri konstantnim naravski iznosima za dx — mijenja od
momenta do momenta, mijenja se na isti način i taj po formuli (10)
dobiveni granični godišnji iznos.


Prema ovome uočljive su odmah i razlike između postotnih formula (7),


(9) i (11). Prema formuli (7) godišnji iznos procenta ostaje konstantan tokom
svih n godina, jer su unutar periode konstantni svi sastavni dijelovi te formule.
Prema formuli (9) mijenja se godišnji iznos procenta iz godine u godinu,
jer se iz godine u godinu mijenja i y i ôy. Napokon prema formuli (11)
mijenja se procenat od momenta do momenta, dakle beskonačno mnogo puta
u toku godine.


Još jedna razlika važna je da se istakne između formula (7), (9) i (11).
Prema formuli (9) godišnji iznos prirasta (zbiljni) stavljen je u odnos
prema drvnoj masi na početku te iste godine , kao što to u smislu formule


(1) treba
i da bude.
Prema formuli (7) godišnji iznos prirasta (prosječni) stavljen je u odnos
prema drvnoj masi na početku periode. "No početak periode nije isto,
što i početak godin e t. j . jedini ispravni rok, na koji treba da se odnosi
nazivnik formule za godišnj i procenat. Početa k periode vrlo je dalek u
vremenskom pogledu od konc a periode u razmjeru prema razmaku između
početka i konca jedn e godine . Stoga je drvna masa na početku periode
razmjerno daleko premalena, a da bi mogla ispravno poslužiti kao
nazivnik postotne formule. Prema tome mora naravski formula (7) da dade
daleko preveli k iznos za prosječni godišnji postotak prira-ta.
Prema formuli (11) godišnji iznos prirasta (granični) stavljen je u odnos
prema drvnoj masi na početku beskonačno kratkog intervala (dx), u
kojem je nastao i sam iznos dy. Taj razmak između početka i kraja ovoga
intervala izlazi u skrajnjoj konsekvenciji na nulu, tako da se vrijeme nastajanja
brojnika i vrijeme nastajanja nazivnika u prvoj formuli pod (li)
podudar a međusobno. Stoga je drvna masa u toj formuli razmjerno pre velika
, a da bi mogla ispravno da posluži kao nazivnik postotne formule.
Prema tome mora formula (11) da dade u svakom pojedinom momentu pre male
n iznos za godišnji postotak prirasta. Pogreška će ovdje svakako biti
mnogo manja nego u slučaju formule (7), ali da ona mora i ovdje svakako da
postoji, jasno je isto tako kao i u slučaju formule (7). Formula (11) nije dakle
teoretski ispravna kao formula godišnje g procenta, kakovom ona ima
pretenziju da važi.


2. Nakon ovih pripremnih razmatranja možemo sada da pođemo dalje.
Ako se unutar .-gođišnje periode vremenski intervali .. sve više smanjuju,
pa prema tome njihov broj sve više povećava, onda se u istoj mjeri


219




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 36     <-- 36 -->        PDF

Ako se A x od prvobitnog n- godišnjeg iznosa smanji na jednu godinu


t. j . na interval .. = 1 (vidi sredinu slike), onda iz formule (6) izlazi formula
za zbiljni godišnji prirast t. j .
.. =.. (8)


a iz formule (7) formula za zbiljni godišnji postotak prirasta t. j .


ay


P = 100 (9)


.


gdje y ne predstavlja više drvnu masu na početku periode , već drvnu masu
na početku izvjesne godine unutar periode t. j. godine, u kojoj jebaš nastao
dotični prirasni iznos . y. Inače može lako da se zapazi, da formula (9) predstavlja
samo drugim slovima ispisanu formulu (1).


Ü^ÜJAko se A . smanji još mnogo dalje t. j . na beskonačno kratki interval
đx, onda se i A y smanjuje na beskonačno maleni iznos d ., pa iz formule (6)
izlazi za godišnji iznos prirasta graničn i godišnji iznos:


dy


(10)
.


dx


a iz formule (7) granični godišnji iznos za postotak prirasta t. j .


dy


p = 100 — -= 100 dy1 (.)


