DIGITALNA ARHIVA ŠUMARSKOG LISTA
prilagođeno pretraživanje po punom tekstu
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 65 <-- 65 --> PDF |
IZVORNI ZNANSTVENI ČLANCI - ORIGINAL SCIENTIFIC PAPERS UDK 630^2.001/2 šum. list CXIV (1390) 63 OTKLANJANJE POGREŠKE LOGARITAMSKOG IZJEDNAČENJA MIHAJLOVE FUNKCIJE Tono KRUŽIĆ* SAŽETAK: U radu je istraženo kako se primjenom računara može točno izjednačiti visinska krivulja, gdje se kao matematički model koristi Mi haj lov a funkcija (H = 1.3 + b0 e(-bl/d>). Korišćena je metoda pretpostavljanja parametra bt, nakon čega se parametar h, vrlo lako izračuna (iz uvjeta suma odstupanja = 0). Zatim se za te parametre izračuna i suma kvadrata odstupanja. Učini se slijedeća pretpostavka parametra b| veća, odnosno manjaod prethodne za neki korak »k«, za koju se ponovi isti postupak. Dobivena suma kvadrata odstupanja druge pretpostavke se usporedi s onom iz prethodne u svrhu donošenja odluke o daljnjemtoku istog procesa sve dok se kontrolirano ne dođe do onih parametara kod kojih su zadovoljeni uvjeti: 2(H — h) = 0 i S(H — h)= min. Kao prva pretpostavka koristi se parametar b| dobiven logaritamskom metodom sa čim se proces pretpostavljanja skraćuje. Ključne riječi: visinska krivulja, Mihajlova funkcija, pogreška izjednačenja UVOD Problem izjednačenja pomoću funkcija koje se logaritmiranjcm daju svesti na linearni oblik je već relativno dugo poznat (Emrović , 1953, 1960). U stvari problem je nastao tek onda kad su prvi računari omogućili široku primjenu računskih metoda izjednačavanja umjesto dotadašnjih grafičkih odnosno grafičko-računskih i onda kad je parove točaka Ti (xi( y,); i = = 1,2, ...N, trebalo izjednačiti nekom iz familije funkcija kod kojih nije moguće derivirati sume kvadrata odstupanja (SKO) kao funkciju parametara (b„,b,,...bn), tj.: F(bo,b1,...bn) = 2[yi — f(x,)]». Odnosno dobivene parcijalne derivacije izjednačiti s nulom i riješiti n+ 1 Gaussovi h normalnih jednadžbi. U prvom redu to su razni oblici eksponencijalnih funkcija, parabola i hiperbola kod kojih se traženi parametri mogu dobiti na gornji način, ali tek ako se izvrši logaritamska transformacija. Kod takvog načina nastaje pogreška koja je u šumarstvu prvo Tono Kružić, dipl. ing., Šumarski fakultet Zagreb, Šimunska c. 25 |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 66 <-- 66 --> PDF |
uočena kod izjednačenja drvnogromadnih tablica i koja se otklanja Meyerovom korekturom (Meyer, 1941). Ova pogreška logaritamskog transformiranja nastaje uslijed poznatog odnosa aritmetičke i geometrijske sredine. U cilju otklanjanja ove pogreške, uočena je pogodnost elektroničkog računara (Hi tree , 1973, 1976, 1985). Cilj istraživanja Kako je danas i u našem šumarstvu računalo sve češće prisutno i ima sve veću primjenu, naš je zadatak da taj stroj koristimo što više i što bolje, da što manje vremena trošimo na dugotrajna računanja. U ovom radu se nastojalo pokazati da nam računalo može koristiti ne samo kao stroj koji brzo računa ono što bismo inače i sami izračunali (samo s nešto više vremena!?), nego kao stroj pomoću kojeg se mogu razvijati i nove metode koje daju točniji rezultat. Cilj istraživanja u ovom radu je da se koristeći računar izjednači sastojinska visinska krivulja pomoću Mihajlove funkcije uz zadovoljenje oba tražena uvjeta, a da se pri tome ne koristimo normalnim jednadžbama. METODA RADA Regresijski model visinske krivulje obično dobivamo računskim putem primjenom metode najmanjih kvadrata uz pomoć logaritamske transformacije: H = 1.3 + b„ e(-bi/đ) H — izračunata visina d — prsni promjer e — baza prirodnog logaritma bo, bi — parametri koje dobijemo izjednačenjem odnosno, log (H — 