DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 24     <-- 24 -->        PDF

0 UPOTREBI STANDARDNIH VISINSKIH KRIVULJA


Ing. B. Emrović


K
K
od taksacijskih radova ustanovljuje se drvna masa na taj način, da


se izmjerom odrede prsni promjeni i visine, a konstrukcijom visinske


krivulje ustanove srednje visine za svaki prsni promjer. Treći faktor —


oblični broj — uzima se obično iz tablica, i to redovito iz drvnogromadnih


tablica gdje se odmah čita volumen.


Svaki od ta tri faktora ima svoju griješku (u smislu teorije griješaka).


Kod klupiranja nastaje griješka mjerenja, osim toga klupira se redovito


samo na primjernoj površini (pruge ili krugovi — do 10% ukupne površine)


uslijed čega se pojavljuje i griješka uzorka (sampling error). Kod visinske


krivulje pojavljuje se griješka mjerenja i griješka uslijed varijacije. Drvno


gromadne tablice imaju također svoju griješku (a = cea 10—15°/o za jedno


stablo). Mi upotrebljavamo njemačke drvnogramadne tablice — koje su


rađene za čiste, jednodobne sastojine u Njemačkoj. Kod upotrebe tih tablica


u našim šumama mogu se pojaviti i sistematske griješke (previsoki ili preniski


rezultati) kao posljedica razlike u tipu šume, rasi i t. d.


Sva ta tri faktora utječu sa svojim griješkama na točnost konačnog
rezultata — drvne mase sastojine. No utjecaj visine na masu stabla relativno
je malen. Ako pogledamo u dvoulazne drvnogromadne tablice, možemo
vidjeti, da drvna masa stabla poraste za gotovo isti iznos, ako povećamo
prsni promjer za 1 cm ili visinu za 1 metar. Radi tog relativno malog utjecaja
visine — pojavila su se nastojanja, da se mimoiđe mjerenje visina i
konstrukcija visinske krivulje. Za visinsku krivulju potrebno je izmjeriti
cea 100—150 visina, krivulju treba nacrtati i izjednačiti i t. d. — a za sve
to potrebno je prosječno jedan radni dan visokokvalificiranog stručnjaka,
što kod opsežnijih taksacijskih radova može da iznese zamašnu sumu novaca
i vremena.


Ta nastojanja sastoje se u tome, da se upotrebom standardnih visinskih
krivulja — šablona — (Einheitshöhenkurven) smanji potreban broj izmjera


(Wiedemann1, Lang2, Hohenadf).


Opisat ćemo nešto detaljnije — Wiedemannov rad, jer je to propušteno
u predgovoru Lear-Fišer-ovih tablica (izdanje Šum. društva NRH 1951), a
potrebno je za razumijevanje načina konstrukcije Laerovih nizova oblikovisina.
Opisat ćemo ga nešto detaljnije i radi toga, da bismo jednu Wiedemann-
ovu varijantu, koju je on odbacio kao neprikladnu, razvili tako, da
nam posluži u našim prilikama možda i bolje nego ona varijanta za koju
se odlučio Wiedemann i korisnici njegove ideje (Laer4, Spiecker5). Wiedemann
je — za određivanje visina kod ustanovljivanja mase sastojina —
postavio 3 moguća puta,


1. Konstrukcija visinske krivulje za svaku sastojinu na temelju mjerenih
visina — dakle onako kako se obično radi. Taj način odbacuje Wiedemann
kao neekonomičan.
2. Upotreba normalnih visinskih krivulja kod kojih se ni jedna vrijednost
ne mjeri u samoj sastojini. Kod toga Wiedemann misli na: a) određene


ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 25     <-- 25 -->        PDF

visinske krivulje za određeni tip sastojine kao na pr. jednodobne sastojine
hrasta starosti 60—80 godina u nekom određenom arealu. U takavom slučaju
mogu se izraditi fiksne visinske krivulje za svaki bonitet — 5 krivulja za
5 boniteta. Takove su na pr. one krivulje, koje su izradili Šurić i Eić za
konstrukciju jednoulaznih tablica, b) na zbirku krivulja iz kojih taksator
prema subjektivnoj odluci izabire najprikladniju.


Wiedemann odbacuje obje mogućnosti i to postupak b) radi proizvoljnosti
taksatorovog izbora, i postupak a) radi toga što smo vezani na 5 boniteta
-— pa ako je i oblik krivulje dobar. Ako bi se recimo krivulja .morala
nalaziti između krivulja za II i III bonitet (baš u sredini) — mi se ipak
moramo odlučiti ili za II ili za III bonitet, a radi toga može se dobiti
pogrešna drvna masa čak i za 10%.


3. Wiedemann se odlučio za treći način, koji on sam predlaže. U svom
konačnom obliku taj način bio bi ovakav: u sastojini se pronađe centralno
plošno stablo i (na nekoliko stabala t. j . 10—20) izmjeri mu se visina. Time
je određena jedna čvrsta točka visinske krivulje, a visine debljih stabala
i tanjih stabala čitaju se iz normalnih krivulja tj. visinska krivulja konstruirana
je pomoću te čvrste točke i normalne krivulje — šablone. Normalna
krivulja — koja se dakako ne crta, već je dana u tabelarnoj formi — daje
slijedeće podatke: stablo deblje za 5, 10, 15 cm od centralno-plošnog stabla
više je od njega za određeni broj decimetara, odnosno stablo tanje od centralnog
stabla za 5, 10 i t. d. centimetara — niže je od njega za određeni
broj decimetara. Oko centralno-plošnog stabla smještena je glavnina drvne
mase — a visina centralno-plošnog stabla određena je u sastojini mjerenjem.
Stabla koja su podalje od centralno-plošnog stabla (koja su tanja ili deblja)
sudjeluju u ukupnoj masi sa manjim udjelom, pa se može tolerirati da im
je i visina određena na manje pouzdan način t. j . iz normalne krivulje.
Konstrukcija normalnih krivulja izvršena je na slijedeći način: Za svaku
sastojinu — a Wiedemann ih je imao na raspolaganju oko 1000 sa cea 30000
izmjerenih visina — određeno je centralno-plošno stablo i iz visinske krivulje
očitana pripadna visina. U tu točku na visinskoj krivulji, koja odgovara
prsnom promjeru centralno plošnog stabla, prebačeno je sada ishodište
koordinatnog sistema. U tom novom koordinatnom sistemu vrijednosti na
apscisnoj osi označuju koliko je neko stablo deblje odnosno tanje od centralno-
plošnog stabla, a pripadne ordinate — koliko je to stablo više, odnosno
niže od centralno-plošnog stabla. Tako je postupano sa svim sastojinama
i visinskim krivuljama koje im pripadaju. Dobiveni materijal sortiran je po
vrsti drveća, po starosti (klase po 20—30 godina) i po visini centralnog
stabla (klase po 5 metara), bez obzira na bonitet. Ali bonitet je ipak donekle
došao do izražaja putem visine i starosti. Sve krivulje iste skupine izjednačene
su i nadomještene jednom krivuljom. Izjednačenje je provedeno običnim
grafičkim putem. Šteta, što to nije provedeno matematsko-statističkim
putem, jer su ovako ostale varijacije nepoznate.