. . ´ dx


Granični m godišnjim iznosima nazivam iznose prema formulama (10) i (11)
radi toga, jer prvi (kao što je poznato) predstavlja graničnu vrijednost kvocijenata
pod (6) i (8), a drugi graničnu vrijednost kvocijenata pod (7) i (9).


218




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 35     <-- 35 -->        PDF

II. Riječ će dakle biti samo o Schiîîelovoj, o Leibnitzovoj i o Turskyevoj
formuli, jer ova posljednja — kao što ću to pokazati — stoji u izvjesnoj
rodbinskoj vezi i sa Schiîîelovom i sa Leibnitzovom formulom. Prije toga
međutim smatram potrebnima neka prethodn a razmatranja.
1. Kao što vidimo, Schiîîelova formula i u prvoj i u drugoj svojoj
varijanti ima oblik sasvim obične sume sastavljene od n sumanda. Prema prvoj
varijanti sumiraju se godišnji procenti pn ..,- p direktno. Tok ovih procenata
iz godine u godinu vrlo je doduše nepravilan, ali u glavnom — kao
što je poznato — ima ipak tendenciju neprestanog padanja. Jednostavnosti
radi on je na slici 1 skiciran pravilnom krivuljom p. Iz istoga razloga ishodište
koordinata stavljeno je na slici u početak n- godišnje periode.
Sumiranje se opaža isto tako i u drugoj varijanti Schiîîelove formule,
samo u drugačijem obliku. Tu se naime sumiraju kvocijenti analogni onome


u formuli (1). Tok rastenja drvne mase (y) uporedo sa rastenjem vremena (.)
također je naravski nepravilan iz godine u godinu, ali on je iz spomenutog
već razloga na slici 2. (sa ishodištem također u početku periode) skiciran
pravilnom krivuljom, konkavnom slučajno prema dolje, što ne mora naravski
uvijek da bude, ali kod odraslih stabala i sastojina ipak redovito biva.


Poznato je; da formula prosječno g godišnjeg prirasta unutar ngodišnje
peiiode (u vezi sa slikom 2) glasi:


. = (6)


..


Gruba, ne naravski ispravna formula prosječnog godišnjeg prirasnog
postotka glasila bi u ovom slučaju: (


.. „„. A y


V 100 100 (7)


..


gdje se izraz y0 podudara sa izrazom v0 t. j. sa drvnom masom na početku
n- godišnje peiiode .


217




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 34     <-- 34 -->        PDF

jednostavnoj formuli. No naročito spomenuti, vrl o nepraviln i to k prirasta
(pa prema tome i prirasnog postotka) iz godine u godinu razlogom je, da nas
faktično ni ne zanima zbiljn i procenat godišnjeg prirasta, već samo prosječn i
iznos godišnjeg procenta, a prema faktičnom stanju u zadnjih nekoliko godina
(5 ili 10). Iz ovoga neposredno izlazi, da bi izraz za izračunavanje toga
prosječnog prirasnog postotka imao prema svojedobnoj Schiffelovo j načelnoj
formulaciji (Centralblatt für das gesamte Forstwesen 1910, str. 11—13) da glasi:


.(. + p2 + +pn)


(2)
100 .
+ ++


n
n
»0 V,


gdje n naznačuje ukupni broj zadnjih nekoliko godina, brojnici zn z2,-
apsolutn e iznose prirasta za pojedine od tih n godina, a nazivnici v0, v17
t>%- drvne mase na početku pojedinih dotičnih godina ili — što je isto



na koncu pojedinih predidućih godina.
Prema ovoj Schiffelovoj formulaciji izlazi dakle prosječni godišnji postotak
unutar periode kao aritmetička sredina od svih pojedinačnih prirasnih
postotaka (godišnjih naravski) unutar iste periode.