1.3) = log bo + (-b, log e) (´/„) (0) L/đ; Izvršimo li supstituciju: Y == log (H—1.3); X = C = log bn; K = =-b] log e, dobijemo pravac, odnosno jednostavnu linearnu regresiju: Y = C + K X Kad izvršimo izjednačenje iz C i K izračunamo odgovarajući b0 i bt. Međutim, pošto smo izjednačili logaritme, tj. zadovoljili smo samo uvjete: 2 (log H — log h) = 0 i 2 (log H — log h)2 = minimum h — izmjerena z´-ta visina H — izračunat r-ta visina pa kad izvršimo retransformaciju, razumljivo, ne postižemo iste uvjete i za numeruse, tj. dobivamo pogrešku logaritamskog transformiranja. I(H-h)^0 i 2 (H — h)2 > minimum |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 67 <-- 67 --> PDF |
Na takav način dobiven regresijski model je u pravilu niži od stvarnog. Da bismo ovu pogrešku otklonili, izradio sam novi način izjednačenja Mihajlove funkcije. Kao što se vidi iz modela Mihajlove funkcije, za deriviranje problematičan je parametar bl; no ako pretpostavim njegovu vrijednost npr. bt = 20 tad imamo: H = b0 e(-20/d) + 1.3 (1) Parametar b0 je u tom slučaju izračunljiv i to na dva načina, ovisno kojem uvjetu želim zadovoljiti: a) 2 (h — H) = 0 (postupak a) h = mjerena i-ta visina H = računata visina po izrazu (1) za prsni promjer (d) kojeg je imalo stablo i-te visine. Dakle iz 2 (h — b0-e(-2°´d> — 1.3) = 0 računam: 2h —n-1.3 bo = (2) 2 e(-20/d) b) 2 (h — H)2 = min. (postupak b) Ako derivaciju funkcije F(b») = 2 (h — bo e(--0/d)—1.3)2 izjednačim s nulom dobivamo: 2 h .e(-20/d) _ 1.3 2 e(-2()ld) bo´ = (3) 2 (e(-20/d))2 Dakle, b„ je onaj b0 koji uz pretpostavljeni bx zadovoljava uvjet a), a bi´ je onaj koji zadovoljava uvjet b). S time sam postigao da jedan parametar, koji je moguće računati, računam, a drugi, koji ne mogu računati, pretpostavljam. Sada, kada imam oba parametra, lako računam sumu kvadrata odstupanja (SKO) koja se s tom kombinacijom parametara postiže: SKO = 2 (h; — A e<-B´d<) — 1.3)2 A = b„ ili A = bo´ B = pretpostavljen parametar bi Na isti način mogu izračunati i sumu odstupanja (SO), s tim da će ova SO biti jednaka nuli za svaki A = bo, a samo za jedan A = bn´ će biti SO = 0. Učinio sam to za izmjerene visine za jelu iz Gorskog kotara (graf 2). Računam sam zadao da izračuna za svaki B u intervalu od bj = 12 do b| = 32 (za svaki B je element N), bo, a zatim za takav b0 i bi, također da izračuna SO j SKO. Rezultate ovog računanja sam prikazao i grafički (graf. 1) gdje je bo prikazan krivuljom 1, SO krivuljom 2, SKO krivuljom 3. 65 |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 68 <-- 68 --> PDF |
Graf. 1. I(H-h)´ ~® !:(H-h)=f(bo,b1) © I(H-h)=f(b´0,b1)-SO´ SKO---® i(H-h)´--f(b0,b1) © KH-hJ´-ftb´^b,, 40 3500" *?0 3000 -40 -60 2500 2000 Također sam zadao računani da u istom intervalu izračuna svaki b»´ i za taj b,,´ i b, izračuna isto SO´ i SKO´, i taj rezultat sam prikazao grafički (graf. 1) gdje je b0´ prikazan krivuljom 4, SO´ krivuljom 5, SKO´ krivuljom 6. Vidi se da su krivulje glatke te da krivulje SKO (kriv. 3 i 6) imaju minimum oko bi = 22.1, a krivulje SKO i SKO´ u tom dijelu se neznatno razlikuju, ali razlika u istom dijelu između vrijednosti SO i SO´ je uočljiva. Računar je moguće isprogramirati tako da sam pronalazi minimume funkcije SKO i SKO´ i na taj način izjednači, u ovom slučaju, visinsku |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 69 <-- 69 --> PDF |