Na takav način dobio je Wiedemann: 10 krivulja za bor, 4 krivulje za
smrču, 3 krivulje za bukvu i 4 krivulje za hrast. Kod svake krivulje dodane
su okolnosti kod kojih se dotična krivulja može upotrebiti (areal, starost i
visinska klasa).


79




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 26     <-- 26 -->        PDF

Leier je upotrebio Wiedemannove i Langove podatke — te je po gore


opisanom principu izradio — za bukvu, hrast, smrču i bor — visinske kri


vulje bez obzira na starost i bonitet, već samo obzirom na srednju visinu.


Radi toga su Laerove krivulje za dobre bonitete nešto previše položite, a za


loše bonitete nešto prestrme.


Wiedemann i Laer brane izjednačenje i grupiranje krivulja — uslijed


čega nastaju griješke — malim uplivom visine nai konačni rezultat t. j . drvnu


masu sastojine. Glavni je argumenat taj što je visina centralnoplošnog


stabla na terenu izmjerena, pa je prema tome i pouzdana, a oko centralnog


stabla grupirana je glavnina mase sastojine.


Sa istim tim argumentima možemo braniti i upotrebu normalnih visinskih
krivulja drugog tipa (Wiedcmann-ov drugi način koji on odbacuje).
Ako se upotrebi samo 5 krivulja za 5 boniteta, onda se doduše u sastojini
ne mjeri visina, već se okularno procjenjuje srednja visina i prema toj
procjeni odabire bonitet. No ako zamislimo da je između tih 5 krivulja
interpoliran proizvoljan broj krivulja — onda se i tu može na terenu
izmjeriti visina centralno-plošnog (ili kojeg drugog srednjeg stabla na pr.
UJeiseovog) stabla i pomoću takove čvrste točke izabrati krivulju. Takova
visinska krivulja ne bi bila mnogo lošija od Wiedemann-Laerovih krivulja,
a rad sa njom bio bi elastičniji, jer ta krivulja ne bi bila vezana baš samo
na centralno plošno stablo, a i konstrukcija bi bila lakša i jednostavnija.
Potrebno je jedino da se iznađe metoda pomoću koje ne bi krivulja bila
vezana na samo 4 ili 5 boniteta, već bi ih se moglo interpolirati po potrebi.


Sastojinska visinska krivulja može se izjednačiti računski uz upotrebu
teorije najmanjih kvadrata i uz pomoć neke funkcije. U tu svrhu postavljeno
je nekoliko takovih funkcija za visinsku krivulju (Terazaki, Näslund, Levaković,
Mihajlov, Assmann, Prodan, Leibundgut), pa bi se možda stadardne
krivulje mogle odrediti pomoću takovih funkcija.


Pokušajmo, međutim, naš problem riješiti grafičkim putem. Poznato je,
da se za crtanje visinske krivulje pokušalo iskoristiti njezinu sličnost sa
logaritamskom krivuljom. Henriksen* opisuje rezultate ispitivanja krivulje
oblika:


y — a + b log x (1)


y = h = visina stabla
x = d = prsni promjer
a, b, ~> parametri,


koju je predložio Danski institut za šumarska istraživanja. Prema tim istraživanjima
parametar a se vrlo malo mijenja, te se može pretpostaviti, da
je konstantan. Parametar b mijenja se porastom sastojinske visine (starija
sastojina ima veću visinu i ako se bonitet nije promijenio). Na polulogaritamskom
papiru, kojem je na apscisnoj osi logaritamska skala, a na ordinatnoj
osi obična skala, jednadžba (1) prikazana je pravcem. Ta se činjenica
može iskoristiti za crtanje visinske krivulje pomoću 2 točke ili pomoću jedne
točke (visina centralno-plošnog stabla) i empirički ustanovljenog iznosa pa




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 27     <-- 27 -->        PDF

rametra a. Na taj način riješen bi bio problem standardne krivulje. U korist
tog postupka mogu se upotrebiti svi oni argumenti koje su upotrebili Wiedemann
i Laer za svoj način.


No po tom načinu potrebno bi bilo uvijek nacrtati visinsku krivulju i
očitati visine.


Pretpostavimo, da se radi o prebornoj šumi, gdje se sastojinska visinska
krivulja ne mijenja. U tom slučaju možemo pretpostaviti, da su oba parametra
— a \ b — više ili manje konstantni. Parametar a redovito je negativan
pa jednadžbu možemo transformirati:


.v = — a + b log x


y = b (— -r + log x) = b (log x — log 10´lJ) = b (log x — log B)


y = blog-g (2)


Parametar B ima značenje očitanja na logaritamskoj skali apscisne osovine
gdje visinski pravac siječe tu osovinu, t. j . B = x, ako je y = 0


los~B = = I " X = B


b log-ß= O ° ´ B ~


Na grafikonu 1 naneseni su na polulogaritamski koordinatni sistem slijedeći
podaci:


I. Visine za jelu po Eićevim tablicama7 za 5 boniteta. Iz grafikona se
vidi, da se podaci sasvim dobro poklapaju sa pravcima koji izlaze iz točke
B = 5,0, i to za prsne promjere koji su veći od 20 cm, dok visine pripadne
tanjim prsnim promjerima, naročito kod boljeg boniteta, odstupaju od pravca
II. Visine za jelu na pokusnim plohama Kupjački Vrh (preborna struktura)
i Tuski Laz (binomska struktura) u fakultetskoj šumariji Zalesina
(Klepac*). Obje krivulje podudaraju se sa pravcima koji izlaze iz točke
B = 6,5 odnosno B = 5,5.
III. Visine za jelu preborne šume prema grafički izjednačenim visinskim
krivuljama po Leibundgutu9. Prikazane su krivulje za pokusne plohe Diisriiti
i Hasliwald. Nanesene su i ostale krivulje iz spomenute publikacije —
te se može reći, da se krivulje dosta dobro poklapaju sa pravcem, a iznos
parametra B kreće se oko 5 do 7.
Logaritmiramo li jednadžbu (2) izlazi:


log y = logb + log yog-ß) (3)