Na žalost ova po sebi vrlo jednostavna, pa i posve ispravna Schiffelova
formula praktički je neupotrebiva (kako je to na spomenutom mjestu istaknuo
i sam Schiffel), jer je zapravo nemoguće — osim kadšto kod visinskog prirasta


— sa dovoljnom točnošću ustanoviti pojedine njezine komponente. Stoga se
mjesto nje s pravom primjenjuju izvjesne formule, koje imaju jedno važno
praktično svojstvo : da naime pored broja godina (») sadrže u sebi samo one
drvne mase, što ih je stablo (sastojina) imalo na početk u i na konc u prirasne
periode, t. j . drvne mase:
v0 =
v ; vn — V (3)


Među ovakove formule spada u prvom redu jedna od najstariji h formula
za prosječni godišnji postotak prirasta t. j . Leibnitzov a formula:


. = .» (yplr -x )
(4)


koja definira prosječni godišnji procenat kao diferenciju između varijabilnog w-t°g
korjena i jedinice. Pored nje okupirat će ovdje glavni moj interes najmlađ a
formula ove vrste t. j. Tursky-eva formula:


100 . V


p == Log —


(5)
= 100 -Log J —


koja, kao što vidimo, definira prosječni godišnji procenat kao naravn i


toë


logaritam varijabilnog n- korjena. Ova formula ugledala je svjetlo svijeta
istom nakon rata i to u Rusiji. U našu literaturu prenio ju je g. prof. Senši n
(Uređenje šuma, Beograd 1934, str. 21—24).


Presslerova formula i formule, koje se naslanjaju na nju, neće ovdje biti
predmetom raspravljanja, pa ih stoga ni ne navodim.


216




ŠUMARSKI LIST 4-5/1939 str. 33     <-- 33 -->        PDF

U općoj jednadžbi gospodarskog ravnotežja:


Au -f Da 10p«—a + = (JB + V) (1,0 p» — 1) -f C 10j>«


stoje veličine . «*, p međusobno u takvom odnosu, da se jedna veličina
kao nepoznanica može ustanoviti računo m iz drugih dviju poznanica,
a ne procjenom. Ove tri veličine jesu ekonomski o s n o v za vođenje
šumskog gospodarstva.


Na osnovi gore izloženog može svaki šumarski stručnjak dobiti
osvjedočenje, da je dosadanji naziv »Računanje vrijednosti
šuma« dobar, da on potpuno odgovara sadržini ove nauke, te da nema
opravdanog razloga da se uvađa novi naziv »Procjena šuma«.


RESÜMEE. Es besteht bei uns in neuester Zeit eine Bestrebung, die »Waldwertrechnung
« mit dem Ausdrucke »Waldschätzung« umzutaufen. Der Verfasser
äussert sich hier dagegen.


Prof. Dr. A. LEVAKOVIĆ (Zagreb):


O NEKIM FORMULAMA ZA PROSJEČNI
POSTOTAK PRIRASTA


(ÜBER EINIGE FORMELN FÜR DAS DURCHSCHNITTLICHE
ZUWACHSPROZENT)


I. Kao što je poznato, postotak godišnjeg prirasta u osnovnoj formi nije
ništa drugo, već sto puta uzeti omjer između godišnjeg prirasta i same one
veličine, koja se je u godini dana za dotični iznos prirasta povećala. Ovaj
osnovni izraz za postotak prirasta glasi dakle :
p = 100 . — (1)


v
gdje z označuje iznos godišnjeg prirasta, a v iznos veličine, koja je za taj
iznos prirasta porasla, dakle iznos, što ga je ova veličina imala na početk u
dotične godine.


Ova osnovna postotna formula upotrebljuje se u svim granama narodne
privrede, kad treba da se ustanovi, sa kolikim se procentom ukamaćuje iz
godine u godinu kaka v bil o kapital, koji odbacuje izvjesnu sumu godišnjih
kamata.


Kao što je poznato, godišnjim kamatima novčani h kapitala odgovara
u šumarstvu godišnji prirast, dakle s jedne strane prirast drvne mase,
s druge strane prirast vrijednosti, a s treće prirast skupoće.


Ja ću ovdje direktno govoriti samo o prirastu drvn e mas e i njegovom
procentu, jer što vrijedi za ovaj procenat, vrijedi u glavnom i za procenat
drugih vrsta prirasta.


Kad bismo za svaku pojedinu godinu mogli iznos z ustanoviti s dovoljnom
točnošću i kad pojedini z- iznosi ne bi iz godine u godinu tekli vrlo nepravilno,
onda bismo postotak prirasta mogli uvijek da izračunavamo po gornjoj vrlo


215