5raf 2. Visinska krivi lja za jelu IGorski Kotar) h(m) « « ff 35 * 8 e 0^^^% » -» ´ J^***° *-´""´""" 30 o 0 o 0 0 « %*.´´ °° ° s 0 25 * /^ 20 * / * izjednačeno metodom 1 15 " izjednačeno metodom 2 izjednačeno metodom 3 10 " i 5" 10 20 30 40 SO 60 70 dlj30(cm) krivulju. Naravno, bolje je da isprogramiram računalo da nađe onu kombinaciju parametara b0 i bj gdje je b0 računat po postupku a), tj. po izrazu (2) i koja daje SKO = minimum. Na taj način su zadovoljena oba uvjeta i SO = 0 i SKO = minimum. To alternativni postupak b) ne bi zadovoljio, tj. model bi imao pogrešku izjednačenja koja je mala, ali imajmo na umu da ta pogreška ipak ima karakter sistematske pogreške. Iz literature je poznato da postoje i drugi slični postupci i metode izjednačenja primjenom kompjutera, međutim, kod kojih nisu zadovoljena oba uvjeta izjednačenja. Obično se postiže samo drugi uvjet, tj. SKO = minimum (Hi tree , 1973, 1985). PRIMJER Izjednačit ću visinsku krivulju za jelu izmjerenu na nastavno pokusnom šumskom objektu Zalesina, gosp. jedinice Kupjački vrh, odjel 1, odsjek 2. |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 70 <-- 70 --> PDF |
Veličina uzorka n = 139. Svaka visina je prikazana kao točka na grafikonu 2 (si. 2). Visine sam izjednačio Mihajlovom funkcijom na tri različita načina: ki. 1) Samo primjenom logaritamske transformacije 2) Metodom koju primjenjuje Hitrec (Hi tree , 1973) 3) Metodom opisanom u ovom radu (uvjet SO = 0 i SKO = min.). Dobiveni rezultati prikazani su u slijedećoj tablici: Metoda b0 b, I H I h SO SKO pg (o/o) 1 42.443 21.384 3156.25 3232.5 —76.25 2349.61 —3.25 2 44.438 22.142 3228.77 3232.5 — 3.73 2292.10 —0.12 3 44.440 22.100 3232.50 3232.5 0.00 2292.19 0.00 bo, b, — parametri Mahijalove funkcije: H = bo e("d/bi> + 1 H — izračunata visina d — prsni promjer e — baza prir. log. (2.718) I H — suma izjednačenih visina I h — suma izmjerenih visina SO — suma odstupanja [I (H — h)] SKO — suma kvadratnog odstupanja [I (H — h)2] pg ("/o) — pogreška izjednačenja u postotku [(SO Ih ) 100] Ove visinske krivulje su prikazane na grafikonu 2 gdje se može i okularno vidjeti kakva je razlika između ove tri metode izjednačenja. IZRADA PROGRAMA Program je napravljen u GW Basic-u i primjenljiv je samo za Mihajlovu funkciju. Prednost programa je da se ne mora nakon unosa podataka računalu zadavati prvi pretpostavljeni parametar. Kao prvi pretpostavljeni b| od kojeg računalo počinje proces pretpostavljanja parametara je b, kojeg izračuna u prvom dijelu programa logaritamskim načinom. Na ovaj način se izvođenje programa znatno ubrzava, a korisniku olakšava upotreba. Nakon unosa podataka počinje računanje koje traje oko dvije minute (ovisno o verziji računala PC, XT ili AT). Izlaz su parametri bo i b, i st. devijacija oko lin. izjednačenja s mogućnošću ispisivanja istih na printer zajedno s izjednačenim visinama u željenom rasponu promjera i odabranim korakom. DISKUSIJA Primjer visinske krivulje za jelu iz Gorskog kotara izjednačenu na tri načina Mihajlovom funkcijom pokazuje da pogrešku logaritamskog izjednačenja ne smijemo zanemariti. Iz rezultata se vidi da je najveća pogreška izjednačenja kao i SKO kod 1. metode što je i logično, a najmanja pogreška kod 3. No kao što se vidi iz grafikona 2, pogreška je neznatno pozitivna za |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 71 <-- 71 --> PDF |
najtanja stabla, a u ostalom dijelu je znatno negativna, tj. za stabla jačih promjera i većih visina. To što je postignuto u ovom radu za Mihajlovu funkciju može se postići i za bilo koju funkciju gdje primjenjujemo logaritamsku transformaciju. Činjenica, da je daleko manja razlika u području tanjih stabala, ukazuje na to da kod logaritamskog izjednačenja uslijed transformacije varijabli, deblja i viša stabla neopravdano imaju smanjeni ponder u odnosu na tanka i niska, a to znači da najlošije izjednačenje imaju upravo najdeblja stabla. Ovo je rano uočeno kod izjednačenja dvoulaznih tablica gdje se koristi Schumachei- Hallova