Uzmimo sada privremeno, da je b — 1 odnosno log b ~ 0 pa imamo:


logy = log [log Jl (4)


Jednadžbu (4) možemo prikazati u obliku dvostruke skale. Skalu za
lijevu stranu jednadžbe konstruirat ćemo tako, da najprije nacrtamo jedan


81




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 28     <-- 28 -->        PDF

; "


Grafikon 1


podudaranje Olsinsice krivulje
-5° sa funkcijom : u= o. fog -Lr


d=3 i 5 6 7 & to


zo jo io 50 60 So wo .fjocm




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 29     <-- 29 -->        PDF

pravac, koji će biti nosilac skale i na tom pravcu odredimo jednu nultočku.
Od nultočke nanašamo iznose I an-logy kao dužine, a krajeve tih dužina
obrojčamo sa ^-iznosima (Z = modul = mjerilo skale te je zadan u dužinskim
jedinicama. Skala će nam biti funkcionalna i to logaritamska. Takova
skala je na pr. donja skala na običnom 30 cm dugačkom logaritmaru — te
ima l = 25 cm, a jednadžba skale je C — 25 cm- log y). Na isti način konstruira!
ćemo i skalu za desnu stranu jednadžbe (4). Za parametar B moramo
međutim odabrati jednu određenu vrijednost na pr. J5 = 5,5. Od nul-točke


nanosimo iznose l cm´log \log~—) i krajeve dužina obrojčamo sa x. Ako


smo skalu za lijevu stranu jednadžbef^J nanijeli na gornju stranu pravca,
a skalu za desnu stranu jednadžbe na donju stranu pravca, i ako su dakako
moduli obiju skala isti — onda možemo sa takove duple skale odmah pročitati
pripadne parove vrijednosti x i y — koji zadovoljavaju jednadžbu (4).


Vratimo se sada na jednadžbu (3). Skala za lijevu stranu jednadžbe ista
je kao kod jednadžbe (4) — no skala za desnu stranu iznosi


l log b + log ilog -gj\


odnosno


l logb+ l- log ilog ~r~rj


t. j . skala se razlikuje od skale za desnu stranu jednadžbe (4) samo za iznos
/ Zog b, ili drugim riječima dobivamo istu skalu kao i prije, samo što joj
je nul-točka pomaknuta za iznos l log b. Parametar b u jednadžbi (2) —
koja je jednadžba pravca u polulogaritamskom koordinatnom sistemu —
ima značenje koeficijenta smjera tog pravca (t. j . kuta nagiba), a kako se
vidi iz grafikona 1 nagib pravca ovisi o bonitetu t. j . mijenja se. Znači:
skale bi se međusobno morale pomicati kao na logaritmaru (Rechenschieber)
— te bi nul-točku donje skale uvijek trebalo pomaknuti za iznos l cm log b
od nul-točke gornje skale. Kod upotrebe takove pomične dvostruke skale
— nije međutim uopće potrebno poznavati iznos parametra b. Uzmemo li
u obzir da je:
y = h = ordinata visinske krivulje
= totalna visina stabla
X"— d — pripadni prsni promjer,


onda je dovoljno da znamo samo jedan par podataka t. j . jednu točku na
visinskoj krivulji ho i pripadni prsni promjer do. Na pomičnim skalama
dovedemo sada do koincidencije ta dva očitanja — pa odmah možemo čitati
svakom promjeru pripadnu visinu. Kod toga ćemo dakako za do i ho izabrati
prikladne vrijednosti t. j . promjer centralno-plošnog stabla (ili UJeiseovog
ili bilo kojeg drugog srednjeg stabla) i pripadnu mu na terenu izmjerenu
visinu.


83




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 30     <-- 30 -->        PDF

U 4ß cm- too h .—J


Grafikon I i H


Dupla skala: %-S.fyg h6cm&$6—j*--ifcm.foj(fyg)-j


nj » 45 cm tog n 4>* 2i,6m
# if


111111111


-H ^ I 1 i1 i ´i I I´I i1 rrfrWrrWl U\h\\M\\h\h


d-cm tjj 2.0 25 }o ´to So 6o jo
\ = 15cmJoj((of^} * vcm-tef L d„. l)cm


Sve je to ispravno uz pretpostavku da je B = 5,5, ali mi znamo da B
nije konstantno, već se kreće oko vrijednosti 5—7. Osim toga visinska krivulja
za prsne promjere tanje od 20 cm ne poklapa se sa pravcem (vidi
grafikon 1). No na temelju istih argumenata, koje je primijenio Wiedemann


— to sve skupa neće imati velikog utjecaja na griješku mase cijele sastojine.
Do sada smo se držali pretpostavke da nam je visinska krivulja dana
logaritamskom jednadžbom (3), pa smo na toj pretpostavci iskonstruirali
dvostruku pomičnu skalu, koja nam nadomješta beskonačno mnogo visinskih
krivulja istog oblika. Međutim nije potrebno da nam je oblik krivulje zadan
baš jednadžbom. Na isti način možemo iskoristiti i obične visinske krivulje,
koje su dobijene običnim grafičkim izjednačenjem. Takove su na pr. krivulje
Eićevih i Šurićevih jednoulaznih tablica. Te krivulje prikazuju zapravo prosječan
oblik visinske krivulje za određenu vrstu drveća i za određeni areal


t. j . za teritorij NR B i H .Oblik visinske krivulje ovisi o tipu šume, o rasi,
o klimi i t. d. i on je zapravo bitan, dok je izvedba 5 sličnih po obliku
krivulja — za 5 boniteta— potrebna radi praktične primjene t. j . izrade
jednoulaznih tablica drvnih masa. Pogledajmo na pr. Eićeve krivulje. Tih
Eićevih krivulja gotovo potpuno zadovoljava jednadžbu
h = a-



gdje je ep (d) matematički zakon oblika krivulje, a parametar a je ovisan
0 bonitetu pa o njegovoj veličini ovisi hoće li biti krivulja strmija ili položitija.
(Kod promjera tanjih od 20 cm za Ili V bonitet pojavljuju se mala
odstupanja od gornjeg pravila, te kod prsnog promjera 10 cm dobivamo za
1 bonitet cea 1— 1,5 m manju visinu, a za V bonitet cea 1 — 1,5 m veću
visinu, no za veće promjere od 20 cm poklapanje potpuno zadovoljava).


Želimo li sada primijeniti isti postupak kao i prije kod logaritamske
jednadžbe — moramo najprije odrediti oblik krivulje t. j . grafikon krivulje
h = q> (d). U tu svrhu možemo uzeti krivulju za III bonitet, ili još bolje
krivulju koju ćemo dobiti, ako svakom prsnom promjeru nanesemo kao
ordinatu aritmetičku sredinu pripadnih visina iz svih 5 boniteta. Ta krivulja
nacrtana je na desnoj strani grafikona 3. Slijedeći zadatak bit će nam, da
provedemo grafičku anamorfozu t. j . da konstruiramo funkcionalnu skalu
za apscisnu os — pomoću koje će se postići to, da se krivulje izravnaju u
pravce (kod logaritamske krivulje postignuto je to izborom logaritamske
skale na apscisnoj osovini). Način konstrukcije te funkcionalne skale prika




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 31     <-- 31 -->        PDF

85




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 32     <-- 32 -->        PDF

zan je na grafikonu ~* , a dobijena skala ima jednadžbu 8 = l cm-

Okrenemo li sada grafikon za 90° na desno, tako da nam netom dobijena
funkcionalna skala bude na apscisnoj osovini, pa nanesemo li sada svakom
promjeru pripadne visine za 5 boniteta iz Eićevih tablica — dobit ćemo
sistem točaka koje leže na 5 pravaca opće jednadžbe


h = a-8 = a



što smo i željeli. (O grafičkoj anamorfozi vidi: Bruce-Schumacher™´, PiraniRunge11).


Dalje postupak teče analogno kao kod logaritamske krivulje t. j . logaritmiranjem
dobijemo:
log h = loga + log [



konstruiramo skale i t. d. — uzevši dakako u obzir mjerila i grafičku anamorfozu.
(O konstrukciji skala, a i o anamorfozi vidi Luckey12).


Za upotrebu pomičnih dvostrukih skala najbolja je konstrukcija »logaritmar
« (Rechenschieber, slide-rule) koji se može izraditi od malo tvrđeg
crtaćeg papira, no možemo zamisliti i drugačiju konstrukciju. Na grafikonu
4 — nalaze se 3 paralelna pravca p, q i r. Na pravcu p nalazi se A-skala


S:š;*´ ..-f


Grafikon 4


ionshuhija pomične


4


state pomolu central<
3
ne projekcije


´s


_1 J


t. j . logaritamska skala sa jednadžbom ri = li cm log h, a na pravcu q
nalazi se (/-skala dana jednadžbom X, = h cm log [ep (d)]. Razmaci između
pravaca kao i moduli skala h i h treba da budu određeni tako, da se centralnom
projekcijom iz jedne točke na pravcu r dobije na pravcu p projekcija
ö?-skale sa pravca q upravo takovih dimenzija — kakova bi morala biti
rf-skala na dvostrukoj skali logaritmara. Odabiranjem različitih točaka na
pravcu r postiže se pomicanje projekcije df-skale. Upotreba grafikona je
slijedeća. Ako su dimenzije srednjeg stabla do i ho, onda se na A-skali pronađe
očitanje ho, a na d-skali očitanje do. Obje točke spoje se pravcem, koji
se produži do pravca r, na kojem određuje točku, koja će biti centar iz kojeg
će se projicirati d-skala sa ^-pravca na p-pravac. Drugim riječima iz te
točke vuku se pravci preko očitanja d\, d<> . . . dn na d-skali, do h-skale, i
gdje ti pravci sijeku h-skalu, očitavaju se pripadne h vrijednosti.
86




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 33     <-- 33 -->        PDF

Da si olakšamo rad kod računanja, a ujedno da prikažemo način na
koji bi se te standardne krivulje mogle u praksi primijeniti, izradit ćemo
nomogram, koji će (na jednom listu papira) zamijeniti: drvnogromadne
tablice, Laer-ove tablice i Spieckerove tablice, dakako samo za jednu vrstu
drveća — jelu.


Drvnogromadne tablice za jelu po Schubergu13 izrađene su u originalu
za 3 dobna razreda, i to: za starost 41—80 godina, 81—120 godina i 120i
više godina. U M. Š. T. priručniku — te tri tablice sažete su u jednu jedinstvenu
tablicu za jelu. To sažimanje izvršeno je na taj način, da je za
svaki promjer i visinu računata složena aritmetička sredina podataka iz spomenutih
triju tablica za razne starosti, a kao težine uzete su količine modelnih
stabala, koliko ih je bilo u pripadnoj dehljinsko-visinskoj klasi te
starosti. Moramo napomenuti, da je i Laer za svaku vrstu drveća izradio jedinstvene
drvnogromadne tablice, bez obzira na starost, iz kojih je onda
računao oblikovisine.


Po Schumacher-uXi mogu se drvnogromadne tablice izjednačiti po
formuli
log U — a ~h b log d + c Zog h (8)


d prsni promjer ~* centimetara


h totalna visina ~^ metara


V drvna masa krupnog drva ~^ mz


a, b, c
parametri, koji se mogu izračunati po teoriji najmanjih
kvadrata.


Uzmemo li iz tablice za jelu M. Š. T. priručnika nekoliko (cea 50)
podataka za različite promjere i visine i izjednačimo li te podatke po teoriji
najmanjih kvadrata, dobiti ćemo jednadžbu


log V = —4,3114 + 1,8360 log d + 1,1103 log h (9)


Podaci dobijeni pomoću te jednadžbe vrlo se dobro prilagođuju podacima
iz originalne Schubergove tablice i to do 30 cm prsnog promjera: podacima
tablica za najnižu starost (osim sasvim tankih promjera za koje se
po jednadžbi dobiju nešto previsoki rezultati); deblji promjeri podudaraju
se sa podacima tablice za srednje starosti, a najdeblji promjeri od 70 cm na.
više poklapaju se sa podacima tablice za 120 godina i više.* Moramo napomenuti
da su Schubergove drvnogromadne tablice vrlo nepouzdane za deblje
promjere. Kod konstrukcije tablica bilo je upravo beznačajno malo modela
iznad 50 cm debljine — tako da se može reći da su podaci za deblje promjere
dobijeni vrlo smjelom ekstrapolacijom.


Međutim podaci dobijeni jednadžbom (9) razlikuju se nešto od podataka
tablice u M. Š. T. priručniku. Za srednje promjere (30—60 crni) jednadžba
daje nešto preniske rezultate (na nekim mjestima čak i 2—3%), dok
za tanje promjere i za deblje promjere daje nešto previsoke rezultate.