funkcija (V = a-db-hc), tj. njena logaritamska transformacija (log V = a + b log d + c log h). Do sada je već publicirano niz domaćih tablica izjednačenih ovom metodom, a to znači i s pogreškom koja se nastojala izbjeći na dva načina: — tanja stabla od 20 cm izjednačavana su nomogramskom metodom, — primjenom Meyerove korekture. Osim na Schumacher-Hallovu funkciju, ova kompjutorska metoda pretpostavljanja bi se uspješno mogla primijeniti i na one modele koji se ne mogu izjednačiti čak ni logaritamskom metodom npr.: Z = a0 + at XW) + a, Y>>1 ZAKLJUČAK Računalo u šumarstvu dobiva još jedan plus kod primjene računskih metoda izjednačenja nekih funkcija kod kojih se do sada koristila uglavnom samo logaritamska transformacija te linearna ili obična multipla regresija takvog transformiranog modela. Pogrešku takvog izjednačenja možemo uspješno izbjeći primjenom kompjuterske metode pretpostavljanju, opisane u ovom radu. Metoda je primjenjiva zahvaljujući brzini kompjutera u izvođenju programa u kojem se do pravih parametara dolazi nizom pretpostavki istih, te direktnim računanjem sume kvadrata odstupanja (SKO) i sume odstupanja (SO) za svaku takvu pretpostavku; sve tako dok se ne pronađe ona kombinacija parametara kod koje su ispunjeni uvjeti najboljeg izjednačenja: SO = 0 i SKO == minimum. LITERATURA Emrović , B. (1953): O izjednačenju pomoću funkcija, koje se logaritmiranjem daju svesti na linearni oblik. Glasnik za šumske pokuse br. 11 (str. 73—110). Emrović , B. (1960): O najpodesnijem obliku izjednadžbene funkcije potrebne za računsko izjednačenje pri sastavu dvolulaznih drvnogromadnih tablica. Glasnik za šumske pokuse, Vol. XIV. (str. 49—126). Hi tree, V. (1973): Izjednačenje podataka metodom najmanjih kvadrata bez Gaussovih normalnih jednadžbi, Šumarski list, Vol. 97 (str. 293—297). Hitrec , V. (1976): Curve fitting by the Method of Least Squares Without Normal Gaussian Equations, Diskussion Paper, XVI World Congres, Oslo. Hitrec , V. (1985):Matemalički modeli i rješenja nekih problema u šumarstvu i tehnologiji drva, Glasnik za šumske pokuse. Vol. 23 (str. 34—36). 69 |
| ŠUMARSKI LIST 1-2/1990 str. 72 <-- 72 --> PDF |
Meyer , H.A. (1941): A Correction for a Systematic Error Occuring in the Aplic ation or the Logarithmic Volume Equation. The Pennsylvania State Forest School, Research Paper No 7. Microsoft Corporation (1987): Microsoft GW-BASIC, User´s Guide and User´s Reference. Error Removal in the Logarithmic Equalization of the Mihajlov Function Summary In this work, the possibility of computer application for the equalization of the altitude curve has been investigated, whereby the Mihajlo v function (H = 1.3 + b0e(-bld) has been used as a suitable mathematical model. A supposed parameter (bj) method has been used, enabling a consequent calculation of a parameter b0 (out of the condition: deviation sum = 0). Next, the sum of the squares of the s. d. for these parameters has been calculated. The same procedure has been repeated for the next supposed parameter bt, which differs from the preliminary or introductory one. The difference was a step ´k´. Thus achieved sum of the squares of the s. d. of the second supposition has been compared with the first one, or with the preliminary one. The procedure has been used to decide on the progress of continuing the further investigations of the matter until it gave deliberately derived parameters which satisfy the following conditions: the sum of deviations (SO) = 0; the sum of the squares of standard deviations (SKO) = minimum. The parameter b, has been used as the first supposition derived by a logarithmic method, which shortens the supposing procedure. |