* To podudaranje najbolje bi se moglo vidjeti na grafikonu, koji smo priredili, ali ga
iz razloga štednje prostora ne donosimo.


ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 34     <-- 34 -->        PDF

jRazlog tome je taj, što se podaci grafički izjednačene tablice ne vladaju
točno po zakonu danom jednadžbom (8), što se dakako i nije moglo očekivati.
No jednadžba (9) zadržana je ipak radi toga, što se vrlo dobro podu^
dara sa Schubergovim originalnim tablicama kako je već spomenuto, a osim
toga kod naše kasnije primjene te jednadžbe, pojavit će se pozitivne pogriješke
(uslijed upotrebe standardnih visina) tako, da će ta negativna griješka
jednadžbe sa pozitivnim pogriješka upotrebe standardnih visina — povoljno
djelovati na točnost konačnog rezulata t. j . ukupne drvne mase sastojine.


Jednadžba (9) može se prikazati u formi nomograma za 3 paralelna
pravcem očitanja di na d-skali i hi na h-skali, pa gdje pravac siječe V-skalu,
pomoću napetog konca ili pomoću tušem nacrtanog pravca na prozirnom
ravnalu. Ako želimo određenom d\ i h\ pronaći drvnu masu — spojimo
pravcem očitanja di na d-skali i hi na h-skali, pa gdje pravac siječe V-skalu,
očitamo pripadni volumen. Takav nomogram zamjenjuje drvnogromadnu
tablicu za jelu po Schubergu iz M. Š. T. priručnika.
U jednadžbi (9) možemo izvršiti zamjenu:


d2n 1


(ako želimo da bude d izražen u centimetrima, h u metrima, a V u m3). Logaritmiramo
li to izlazi:


log V = 2 log d — log (40 000) + log * + log hf,


a uvrstimo li to sada u jednadžbu (9) izlazi:


log hf = — 0,2064 — 0,1640 log d + 1,1103 log h (10)


Tako se i jednadžba (10) može prikazati u formi nomograma sa .3 paralelne
skale. Na našem nomogramu ostale su d-skala i h-skala iste samo je dodana
još hf-skala. Položimo li pravac zadanim d^ i h\ iznosima, možemo po želji
čitati i pripadni volumen i oblikovisinu. (O konstrukciji nomograma vidi:


D´Ocagne,1" Luckey12).


Na našem nomogramu možemo vidjeti i 3 skale označene slovima A,
B i C. To su skale konstruirane po principu koji je prije opisan i čije centralne
projekcije na nosioca h-skale čine sa h-skalom spomenutu dvostruku
skalu, koja je slika standardne visinske krivulje. Pravac r na kojem treba
da leži točka iz koje se projicira — položen je na nomogramu između G i
M-skale. Na tom pravcu označene su točke iz kojih se projiciranjem dobiju
visinske krivulje određenog boniteta po Eiću ili Šuriću. Skala A pripada
Eićevim krivuljama, skala B Surićevim, a skala C logaritamskoj krivulji sa
jednadžbom (2) uz pretpostavku da je B — 5,5.


Skale G i M služe zajedno sa hf-skalom za očitavanje drvne mase debljinskog
stepena. Te tri skale čine nomogram za operaciju M = G hf.


Upotrebu nomograma i standardnih krivulja prikazat ćemo na konkretnom
primjeru. U fakultetskoj šumariji Zalesina izmjerene su 2 pokusne
plohe: Kupjački Vrh sa površinom 11,70 ha i ´Tuški Laz sa površinom
21,00 ha. Detaljan opis ploha može se naći u citiranoj radnji Klepca.8 Klu


/




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 35     <-- 35 -->        PDF

Je fa -Qbies alba




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 36     <-- 36 -->        PDF

pirana su sva stabla iznad 12,5 cm prsnog promjera sa 5-centimetarskom:
zaokružbenom promjerkom. Izmjereno je 350 visina jele u Kupjačkom Vrhu
i 457 visina jele u Tuškom Lazu. Visine su mjerene hipsometrom Blume-
Leiss. Visinske krivulje izjednačene su grafičkim putem. Rezultati mjerenja
i obračuna prikazani su u tabelama 1 i 2.


Opisat ćemo sada postupak kod upotrebe skale A. Za Kupjački Vrh
centralno plošno stablo ima do = 43 cm i ho = 23,6 metara (očitano iz visinske
krivulje!). Na A-skali pronađemo točku s očitanjem do — 43 cm, a na
h-skali točku ho — 23,6 m. Tim dvjema točkama položimo sada pravac koji
siječe pravac r u točki P. Iz točke P vučemo sada pravce kroz točke na skali
A koje su obrojčane sa 15, 20, 25 . . . i te pravce produžujemo do h-skalc
gdje čitamo pripadne visine. Upotrebimo li sada te visine t. j . položimo li
tim točkama na h-skali i odgovarajućim točkama na d-skali pravce do hfskale,
možemo tu očitati oblikovisine i to za d — 15 cm "~* hf —6,7; za
d = 20 cm -» hf 7,85; za d 25 cm -* hf = 8,82 i t. d. Oblikovisine moramo
sada množiti s ukupnom temeljnicom dotičnog debljinskog stepena. To se
može učiniti pomoću logaritmara, a može se i na samom nomogramu pomoću
G-skale i M-skale t. j . dobivena oblikovisina na hf-skali spoji se pravcem
sa odgovarajućom temeljnicom na G-skali i na M-skali čita se rezultat
i to: za debljinski stepen d — 15 cm (12,5 do 17,5) -> M = 83 ni\ za
d = 20 cm -* M = 770 ms, d = 25 cm -» M ™ 193 m i t. d. Pravci se
dakako na nomogramu ne crtaju, već se samo očitavaju rezultati pomoću
napeta konca ili prozirnog ravnala sa nacrtanim pravcem — no na našem
nomogramu naznačeni su ti pravci crtkanim linijama, da bude bolje uočljiv
postupak.


Tabela "I


Šumarija Zaleslna - pokusnoploha Kupjaiki Vrh, /L, 2f, površina -ii.yoho


prsni fJ


promjer **
15 20 25 30 35 40 *s50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 L


broj AT


703 692 447 465
39$ 364 510 258 148 79 S6 16 u 3 1 -i 3912


stabala *"
visina iz vis. L


12,0 14,2 16.1 18.7
21,0 22,7 24,1 25,1 26.1 27,1 28,0 28,8 29,6 30,4 31.1 31,8 32.6


Krivulja ´*
ukupno /*)


temeljnico 17
12,4121,73 21,95 32.85 38,19 i5.7S 49,29 46,72 35/6 22.34 11,95 «,/„ 4M 1.51 0,57 -0,74 352,25


P? f°*N. hf
6,32 7,27 8,IS $.22 10,22 10,90 11,47 11,71 12,08 12.45 12,72 11,93 l3,2o ´3,45 ´3,(6 44,10


visinskoj ´


Krivulji Jv\


78 158 303
392 499 565 550 425 278 152 80 64 20 8 40 3761


po skali hf
6,70 7,84 e,82 9,60 10,34 10,06 "AS H.95 12,4o 12.73 12,95 13.20 ´3,30 ´3,41 ´3,52 ´3,65
83 17o 133 316 396 502 566 559 284 155 81 65 20 8 IO 3844


A, A v


´6,0 ´7.» ´8,2
*<,2 ´0,6 ´0,2 HS ´2.6 ´2,2 ´4,8 ´2,1 ´0,8 -0,3 -1,0 3,9 ´2,2%


(Llc)


po skali hfä% 6,27 7,38 9.S2 10,05 10,9o 11,4 S H,95 12,4o ´iZ7<> 13,oo 13,25 ´3,4o 13,5o 13,6o 43,60
,B t\ 78 46o ´87 3o6 385 499 545 559 *3A 283 155 82 65 20 8 IO 3798
(Surlć) a´/. -0,8 ´1,5 ´4,3 ´1,1 1,7 to -0,2 ´1,5 ´2,6 ´2,0 ´2,2 ´2,5 11,5 ´0,4 -0,4 -4,3 ´1,o%


po skali hf e,os 7,to 8,80 31*7 10,35 10,90 11,45 44,9o 12,3o 12,65 12,9c 13?o 13,4c 13,65 13,85 44yic
C M 75 165 191 3/8 396 499 56S 556 433 282 154 81 65 21 8 3824


40
h=blogšL A% -+,3 ´4,5 *8,o ",3 TO -0,2 ´1,1 ´1,8 ´1,6 ´1,4 ´2,1 ´1,5 ´1,5 ´1,4 ´0.7 ´4,6%


po Laer-ovom hf 4,6" 6,7 8,5 9,8 10,8 11, S 11,8 n,9 12,0 11,7 Hi 10,8* 9,8* 8,8*


">,3*
nizu /i 37 ioo 147 28o 37» 567 552 418 268 14o 7o 53 6 e 3530


16
oblikovisina *%-52.5 22,9 -i7,e -7,8 -4,1 -0,9 ´0,3 ´0,3 -1,5 3,6 -8,0 -12,6 18,2 23,4 -28,2 37,5 6,1%


" ekstrapolirano
Centralno plošno slo&lo



ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 37     <-- 37 -->        PDF

Tabelo 2


Šumarija Zalesfna - pokusno ploho TuŠki Lax f Wf, 4 6, površina -24,ooha


prsni V


15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 L.


promjer *


eri 504 M* 565 815 851 800 743 754 334 158 70 51 8 2 2 6750


stabala N


visina iz vis. i 11,0 15,1 19,0 33,4 s*,s 2i,3 27,6 18,5 29,4 30,2 30,B 31,6 32,2 33,8 33,3 33,8 34,3


krivulje il


ukupno o


temeljnica 17 »,17 a,83 12J9 39,8c 75,U *>7J5 17J° i*5,es 178,44 «A 52,43 11,94 13,7c 4,o2 ´,´3 ´.17 918,12


po sostoj r\f «,3J 7.77 9,67 H.2S 13,14 11,1! <3M 13.50 13,77 14,0c !4,2o 14,35 14,5c 14,64 14,12 14,86
v/sinsKoi J.
Krivulji J*l


73 ´S3 216 **9 953 1377 1608 19t9 24to 1183 745 387 ´99 39 ´7 19 1S018


po skali hf 7.48 8,85 9,95 10,88 ».70 I2.40 I3,oo n,5o 14,05 ´4,43 14,17 ´4.B4 15,05 >5Jo ´5,35 ´5,4c
A M 89 14o 111 917 133´ 1854 I960 35o) 1333 7«9 Z06 61 <7 So ´SoSe
(Be) A% ´13,9 ´*» -3,5 3,8 -3,3 -l,o to ´2,o 3,´ »3,3 ´3,4 ´3,8 ´3,8 ´*,3 ´3,6


po skali hf 8,1,0 9,6o 10,60 ´1,65 <*33 <3,oo ´3,5c l4,oS l4,4o 14,75 15,0c 15,15 ´5,3c l5,4o 1f,4S
B / j*i 84 «3 Si* 4S2 914 1324 ´654 *9il 25o8 132o 773 4o9 loo S´ V 3o floSi
(Surić)tri,» ´8,1 -0,7 -c,o -4,0 -3,0 to ´1,0 ´3,9 **,5 ´5,2 1-4,5 *4,b ´3,9 rO,l´U


t% 3,8
po skali hf 8,65 9,95 ´1,0c ",8c 13,45 13,05 >3,fo 13,95 14,35 ´4,7c ´5,oo <5,3o ´5,53 15,75 16,00
C M 81 137 111 438 115 ´331, Uto ´1*1 340o 1314 770 4ol, Slo 62 18 to ´2oSbd´8,4 "4,3 ´3,9 -1,3 -1,8 -1,9 -´,/> to ",3 ´3,5 13,5 *4,S *S,5 7,7 *0,3%


´7.C


po Laer-ovom hf 7,1°´ 8,90 10,00 13JS 13,00 I3,r0 li.to ´3,7o 13,0c l3,>,o 13,io ll,to !2,ot 1,4o
nizu /n 83 ´21 ´98 398 833 ´315 ´tS4 ´IH 1417 ´154 7´3 36i «79 S´ m Hbob
oblikovisina o% *9,1 ´1,7 -8.0 -9,´ -7,3 -4,4 -2,o to -´,2 -3,´ -*,2 -b,b -1.8 -13,9 -18,4 -»,3 -3,o%


* ekslrapoiirono Centralnoplošno stablo: dc = saun, &„= zi,fm
U gornjem dijelu tabela 1 i 2 doneseni su podaci, broj stabala, visina
iz visinske krivulje i temeljnica za svaki debljinski stepen.


U donjem dijelu tabela 1 i 2 iskazane su drvne mase stepena izračunate
pomoću nomograma i visina iz visinske krivulje, te uz upotrebu skala A, B
i C t. j . uz upotrebu Eićevih, Šurićevih i logaritamskih standardnih krivulja.
U zadnjem retku donesene su mase izračunate pomoću Laer-Fišerovih
tablica.* Uz svaku drvnu masu dodan je i procenat razlike između te drvne
mase i točne drvne mase t. j . one drvne mase koja se dobije upotrebom
konkretne visinske krivulje. U zadnjoj koloni donesene su sume drvnih masa
svih debljinskih stepena i razlika u %. Procentualne razlike, kako se može
vidjeti iz tabela 1 i 2, sasvim su podnošljive — naročito za ukupnu masu
sastojine. Najslabije podatke dobivamo po Laerovom načinu — no ne možemo
radi toga odmah donijeti zaključak, da je Laerov način manje točan,


— možda je uzrok u tome, što Laer nema nizova oblikovisina za jelu, već
se mora upotrijebiti odgovarajuća tablica za smrču. No svakako možemczaključiti,
da je točnost svih tih načina manje ili više istog ranga. Ali ako
se radi o prebornom tipu šume ili o kakovom prelaznom ili prašumskom
tipu — onda možemo ipak očekivati da će naročite standardne visinske krivulje
za taj tip šume davati bolje rezultate od Laera.
* Oblik ovisina centiralno-plošnog stabla određena je po nomogramu očitanjem na hf—
ikali — i pomoću te oblikovisine potražen je u tablici za smrču niz oblikovisina. Učinjeno
je to radi toga, da dođe do izražaja utjecaj normalno vsinske krivulje, te da taj utjecaj
ne bude zamagljen uslijed upotrebe različitih tablica masa.


ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 38     <-- 38 -->        PDF

Upotreba nomograma svakako je manje praktična nego Laerove tablice
pomoću kojih se zaista brzo i ugodno radi.*
No ta nomogramska metoda ima tu prednost što se kod nje mogu
primijeniti:


1. naše visinske krivulje.
2. naše dvoulazne tablice drvnih masa — kojih još doduše nemamo,
ali koje ćemo izraditi barem za neka područja i za neke vrste drveća za koje
ne postoje tablice u Schwappachovoj zbirci (jasen, topola i t. d.).
3. Lokalne dvoulazne tablice drvnih masa — koje su izjednačene grafičko-
računskim načinom t. j . nomogramski (Bruce-Reinekeu´).*Kod izrade
drvnogromadnih tablica po toj metodi — kao konačan rezultat dobije se
nomogram sa 3 paralelne skale (d, h i V-skala). Takvom nomogramu trebali
bi dodati samo skale za standardne visinske krivulje (naše A, B i C skale).
Kod toga bi trebalo paziti na to, da h-skala ostane jednostavna logaritamska
skala.
Standardne visinske krivulje — potrebne za konstrukciju skala, ne bi
baš trebale biti Šurićevog i Eićevog tipa. Moramo držati na umu, da je svrha
Šurićevih i Eićevih krivulja bila ta, da budu prvi stepen u izradi jednoulaznih
drvnogromadnih tablica za 5 boniteta, a nije im bila svrha da odrede
oblik visinske krivulje. Kada bi se više pazilo na standardni oblik krivulje


— možda bi se dobile krivulje kod kojih ne bi bilo odstupanja za tanje
prsne promjere.
To su dakle povoljni momenti za upotrebu nomogramske konstrukcije.
Tim načinom možemo konstruirati alat, koji bi u lokalnoj (u doslovnom
smislu, a možda i u malo širem smislu riječi na pr. za: jelove šume Gorskog
Kotara, hrastove i jasenove šume Posavine i t. d.) primjeni zamijenio istodobno
Schuberg-ove, Laer-ove i Spiecker-ove tablice — i koji bi davao
sigurno pouzdanije rezultate od njih, i to radi toga, jer su te tablice izrađene
na temelju podataka iz njemačkih šuma, dok bi nomogram bio izrađen po
podacima sa onog areala za koji je konstruiran.


ÜBER DEN GEBRAUCH VON STANDARDHÖHENKURVEN


Wiedemann1 (S. 387) gibt für die Vorratsaufnahme 3 mögliche Wege
zur Höhenermittelung an. Er und seine Nachfolger (Laer,4 Spiecker*) haben
sich für den dritten Weg entschlossen. Mit der vorliegenden Arbeit versucht
man dasselbe Problem auf einem Kompromisswege, der sich zwischen dem
zweiten und dritten Wiedemann´sehen Wege befindet, zu lösen, und zvar
mit Hilfe der Skalen und der Nomographic.


Mittels der Gleichung (1) (Henriksen") kann man, bei gegebenem Parameter
»a« und gegebener Höhe von Kreissflächenzentralstamm (oder von


* Mislimo kod toga na nomogram onakav kakav ovdje donosimo. No kad bi nomogram
bio izrađen na solidnijem materijalu i kad bi na nosiocu A-skale imali dvostruku
skalu po principu »rehenšibera« — tako da ne moramo centralno projicirati skale A, B
i C — a skale standardnih visina mijenjalo bi .se po potrebi tako, da se izmijeni pomični
dio rehenšibera (jezik) — onda bi takav nomogram bio svakako praktičniji od Laerovih
tablica.
* Na ovaj način izrađuje se većina dvoulaznih tablica drvnih masa u Americi.
92




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 39     <-- 39 -->        PDF

einem anderen Mittelstamm), die Höhenkurve konstruiren. Bei dem Plenterwald
kann man annehmen, dass auch der Parameter b konstant sei (d. h.
dass er sich im Laufe der Zeit nicht ändere). Unter dieser Voraussetzung
ist die Gleichung (1) in (2) transformiert. Für die Tanne hat so gewonnener
Parameter B einen Betrag von ungefähr 5—7. Auf dem Grafikon 1 ist die
Übereinstimmung der Höhenkurven mit dieser Hypothese dargestellt.


Wird die Gleichung (2) logarithmiert, so folgt die Gleichung (3), die
sich als eine Doppelskala darstellen kann. Da aber der Parameter b von der
Bonität abhängig ist, so soll auch diese Doppelskala wie an einem Rechenschieber
beweglich sein. Es ist überhaupt nicht notwendig die Grösse vom
Parameter b zu kennen, es genügt duchhaus dass man nur ein Paar von
Werten kennt, d. h. nur einen Durchmesser und die ihm zukommende Höhe.
Es ist selbstverständlich, dass man den Durchmesser eines Mittelstammes
und die ihm zukommende — im Walde gemessene — Höhe wählen
wird. Die Doppelskala wird so eingestellt dass die genanten zwei Werte zur
Koinzidenz geabracht werden, und dann werden den notwendigen Durchmessern
die zugehörigen Höhen abgelesen. Auf diese Weise erzielt man
denselben Effekt wie beim Gebrauch von Wiedemann´sehen Höhen. Hier ist
man aber nicht streng auf den Zentralstamm gebunden, sondern man kann
jeden Mittelstamm — z. B. Weise´sehen Mittelstamm — um welchen sich
die Bestandsmasse häuft, gebrauchen. Das alles gilt selbstverstendlich unter
der Voraussetzung, dass die Höhenkurve der Gleichung (2) folgt, und dass
der Parameter B den bestimmten Wert hat z. B. — B — 5,5. Da diese
Voraussetzungen nur approximativ erfüllt werden, so kommen Fehler zum
Vorschein, welche aber erträglich sind, weil auch diese Höhenkurven einen
gemessen und dadurch genauen Punkt haben.


Es ist auch möglich die Doppelskala von graphisch erzeugten Standardhöhenkurven
zu bekommen. Solche Standardkurven werden bei Aufstellung
von Massentafeln mit einem Eingang angewandt. Auf diese Weise sind


z. B. die Massentafeln von Eić7 und Šurić — für Bosnien und für5 Bonitätsklassen
hergestellt. Man kann annehmen, dass diese Höhenkurven der gemeinsamen
Gleichung (5) folgen, wo (p(d) den mathematischen Gesetz der
Kurvenform, und a einen vom Bonität abhängigen Parameter darstellen
soll. Zuerst wird eine Kurve —i z. B. die Kurve für die III. Bonität — als der
Form nach karakteristisch-gewählt. Diese Kurve wird dann einer graphischen
Anamorphose unterzogen. Mit Hilfe der Gleichung (7) wird dann die
Doppelskala konstruiert (und die Werte für q>(d) werden dabei von Grafikon
abgelesen).
Um diese Idee praktisch auszuwerten ist ein Nomogramm aufgestellt.
Für die Tannenmassentafeln von Schuberg sind nach Schumacher10 die
Gleichungen (9) und (10) hergestellt (nach der Methode der kleinsten Quadrate).
Diese Gleichungen sind durch Nomogramme d-h-V und d-h-hf dargestellt.
Die bewegliche Doppelskala wird auf dem Nomogramm durch
Zentral projektion erzeugt (nach dem Prinzip des Graf ikons 4). Skalen A
und B sind graphisch, und die Skale C nach der Gleichung (4) (B = 5,5),


konstruiert. Die Masse der Durchmesserstufe kann mit Hilfe der Skalen
G-M-hf abgelesen werden.
93




ŠUMARSKI LIST 2/1953 str. 40     <-- 40 -->        PDF

Mit diesem Nomogramm sind die Massen der zwei Versuchsflächen
der Fakultätsdomäne Zalesina errechnet. In Tafel 1 und 2 sind mittels verschiedenen
Skalen gewonnene Resultate gegeben. Es ist sichtbar, dass diese
Resultate den praktischen Bedürfnissen genügen.


Diese Methode konnte sich am besten auswerten im Verbindung mit der
Aufstellung der lokalen Massentafeln mit zwei Eingängen. Besonders wenn
dabei das Verfahren von Bruce-Reineke10 angewandt wird (bei der Prozedur
soll aber die h-Skala eine gewöhnliche log-Skala bleiben). Bei solcher Anwendung
und besonders beim Plenter- und Übergangstypen solch ein Nomogramm
ist ein Werkzeug das die Massentafeln, die Laer´schen und Spiecker´schen
Tafeln ersetzen kann. Da dieser Nomogramm nach lokalen Formzahl
und Höhenangaben konstruiert ist, so muss er auch durchaus brauchbare
Resultate liefern.


LITERATURA:


1.
Wiedemann , E.: Über die Vereinfachung der Höhenermittlung bei den Vorratsaunähmen.
— Mitteilungen aus Forstwirtschaft und Forstwissenschaft — Herrausg.
v. d. Preuss. Landesforstverwaltung, Hannover 1936.
2. Lang , A.: Bestandes-Einheitshöhenkurven der Württemb. Forsteinrrichtungsanstalt.
— Allgemeine Forst und Jagd-Zeitung 1938 str. 168, Frankfurt a. M.
3.
Hohenadl , W.: ´Einführung in die Bestandeäberechnung mit Hilfe von 2 Mittelstämmen.
— F unwissenschaftliches Centralblatt 1939 str. 261, Berlin.
4. L a e r, W.: Formhöhenreihen, Berlin 1938.
5.
S p i e c k e r, M.: Einheitsmassenkurven zur Ermittlung von Vorrat und Zuwachs von
Waldbeständein, Freiburg, Dissertation 1948. Citirano po: Prodan M.: Messung der
Waldbestände.
6.
Henriks « n, H. A.: Height-diameter curve with logarithmic diameter; brief report
on a more reliable method of height determination from heihtcurves, introduced by
the State Forest Research. — Dansk. Skovforen. Tidskrift 35(4)1950. — Citirano po
For. Abstr. No 1417 Vol. 13, No 2, 1951.
.7.
E i ć, N.: Tabela drvnih masa od 7 cm debljine na više i padovi promjera u %>.
Sarajevo 1951.


8.
Klepac , D.: 0 šumskoj proizvodnji u fakultetskoj šumi Zalesina. Glasnik za šumske
pokuse br. 11 (u štampi).
9.
Leibundgu t H.: Waldbauliche Untersuchungen über den Aufbau von Plenterwäldern,
Mitt. der Schweiz. Anstalt f. d. forstl. Versuchswesen. 1945.
10. Bruce, D. — Schumacher, F. X.: Forest Mensuration, New York 1950.
11.
Pirani-Runge : Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik 1931 Leipzig,
Samml. Göschen.
12.
Luckey , P.: Nomographic. Praktische Anleitung zum Entwerfen graphischer Rechentafeln.
Leipzig 1942.
13.
Sc hub erg, K.: Formzahlen und Massentafeln für die Weisstanne (auf Grund der
vom Verein deutscher forstlichen Versuchsanstalten erhobenen Materialien) Berlin 1891.
14.
Schumacher, F. X. — Hall, F. dos S.: Logarithmic expression of timber — tree
volume. Journal of Agricult. Research Vol. 47 1933.
15. D´Ocagne . M.: Traite de Nomographic Paris 1921.
16.
Bruce D. — Re in eke L. H.: Correlation Alinement Charts in Forest Research.
USA Dep. of Agr. Tehn. Bull. No 210, 1931.